河南省商丘市九校高二下学期期末联考数学(理)试题Word版含答案

2016-2017学年下期期末联考
高二理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第I 卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.对两个变量x 和y 进行回归分析,得到一组样本数据:1122(,),(,)x y x y ,…(,)n n x y ,则下列说法中不正确的是( )
A.由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy
bx a =+必过样本中心(,)x y B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
C.若变量y 和x 之间的相关系数为0.9362r =-,则变量y 和x 之间具有线性相关关系
D.用相关指数2
R 来刻画回归效果,2
R 越小,说明模型的拟合效果越好
2.若复数z 满足(1)z i i i +=+,则z 的虚部是( )
A.
12 B.12- C.32 D.3
2
- 3.若2(,)X N μσ,则(-+)=0.6826P X μσμσ<≤,(-2+2)=0.9544P X μσμσ<≤,已知2(0,5)X
N ,则(510)P X <≤=( )
A.0.4077
B.0.2718
C.01359.
D.0.0453 4.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )
A.使用了“三段论”,但大前提错误
B.使用了“三段论”,但小前提错误
C.使用了归纳推理
D.使用了类比推理
5.83
86+被49除所得的余数是( )
A.14-
B.0
C.14
D.35
6.五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( )
A.35C
B.35A
C.3
5 D.5
3
7.设随机变量(2,),(4,)B p B p ξη
,若(P ξ≥(2)P η≥的值为( )
A.
1681 B.3281 C.1127 D.6581
8.在区间[1]e ,上任取实数a ,在区间[01],上任取实数b ,使函数21
()=++4
f x ax x b 有两个相异零点的概率是( ) A.
1
1e - B.12(1)e - C.14(1)e - D.18(1)
e - 9.为了落实中央提出的精准扶贫政策,某市人力资源和社会保障局派3人到仙水县大马 镇西坡村包扶5户贫困户,要求每户都有且只有1人包扶,每人至少包扶1户,则不同的包扶方案种数为( )
A.30
B.90
C.150
D.210
10.箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同),从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,若两球的号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸球,恰好有3人获奖的概率是 ( )
A.624625
B.96625
C.16625
D.4625
11.已知数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,…,则此数列的第60项是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.已知函数2
()=ln ()=
()2
a f x x x x g x x ax a R --∈,,令()=()-()-h x f x g x ax ()a R ∈,若()h x 在定义域内有两个不同的极值点,则a 的取值范围为( )
A.1
(0,)e B.1(1)e
，
C.(1)e ,
D.()e +∞, 第Ⅱ卷(共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题～23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.曲线2
()=22f x x x +-在0P 处的切线平行于直线51y x =-,则点P 14.已知34
4
2cos()4a x dx ππ
π
-
=
-⎰,则8
x ⎛ ⎝
展开式中5
x 的系数为 .
16.袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为(1,2,3,4)n n =的有n 个.现
从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若2,()1a E η
ξη=-=,则(D η
三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
已知函数2
()=(1)1
x
x f x a a x -+
>+,用反证法证明方程()0f x =没有负数根. 18.(本小题满分12分)
用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成多少个满足下列条件的整数？ (Ⅰ)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (Ⅱ)可以组成多少个恰有两个相同数字的四位数？
19.(本小题满分12分)某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4 万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:万元)绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(Ⅰ)根据频
率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(Ⅱ)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到上表:
表中的数据显示x 与y 之间存在线性相关关系,求y 关于x 的回归方程；
(Ⅲ)若广告投入6万元时,实际销售收益为7.3万元,求残差ˆe
. 附:
20.(本小题满分12分)
社会公众人物的言行一定程度上影响着年轻人的人生观、价值观.某媒体机构为了解大学生对影视、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称:“星闻”)的关注情况,随机调查了某大学的200位大学生,得到信息如右表:
(Ⅰ)从所抽取的200人内关注“星闻”的大学
生中,再抽取三人做进一步调查,求这三人性别不全相同的概率；
(Ⅱ)是否有0095以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”,并说明理由； (Ⅲ)把以上的频率视为概率,若从该大学随机抽取4位男大学生,设这4人中关注“星闻”
a y
b x
∧∧
=-()()()
1
1
2
2
21
1
,
n
n
i
i
i
i
i i n
n
i
i
i i x
x
y
y
x y
nx y b x
x
x
nx
∧
====---=
=
--∑∑∑∑
的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
附:()()()()()
2
2
,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++.
21.(本小题满分12分)已知()ln f x x x =. (Ⅰ)求函数()f x 的最小值；
(Ⅱ)求证:对一切(0,)x ∈+∞,都有12
ln x
x e ex
>-成立 .
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线12cos x C y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩:,曲线2sin C ρθ=:.
