两个计数原理课件-2025届高三数学一轮复习

题后师说
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合 理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的 各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二 是步与步之间确保连续，逐步完成．
巩固训练2 “数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则 很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里， 每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数 字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上 至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为( ) A．72 B．108 C．144 D．196
关键能力·题型剖析 题型一 分类加法计数原理的应用 例 1 [2024·安徽马鞍山模拟]据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经 掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算 筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再 用横式，以此类推，遇零则置空．如下图所示：
角度二 与几何有关的问题 例 4 [2024·浙江温州模拟]一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点 与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个 数为__________．
答案：8
解析：如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个； 如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个； 所以7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为6＋2＝ 8(个)．
答案：C
题型三 两个计数原理的综合应用 角度一 与数字有关的问题 例 3 [2024·河南新乡模拟]由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有 重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个．
答案：78
解析：能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0， 当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法， 根据分步乘法计数原理一共有6×6＝36(种)方法； 当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据 分步乘法计数原理一共有7×6＝42(种)方法； 则一共有36＋42＝78(种)．
第一节 两个计数原理
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识
两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案 中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这 件事共有N＝___m_＋__n__种不同的方法． (2)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步 有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝___m_×__n__种不同的方法．
1．[2024·黑龙江佳木斯模拟]甲、乙分别从4门不同课程中选修1门，
且2人选修的课程不同，则不同的选法有( )
A．6种
B．8种
C．12种
D．16种
答案：C
解析：甲从4门课程中选择1门，有4种选法；乙再从甲未选的课程中选择1门， 有3种选法；根据分步乘法计数原理可得：不同的选法有4×3＝12(种)．故选C.
2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人
各1本，则不同的送法种数是( )
A．12
B．24
C．64
D．81
答案：B
解析：从4本书中选3本有4种选法，把选出的3本书送给3名同学，有6种送法， 所以不同的送法有：4×6＝24(种)．故选B.
3.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到 丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．则从甲地到丁地共有________ 条不同的路．
夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在 分 类 加 法 计 数 原 理 中 ， 某 两 类 不 同 方 案 中 的 方 法 可 以 相 同．( × ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件 事．( √ ) (3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完 成．( √ ) (4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不 相同的．( √ )
【常用结论】
1．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类 方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……， 在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2 ＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N ＝ m1×m2×…×mn 种 不 同 的 方 法．
解析：每人都可以从这三个项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据 分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有36＝729(种)．
【变式练习2】 若将本例条件“每项恰好报一人，且每人至多参加 一项”改为“每项恰好报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少 种不同的报名方法？
解析：每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6个人中选出1人参加， 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有63＝216(种)．
(2)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一
条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方
法的种数为( )
A．192
B．420
C．210
D．72
答案：B
解析：按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，由分步乘法计数原理有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染 色方法；第二类，A，C不同色，由分步乘法计数原理有5×4×3×2×2＝240(种) 不同的染色方法；根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方 法．故选B.
1 2
，
− 1，0，2ቅ，且使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则这样的有
序数对(a，b)的个数为( ) A．15 B．14 C．13 D．10
答案：A
题型二 分步乘法计数原理的应用 例 2 有六名同学报名参加三个智力项目，每项恰好报一人，且每人 至多参加一项，则共有多少种不同的报名方法？
2．[2024·江苏扬州模拟]用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的
三位偶数，共有( )
A．6个
B．18个
C．24个
D．12个
答案：D
解析：先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有3×2＝6(种)选择，根据 分步乘法计数原理可得共有2×6＝12(个)不重复的三位偶数，故选D.
3．[2024·山东临沂模拟]集合M＝{1，－2，3}，N＝{－3，5，6，－
解析：每项恰好报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项 目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计 数原理，可得不同报名方法共有6×5×4＝120(种)．
【变式练习1】 若将本例条件“每项恰好报一人，且每人至多参加 一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同 的报名方法？
巩固训练3
(1)用0，1，2，3，4五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数
的个数为( )
A．18
B．24
C．30
D．48
答案：A
解析：(1)由题意可知，末位数字为1或3，首位数字有3种选择，则中间的数位 有3种选择，
由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为2×32＝ 18.故选A.
如：10记为 ，26记为
，71记为 ．现有4根算筹，可表示出两
位数的个数为( )
A．8
B．9
C．10
D．12
答案：C
题后师说
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不 能遗漏．
(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能 重复．
巩固训练1
[2024·河北邯郸模拟]有序数对(a，b)满足a，b∈ቄ−
答案：16 解析：如果由甲地经乙地到丁地，有2×4＝8种不同的路线； 如果由甲地经丙地到丁地，有4×2＝8种不同的路线； 因此，从甲地到丁地共有8＋8＝16种不同的路线．
4．(易错)6名同学争夺3项冠军，不同的结果有________种．(用具体 数字作答)
答案：216
解析：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的种数 是63＝216(种)．
课堂互动探究案
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际 问题．
问题思考·夯实技能 【问题】 在解题过程中，如何判断使用分类加法计数原理还是分 步乘法计数原理？
提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法 计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法 计数原理．
选D.
4．[2024·浙江杭州模拟]在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点 又无交点的弦连结它们，则连结方式有________种．
答案：14
解析：不妨设圆周上的点依次为A，B，C，D，E，F，G，H， 要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示： 符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式 有8种；共计2＋4＋8＝14(种)．
角度三 涂色问题 例 5 现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色 (分割成六个不同区域)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共 边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方法有( ) A．48种 B．64种 C．96种 D．144种
答案：C
题后师说
1.在综合应用两个计数原理解决问题时应注意： (1)一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理． (2)对于较复杂的两个原理综合应用问题，可恰当地列出示意图或列 出表格，使问题形象化、直观化． 2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完 成．
4}，从两个集合中各取一个元素作为点的表示第二象限内不同的点的个数是( )
A．2
B．4
C．5
D．6
答案：D
解析：第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若M集合提供横坐标，N集合提供纵坐标，则有1×2＝2， 若M集合提供纵坐标，N集合提供横坐标，则有2×2＝4，合计2＋4＝6， 即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6个，故