2021年秋湘教版九年级数学上册同步练习：4.4.2坡度与坡角、方向角相关问题

第2课时 坡度与坡角、方向角相关问题
一、选择题
1．坡度等于1∶3的斜坡的坡角等于( )
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
2．2021·苏州如图K －36－1，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，那么调整后的楼梯AC 的长为( )
图K －36－1
A ．2
3 m B ．2 6 m C ．(2 3－2) m D ．(2
6－2) m 3．某水坝的坡度i ＝1∶3，坡长为20米，那么水坝的高度为( )
A ．10米
B ．20米
C ．40米 D.20 33米
4．如图K －36－2，在平地MN 上用一块10 m 长的木板AB 搭了一个斜坡，两根支柱AC ＝7.5 m ，AD ＝6 m ，其中AC ⊥AB ，AD ⊥MN ，那么斜坡AB 的坡度是( )
图K －36－2
A ．3∶5
B ．4∶5
C ．3∶4
D ．4∶3
二、填空题
5．如图K －36－3，假如在坡度i ＝1∶2.4的斜坡上两棵树之间的程度间隔 AC 为3米，那么两棵树之间的坡面间隔 AB 是________米．
图K －36－3
6．如图K －36－4，有一滑梯AB ，其程度宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，那么∠A 的度数约为________．(用科学计算器计算，结果准确到0.1°)
图K －36－4
7．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O 出发，如图K －36－5所示，轮船从港口O 沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M 处，同一时刻渔船已航行到与港口O 相距80海里的点N 处．假设M ，N 两点相距100海里，那么∠NOF ＝________°.
图K －36－5
三、解答题
8．如图K－36－6，要测量点A到河岸BC的间隔，在点B测得点A在点B的北偏东30°方向上，在点C测得点A在点C的北偏西45°方向上，又测得BC＝150 m．求点A到河岸BC的间隔．(结果准确到1 mm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
图K－36－6
9．2021·黔东南州如图K－36－7，某校教学楼AB前方有一斜坡，斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能防止滑坡危险，学校为了消除平安隐患，决定对斜坡CD进展改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后程度挪动多少米才能保证教学楼的平安？(结果准确到1 m，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)
图K－36－7
10．某地的一座人行天桥如图K－36－8所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要被撤除？请说明理由．
图K－36－8
11．如图K－36－9，台风中心位于点O处，并沿东北方向(北偏东45°)，以40千米/时的速度匀速挪动，在间隔台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向上，间隔60 2千米处有一城市A.
(1)A市是否会受到此台风的影响？为什么？
(2)在点O的北偏东15°方向上，间隔80千米处还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？假设受到影响，恳求出受到影响的时间；假设不受到影响，请说明理由．
图K－36－9
12阅读与探究阅读材料：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在△ABC中，设∠A，∠B，∠C
的对边分别为a，b，c，那么有a
sin A＝b
sin B＝
c
sin C，利用上述结论可以求解如下题目：
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.假设∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.
解：在△ABC 中，∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a ·sin B sin A ＝6×sin30°sin45°＝3
2. 理解应用：
如图K －36－10，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A 2时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B 2处，此时两船相距10 2海里．
(1)判断△A 1A 2B 2的形状，并给出证明；
(2)求乙船每小时航行多少海里？
图K －36－10
1．[答案] A
2．[解析] B 在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB
，那么AD ＝4sin 60°＝2 3(m )． 在Rt △ACD 中，sin ∠ACD ＝AD AC ，所以AC ＝ 2 3sin 45°
＝2 6(m )． 3．[答案] A
4．[解析] C 由题意可得：AB ＝10 m ，AD ＝6 m ，那么BD ＝AB 2－AD 2＝8(m )， 故斜坡AB 的坡度是AD ∶BD ＝6∶8＝3∶4.应选C .
5．[答案] 3.25
[解析] ∵坡度i ＝1∶2.4，∴设BC ＝x 米，那么AC ＝2.4x 米，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝
x 2＋〔2.4x 〕2＝2.6x.∵AC ＝3米，∴AC AB ＝3AB ＝2.4x 2.6x
，解得AB ＝3.25(米)． 6．[答案] 27.8°
[解析] ∵tan A ＝BC AC ＝2.85.3
，∴∠A ≈27.8°. 7．[答案] 70
[解析] ∵OM ＝60海里，ON ＝80海里，MN ＝100海里，∴OM 2＋ON 2＝MN 2，∴∠MON ＝90°.∵∠EOM ＝20°，∴∠NOF ＝180°－20°－90°＝70°.
8．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
设AD ＝x m .
在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，
∴BD ＝AD·tan 30°＝33
x(m )． 在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，
∴CD ＝AD ＝x m .
∵BD ＋CD ＝BC ，∴33
x ＋x ＝150， ∴x ＝75(3－3)≈95(m )．
答：点A 到河岸BC 的间隔 约为95 m .
9．解：假设点D 平移到点D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D′作D′E′⊥AC 于点E′.∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°，∴DE ＝CD·sin 60°＝12×32＝6 3(米)，CE ＝CD·cos 60°＝12×12
＝6(米)．∵DE ⊥AC ，D ′E ′⊥AC ，DD ′∥CE ′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE ＝D′E′＝6 3米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE ′＝D′E′tan 39°≈6 30.81
≈12.8(米)，∴DD ′＝EE′＝CE′－CE ≈12.8－6＝6.8≈7(米)．
答：学校至少要把坡顶D 向后程度挪动约7米才能保证教学楼的平安．
10．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，
∴tan α＝tan ∠CAB ＝13＝33
，∴∠α＝30°. 答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM 不需要被撤除．理由：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，那么CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝6 3米，∴AB ＝AD －BD ＝(6 3－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要被撤除．
11 解：(1)A 市不会受到此台风的影响．理由如下：
过点A 作AD ⊥OC 于点D ，由题意得∠DOA ＝45°，OA ＝60 2千米，∴AD ＝DO ＝60千米．∵60＞50，∴A 市不会受到此台风的影响．
(2)B 市会受到此台风的影响．如图，过点B 作BG ⊥OC 于点G.
由题意得∠BOC ＝30°，OB ＝80千米，
∴BG ＝12
OB ＝40千米． ∵40＜50，∴B 市会受到此台风的影响．
如图，设台风中心位于EF 之间时，B 市受到影响，那么由题意，得BE ＝BF ＝50千米， ∴EG ＝BE 2－BG 2＝30千米，
∴EF ＝2EG ＝60千米．
∵风速为40千米/时，
∴60÷40＝1.5(时)，∴B 市受到影响的时间为1.5小时．
11 解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．
证明：连接A 1B 2.
∵甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达点A 2，
∴A 1A 2＝30 2×13＝10 2(海里)．
又∵A 2B 2＝10 2海里，∠A 1A 2B 2＝60°，
∴△A 1A 2B 2是等边三角形．
(2)如图，∵B 1N ∥A 1A 2，
∴∠A 1B 1N ＝75°，
∴∠A 1B 1B 2＝75°－15°＝60°.
∵△A 1A 2B 2是等边三角形，
∴∠A 2A 1B 2＝60°，A 1B 2＝A 1A 2＝10 2海里，
∴∠B 1A 1B 2＝180°－75°－60°＝45°.
在△B 1A 1B 2中，∵A 1B 2＝10 2海里，∠B 1A 1B 2＝45°，∠A 1B 1B 2＝60°， 由阅读材料可知B 1B 2sin 45°＝A 1B 2
sin 60°，
解得B 1B 2＝10 2×223
2
＝20 33(海里)， ∴乙船每小时航行20 33÷13
＝20 3(海里)．。