高一必修二立体几何面面垂直
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线面垂直的判定
授课教师：洪恩锋 授课教师：
复习引入
在前面我们学习了直线与平面的哪些位置关 系？ 线在面内，线在面外（包括线面平行，线面 相交） 我们是如何判定直线和平面平行的？ 通过线线平行（即外线平行内线）来判定的
动手小实验：
A
A D B C
C B D
翻折
A
A
C B D
翻折
B C
D
在研究线面平行时，我们抓住“线线关系 平行” 在研究线面平行时，我们抓住“线线关系——平行”入手， 平行 入手， 那么我们今天研究线面垂直时，是不是也可以类似的从“ 那么我们今天研究线面垂直时，是不是也可以类似的从“线 线关系——垂直”入手呢？ 垂直” 线关系 垂直 入手呢？
什么是两条直线互相垂直？ 什么是两条直线互相垂直？ 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点， 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且 交角为直角，则称这两条直线互相垂直。 交角为直角，则称这两条直线互相垂直。
旗杆与影子
直 线
A
和 平 面 垂 直 该 如 何 义 ？ 定
α
B
直线和平面垂直的定义
C M B
∴BC⊥平面PAM.
小结论： 小结论：正三棱锥对棱相互垂直
有一根旗杆AB高 ，它的顶端A挂有一条长 挂有一条长10m的绳子， 的绳子， 例2.有一根旗杆 高8m，它的顶端 挂有一条长 有一根旗杆 的绳子 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（ 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一 条直线上)C、 如果这两点都和旗杆脚 的距离是6m， 如果这两点都和旗杆脚B的距离是 条直线上 、D,如果这两点都和旗杆脚 的距离是 ，那么旗 杆就和地面垂直，为什么？ 杆就和地面垂直，为什么？
一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直， 一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直， 任意一条直线都垂直 则称这条直线和这个平面垂直. 则称这条直线和这个平面垂直 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 交点叫做垂足. 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足 平面的垂线
E A
α
D
B
β
C
练习5 练习5
如图， 是圆O 如图，圆O所在一平面为α ，AB是圆 的直 所在一平面为 是圆 是圆上一点,且 求证： 径，C 是圆上一点 且PA ⊥ AC, PA ⊥AB,求证： 求证 （1）PA ⊥ BC ） P （2）BC ⊥ 平面PAC ） 平面
探索：图中有几个直角三角形？ 探索：图中有几个直角三角形？ 由此你认为三棱锥中最多有几个 A 直角三角形？ 直角三角形？ C
α
A
直线的垂面
注意：垂面可以离，叫做这个点到这个平面的距离 这个点到这个平面的距离。 这个点到这个平面的距离
直线与平面垂直定义的逆用： 直线与平面垂直定义的逆用： 如果一条直线垂直于一个平面， 如果一条直线垂直于一个平面，那么它 就和平面内的任意一条直线垂直。 任意一条直线垂直 就和平面内的任意一条直线垂直。
D
C
O
A
B
练习2 练习2
如果一条直线垂直于一个平面内的： 如果一条直线垂直于一个平面内的： （1）三角形的两条边； ）三角形的两条边； （2）梯形的两条边； ）梯形的两条边； （3）圆的两条直径。 ）圆的两条直径。 试问这条直线是否与平面垂直， 试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判 定说明理由。 定说明理由。
A
解：在△ABC和△ABD中， 因为AB=8m,BC=BD=6m,AC=AD=10m, 所 以，
AB2 + BC2 = 82 + 62 =102 = AC2 , AB2 + BD2 = 82 + 62 =102 = AD2.