(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线:
80l x y +-=,求曲线1C 上的点到直线l 的最短距离.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知2
2
2
,,,1a b c R a b c ∈++=. (Ⅰ)求证:a b c ++≤
(Ⅱ)若不等式211()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围.
2016-2017学年下期期末联考 高二理科数学参考答案
一、选择题
1-5 DBCAB 6-10 DCACB 11-12 DA 二、填空题
13. (11)，； 14. 448； 15.
16. 11. 三、解答题
17.证明:假设方程()0f x =有负数根,设为00(1)x x ≠-, 则有00x <,且
0()0f x =. ………………2分
0000
0022
011
x x x x a a x x --∴+
=⇔=-++. 0101x a a >∴<<，,002
011
x x -∴<-
<+. 解上述不等式,得01
22
x <<,这与假设00x <且01x ≠-矛盾. ………………10分
故方程()0f x =没有负数根. ………………12分
18.解:(Ⅰ)首位不能为0,有5种选法；再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置,
有3560A =种方法；
由分步乘法计数原理得可以组成的四位数有560300⨯=个. ………………5分
(Ⅱ)分两种情况进行讨论；
第一种:数字0重复:223560C A =,
第二种:其它数字重复:
①有0时:21125235180C C A C =个,②无0时:31225
324360C C A C =个, 所以,共有60180360600++=(个). ………………12分
19.解:(Ⅰ)设各小长方形的宽度为a ,由频率直方图各小长方形的面积总和为1,可知
(0.080.10.140.120.040.02)0.51a a +++++⋅==,
故
2a =. (2)
分
(Ⅱ)由题意,可知1234523257
3, 3.855
x y ++++++++=
===,
5
5
2222221
1
122332455769,1234555i i
i i i x y
x ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++=∑∑, ……
5分
根据公式,可求得2
6953 3.812
ˆˆ1.2, 3.8 1.230.2555310
b
a -⨯⨯====-⨯=-⨯, 所以y 关于x 的回归方程为ˆ 1.20.2y
x =+. ………………8分
(Ⅲ)当6x =时,销售收益预测值ˆ 1.260.2=7.4y
=⨯+(万元),又实际销售收益为7.3万元, 所以残差ˆ7.37.40.1e
=-=- . ………………12分
20.解:(Ⅰ)由已知,知所求概率3
40380260
179
C P C =-=． (3)
分
(Ⅱ)由于2200(80404040)50 5.556 3.84112080120809
k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯． (5)
分
故有0095以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”. ………………6分
(Ⅲ)由题意,可得任意一名男大学生关注“星闻”的概率为
401
1203
=, 不关注“星闻”的概率为2
3
. ………………7分
ξ所有可能取值为0,1,2,3,4.
4216(0)381
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；3
141232(1)3381P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；
2
2
2
4
12248(2)=338127P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3
34128(3)3381
P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；
4
11(4)381
P ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭. ………………
10分
ξ的分布列为
………………
11分 因为1(4,)3B ξ,所以4
()3
E ξ=. ………………
12分
21.解:(I)函数()f x 的定义域为
(0,)+∞,()ln 1f x x '=+. ………………1分
当1x e >
时,()0f x '>,()f x 为增函数；当1
0x e
<<时,()0f x '<,()f x 为减函数 所以函数()f x 的最小值为11
()f e e
=-. ………………5分
（Ⅱ）问题等价于证明2
ln x x x x e e
>- ………………6分
由(I)可知,()ln f x x x =的最小值为1e -,当且仅当1
x e
=时取到. ………………8分 令2()x x g x e e =-,(0,)x ∈+∞,则1()x
x g
x e -'=, ………………9分
易知max 1
()(1)g x g e
==-
,当且仅当1
x =取到,所以ln x x x x e >从而对一切(0,)x ∈+∞,都有12
ln x
x e ex
>-成立. ………………12分
22.解:(Ⅰ)
曲线2212cos 143x x y C y θ
θ
=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩:,
曲线2222sin sin 0C x y y ρθρρθ=⇒=⇒+-=:. ………………5分
(Ⅱ)设曲线1C 上任意一点P
的坐标为(2cos )θθ,则点P 到直线l
的距离为
2d =
≥
=,
其中sin ϕϕ=
=
,当且仅当sin()1ϕθ+=时等号成立. 即曲线1C 上的点到直线l
的最短距离为2
. ………………10分
23.解:(Ⅰ)证明:由柯西不等式得2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=
,
a b c ≤++≤a b c ∴++
的取值范围是[. ………………
5分
(Ⅱ)由柯西不等式得2222222()[1(1)1]()3a b c a b c -+≤+-+++=. 若不等式211()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立, 则113x x -++≥,其解集为33,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
, 即实数x 的取值范围为33,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
. ………………10分。