江苏省涟水县第一中学高三数学一轮复习教学案第8讲 导数及其应用

第8讲 导数及其应用
【学习目标】
导数的概念（A 级）,导数的几何意义和导数的运算（B 级）
利用导数研究函数的单调性与极值和导数在实际问题中的应用（B 级）.
【知识要点】
1.导数的几何意义：
2.几种常见函数的导数：='C (C 为常数),________)'(=αx (Q ∈α),
()x a '= , ()x e '= , (log )a x '=
(ln )x '= ,_______)'(sin =x ,_________
)'(cos =x . 3.求导法则：[()()]____________f x g x ±'=,
[()()]___________________f x g x '=.=/])
()([x g x f 4．()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立； ()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.
5．利用导数求极值（最值）：（1）求导数)(x f '；（2）求方程0)(='x f 的根；（3）检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则()f x 在该根处取 值;若左负右正,则()f x 在该根处取 值,把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.特别提醒：0)(0='x f 是0x 为极值点的 条件.
【自主学习】
1. (选修1-1 P82练习3改编)函数f (x )=1x 的图象在点122⎛⎫ ⎪⎝⎭
，处的切线 方程为 .
2. (选修1-1 P87练习1改编)函数y =x -x 3的单调增区间为 .
3. (选修1-1 P89习题4改编)函数y =x -ln x ，x ∈(0，2)的极值为 .
4. (选修1-1 P90例2改编)函数f (x )=12
x +sin x 在区间[0，2π]上的 最大值为 .
5. (选修1-1 P91练习5改编)已知函数y =e x -x ，x ∈(0，1]，则函数的值域为 .
【课堂探究】
例1 已知曲线y =13x 3+43
. (1) 求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2) 求斜率为1的曲线的切线方程.
例2.已知函数f(x)=x(a+ln x)有极小值为-e-2.
(1) 求实数a的值；
(2) 若k∈Z，且k<
()
-1
f x
x
对任意的x>1恒成立，求k的最大值.
例3. (2015·无锡期末)设函数f(x)=x2ln x-ax2+b在点(x0，f(x0))处的切线方程为y=-x+b.
(1) 求实数a及x0的值；
(2) 求证：对任意实数b∈
e
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，函数f(x)有且仅有两个零点.
【针对训练】
1. 已知函数f(x)=x3+f'(1)x2-x，则函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是.
2. (2015·苏锡常镇、宿迁一调)若曲线C1：y=ax3-6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为.
3. 函数y=1
2
x2-ln x的单调减区间为.
4. 已知函数f(x)=x2+f'(2)(ln x-x)，则f'(1)=.
5. 若直线y=a与函数y=x3-3x的图象有相异的3个公共点，则实数a的取值范围是. 【巩固提升】
6.已知函数f(x)=x3-3
2
ax2+4对任意x∈[1，2]恒有f(x)>0，其中a>0，求实数a的取值范围.
7. (2015·苏北四市期末)已知函数f(x)=ln x-1
2
ax2+x，a∈R.
(1) 若f(1)=0，求函数f(x)的单调减区间；
(2) 若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立，求整数a的最小值.。