所以∠ABC=∠ABD=90° 即AB⊥BC,AB⊥BD. 又知B,C,D三点不共线，
l
α
P
m
n
线面垂直
相交则行” “线不在多 ， 相交则行”
正三棱锥P-ABC中，M为棱 的中点， 为棱BC的中点 例1. 正三棱锥 中 为棱 的中点， 证明： 和平面PAM垂直． 垂直． 证明：棱BC和平面 和平面 垂直
P
证明：
由题可知，在等腰△PBC中，M为BC中 PBC M BC 点 ∴PM⊥BC， A 同理，AM⊥BC 又PM与AM交于点M
l α P
α
符号表示： 符号表示：l
⊥ α,a ⊂ α ⇒ l ⊥ a
线线垂直
简记为： 简记为：线面垂直
直线和平面垂直的画法
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平 画直线与水平平面垂直时， 行四边形横边垂直。 行四边形横边垂直。
尝试探究
1、直线l 与平面α 内的一条直线垂直，能否 、 内的一条直线垂直， 一条直线垂直 保证 l ⊥ α ？ 2、直线 l 与平面α 内的两条直线垂直，能否 、 内的两条直线垂直， 两条直线垂直 保证 l ⊥ α ？ 3、直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直， 、 内的无数条直线垂直， 无数条直线垂直 能否保证 l ⊥ α ？
O
B
回顾反思 通过本节课的学习，学习了哪些知识点？ 通过本节课的学习，学习了哪些知识点？ 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线， 一个平面内的任何一条直线 1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则 此直线垂直于这个平面。 此直线垂直于这个平面。 2.定义逆用 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平 定义逆用： 2.定义逆用：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平 的任意一条直线垂直。 面内的任意一条直线垂直 面内的任意一条直线垂直。 判定定理: 一个平面内的两条相交直线 3.判定定理 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 3.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 那么此直线垂直于这个平面。 那么此直线垂直于这个平面。 判定定理关键： 判定定理关键：线不在多 相交则行 数学思想： 数学思想：转化思想 线线垂直
练习3 练习3
如图，空间中直线 和三角形的两边 如图，空间中直线l和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三 同时垂直， 同时垂直 角形的第三边AB的位置关系是 的位置关系是（ 角形的第三边 的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C C 相交 A α D 不确定
B
练习4 练习4
已知α ∩β =CD,EA ⊥ α, EB ⊥ β. : 求证 CD ⊥ AB . :
α
C
B
D
因此，AB⊥平面BCD，即旗杆与地面垂直。
通过勾股数构造直角三角形， 通过勾股数构造直角三角形， 从而找线线垂直。 从而找线线垂直。
练习1 练习1
如图, 是菱形 是菱形ABCD所在平面外一点 满 所在平面外一点,满 如图 M是菱形 所在平面外一点 求证: 足MA=MC,求证 AC ⊥ 平面BDM 。 求证 M
直线与平面垂直的判定定理： 直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 。
m∩n = P ⇒ l ⊥α l ⊥ m, l ⊥ n
简记为： 简记为：线线垂直
符号表示： m ⊂ α,n ⊂ α
线面垂直的判定定理或定义 线面垂直定义的逆用
线面垂直
无限（任意） 无限（任意）
有限(两两相交 有限 两两相交) 两两相交
“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。 平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
作业：
必做题： 必做题：
练习A:P 4 51 练习B:P 3,4 52
选做题： 选做题： 在三棱锥中，任意两组对棱互相垂直， 在三棱锥中，任意两组对棱互相垂直，则 第三组对棱一定互相垂直吗？ 第三组对棱一定互相垂直吗？
授课教师：洪恩锋 授课教师：
复习引入
在前面我们学习了直线与平面的哪些位置关 系？ 线在面内，线在面外（包括线面平行，线面 相交） 我们是如何判定直线和平面平行的？ 通过线线平行（即外线平行内线）来判定的
动手小实验：
A
A D B C
C B D
翻折
A
A
C B D
翻折
B C
D
在研究线面平行时，我们抓住“线线关系 平行” 在研究线面平行时，我们抓住“线线关系——平行”入手， 平行 入手， 那么我们今天研究线面垂直时，是不是也可以类似的从“ 那么我们今天研究线面垂直时，是不是也可以类似的从“线 线关系——垂直”入手呢？ 垂直” 线关系 垂直 入手呢？
什么是两条直线互相垂直？ 什么是两条直线互相垂直？ 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点， 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且 交角为直角，则称这两条直线互相垂直。 交角为直角，则称这两条直线互相垂直。
旗杆与影子
直 线
A
和 平 面 垂 直 该 如 何 义 ？ 定
α
B
直线和平面垂直的定义
C M B
∴BC⊥平面PAM.
小结论： 小结论：正三棱锥对棱相互垂直
有一根旗杆AB高 ，它的顶端A挂有一条长 挂有一条长10m的绳子， 的绳子， 例2.有一根旗杆 高8m，它的顶端 挂有一条长 有一根旗杆 的绳子 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（ 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一 条直线上)C、 如果这两点都和旗杆脚 的距离是6m， 如果这两点都和旗杆脚B的距离是 条直线上 、D,如果这两点都和旗杆脚 的距离是 ，那么旗 杆就和地面垂直，为什么？ 杆就和地面垂直，为什么？
一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直， 一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直， 任意一条直线都垂直 则称这条直线和这个平面垂直. 则称这条直线和这个平面垂直 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 交点叫做垂足. 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足 平面的垂线
E A
α
D
B
β
C
练习5 练习5
如图， 是圆O 如图，圆O所在一平面为α ，AB是圆 的直 所在一平面为 是圆 是圆上一点,且 求证： 径，C 是圆上一点 且PA ⊥ AC, PA ⊥AB,求证： 求证 （1）PA ⊥ BC ） P （2）BC ⊥ 平面PAC ） 平面
探索：图中有几个直角三角形？ 探索：图中有几个直角三角形？ 由此你认为三棱锥中最多有几个 A 直角三角形？ 直角三角形？ C
α
A
直线的垂面
注意：垂面可以离，叫做这个点到这个平面的距离 这个点到这个平面的距离。 这个点到这个平面的距离
直线与平面垂直定义的逆用： 直线与平面垂直定义的逆用： 如果一条直线垂直于一个平面， 如果一条直线垂直于一个平面，那么它 就和平面内的任意一条直线垂直。 任意一条直线垂直 就和平面内的任意一条直线垂直。
D
C
O
A
B
练习2 练习2
如果一条直线垂直于一个平面内的： 如果一条直线垂直于一个平面内的： （1）三角形的两条边； ）三角形的两条边； （2）梯形的两条边； ）梯形的两条边； （3）圆的两条直径。 ）圆的两条直径。 试问这条直线是否与平面垂直， 试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判 定说明理由。 定说明理由。
A
解：在△ABC和△ABD中， 因为AB=8m,BC=BD=6m,AC=AD=10m, 所 以，
AB2 + BC2 = 82 + 62 =102 = AC2 , AB2 + BD2 = 82 + 62 =102 = AD2.
所以∠ABC=∠ABD=90° 即AB⊥BC,AB⊥BD. 又知B,C,D三点不共线，
l
α
P
m
n
线面垂直
相交则行” “线不在多 ， 相交则行”
正三棱锥P-ABC中，M为棱 的中点， 为棱BC的中点 例1. 正三棱锥 中 为棱 的中点， 证明： 和平面PAM垂直． 垂直． 证明：棱BC和平面 和平面 垂直
P
证明：
由题可知，在等腰△PBC中，M为BC中 PBC M BC 点 ∴PM⊥BC， A 同理，AM⊥BC 又PM与AM交于点M
l α P
α
符号表示： 符号表示：l
⊥ α,a ⊂ α ⇒ l ⊥ a
线线垂直
简记为： 简记为：线面垂直
直线和平面垂直的画法
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平 画直线与水平平面垂直时， 行四边形横边垂直。 行四边形横边垂直。
尝试探究
1、直线l 与平面α 内的一条直线垂直，能否 、 内的一条直线垂直， 一条直线垂直 保证 l ⊥ α ？ 2、直线 l 与平面α 内的两条直线垂直，能否 、 内的两条直线垂直， 两条直线垂直 保证 l ⊥ α ？ 3、直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直， 、 内的无数条直线垂直， 无数条直线垂直 能否保证 l ⊥ α ？
O
B
回顾反思 通过本节课的学习，学习了哪些知识点？ 通过本节课的学习，学习了哪些知识点？ 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线， 一个平面内的任何一条直线 1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则 此直线垂直于这个平面。 此直线垂直于这个平面。 2.定义逆用 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平 定义逆用： 2.定义逆用：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平 的任意一条直线垂直。 面内的任意一条直线垂直 面内的任意一条直线垂直。 判定定理: 一个平面内的两条相交直线 3.判定定理 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 3.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 那么此直线垂直于这个平面。 那么此直线垂直于这个平面。 判定定理关键： 判定定理关键：线不在多 相交则行 数学思想： 数学思想：转化思想 线线垂直
练习3 练习3
如图，空间中直线 和三角形的两边 如图，空间中直线l和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三 同时垂直， 同时垂直 角形的第三边AB的位置关系是 的位置关系是（ 角形的第三边 的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C C 相交 A α D 不确定
B
练习4 练习4
已知α ∩β =CD,EA ⊥ α, EB ⊥ β. : 求证 CD ⊥ AB . :
α
C
B
D
因此，AB⊥平面BCD，即旗杆与地面垂直。
通过勾股数构造直角三角形， 通过勾股数构造直角三角形， 从而找线线垂直。 从而找线线垂直。
练习1 练习1
如图, 是菱形 是菱形ABCD所在平面外一点 满 所在平面外一点,满 如图 M是菱形 所在平面外一点 求证: 足MA=MC,求证 AC ⊥ 平面BDM 。 求证 M
直线与平面垂直的判定定理： 直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 。
m∩n = P ⇒ l ⊥α l ⊥ m, l ⊥ n
简记为： 简记为：线线垂直
符号表示： m ⊂ α,n ⊂ α
线面垂直的判定定理或定义 线面垂直定义的逆用
线面垂直
无限（任意） 无限（任意）
有限(两两相交 有限 两两相交) 两两相交
“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。 平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
作业：
必做题： 必做题：
练习A:P 4 51 练习B:P 3,4 52
选做题： 选做题： 在三棱锥中，任意两组对棱互相垂直， 在三棱锥中，任意两组对棱互相垂直，则 第三组对棱一定互相垂直吗？ 第三组对棱一定互相垂直吗？