玉溪一中高三校统测试卷.docx

高中数学学习材料
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玉溪一中2014届高三校统测试卷
理科数学
一．选择题(每小题5分，共60分)
1．已知集合{1,2},{a,b}a
A B ==，若⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ，则B A 为（ ） A.⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧b ,1,2
1 B.⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
-21,1 C.⎭
⎬⎫⎩⎨⎧1,21 D.⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-1,21,1
2．若向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．
2π B ．23π C ．34π D ．56
π 3．复数121
2,3z i z i
=+=+在复平面上分别对应点,A B ，则AOB ∠=（ ）
A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 4．设02
x π
<<，记sin lnsin ,sin ,x
a x
b x
c e
===，则比较,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c
<< B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<
5．}{n a 为各项都是正数的等比数列，n S 为前n 项和，且1010S =,3070S =，那么=40S （ ）
A ．150
B ．200-
C ．150或200-
D ．400或50-
6．设变量,x y 满足1
21y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．积分
2
cos2cos sin x
dx x x
π
+⎰
=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
π 8．二项式2
*1(x )(n N )2n x
+∈展开式中，前三项二项式系数和是56，则展开式中常数项为
（ ） A ．
45256 B ．47256 C ．49256 D ．51
256
9．动点(,)A x y 在单位圆2
2
1x y +=上绕圆心顺时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

已知
0t =时点13
(,)22
A ，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t 的函数(t)y f =的单调
增区间是（ ）
A ．[0,5]
B ．[5,11]
C ．[11,12]
D ．[0,5]和[11,12]
10．已知球O 的球面上有,,,S A B C 四点，其中,,,O A B C 四点共面，ABC ∆是边长2的等边三角形，且S ABC AB ⊥面面，则三棱锥S ABC -体积的最大值是（ ）
A ．3
B ．
32 C ．33 D ．13
11．函数(x)f 是R 上的偶函数，x R ∀∈恒有(4)()(2)f x f x f +=-，且当(2,0]
x ∈-时,1(x)()12
x
f =-,若()()lo
g (2)(a 1)a g x f x x =-+>在区间(2,6]-上恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．(1,2)
B ．[2,)+∞
C ．3
(1,
4) D ．3(4,2]
12．设12,F F 是双曲线2
2
14
y
x -
=的左右焦点,O 是原点，若双曲线右支上存在一点P 满足：22()0OP AB F P +⋅=，且12||||PF PF λ=，则λ=( )
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
二．填空题(每小题5分，共20分) （13）一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积
为 。

13题图
14题图
（14）运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为 。

（15）数列{a }n 通项公式1
sin()12
n n a n π+=+的前n 项和n S ，则2013S = 。

（16）某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列。

若来自同一学校的甲、乙两
名学生同时排在“⨯⨯考点⨯⨯考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的不同的坐法总数有
种。

三．解答题(共70分，解答须写出解题过程和推演步骤)
（17）（本小题满分12分）△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，且
3c o s 6(c o s c o s )
a A
b C
c B =
+。

(1) 求tan2A 的值； (2) 若1
sin()23
B π
+=，22c =，求△ABC 的面积。

（18）（本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级学生比为11:10，为了了解两个学校全体高三年级学生在省统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀。

甲校：
乙校：
(1)计算,x y 的值，并根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率；
(2)若把频率作为概率，现从乙校学生中任选3人，求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望。

（19）（本小题满分12分）如图四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上。

(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB 。

(2)若E 是PB 的中点,且AE 与平面PBD 所成的角为45︒时，求二面角B-AE-D 大小的余弦值。

（20）（本小题满分12分）已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，满足,MA MB 的斜率乘积为定值3
4
-的动点M 的轨迹为曲线C 。

(1)求曲线C 的方程;
(2)过点A 的动直线l 与曲线C 的交点为P ，与过点B 垂直于x 轴的直线交于点D ，又已知点(1,0)F ,试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并证明。

（21）（本小题满分12分）已知函数1
()||ln 2
f x x x a x =+-。

(1)若0a >，求函数()f x 的极值点; (2)若()0f x >，求a 取值范围。

选考题：（本题满分10分）。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D 。

(1)证明：DB DC =；
(2)设圆的半径为1，3BC =，延长CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径。

（23）（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系
,
C
A
B
D
P
E
O
已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t
x 2
24222 （t 为参数）
，直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；
（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列，求a 的值。

（24）（本小题满分10分）已知0,0,0a b c >>>，求证： （1）()()9a
b c b c a
b c a a b c
+
+++≥； （2）2
2
2
()()9a b c a b c abc ++++≥。

参考答案
一．DCBAA,BBABC,DC. 二．13.
836
π+；14.-1 15.3019；16.476
三．17解： (1)由正弦定理得3sin cos 6sin()A A B C =
+,得63cos ,sin 33
A A =
=， 2
tan ,tan 2222
A A =
=。

（2）122cos ,sin 33
B B =
=, 53
sinC sin()sinAcosB cosAsinB 9
A B =+=+=
又
sinA sin sin a b c B C == 得6283,55a b ==，18
sin 225
S ab C ∆== 18解：(1)6,7x y ==；甲校优秀率为2,11
乙校优秀率为2
5
(2)2
0,1,2,3,(3,)5
B ξξ
=，
00332227(0)()(1);55125P C ξ==-=11
232254(1)()(1);55125P C ξ==-=
22132236(2)()(1);55125P C ξ==-=33
03228(3)()(1);55125
P C ξ==-=
分布列：
期望：26()3.55
E ξ=⨯
= 19(1)证明:PD ABCD ⊥面,PD AC ∴⊥ 又ABCD 是正方形,AC BD ∴⊥.
PBD AC ∴⊥面，又AC EAC ⊂面 EAC D ∴⊥面面PB 。

（2）⊥由(1)知AO 面PBD ，OE 是AE 在面PBD 上的射影,
AEO ∠是AE 与面PBD 所成的角,45AEO ∠=︒.
令2()AB =单位,2,22AO OE OP ==
=.
以D 为原点，DA ，DB,DC 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 易求得面BAE 的一个法向量为(2,0,1)m =， 求得面DAE 的一个法向量为(0,2,1)n =-,
1
cos ,3
m n <>=-,二面角大小余弦值为13-。

20.(1)设3
M(x,y),k 224
MA MB
y y k x x ⋅=⋅=-+-，得22:1(x 2)43x y C +
=≠±。

(2)设:2AP x my =-代入2
2
3412x y +=得2
2
(34)120m y my +-=
得222
1268
,3434
P P m m y x m m -==++ 当2m ≠±时,2
44
PF m k m =
-,2
:4(4)40PF mx m y m ---=, ξ
0 1 2 3
P
27125 54125 36125 8
125
又得4(2,
)D m ,PD 的中点2
(2,)M m
，圆M 的半径2|m |R =. 圆心M 到时直线PF 距离22222
|8m (m 4)
4m |
2|m |16(m 4)
m d R m ---=
==+-，
当2,:1,(2,1),1m PF x D d R =±=±== . 综上，直线PF 与BD 为辅直径的圆M 相切。

21.解2
1
0,0,()ln 2
a x f x x ax x >>=+-
, 21421
'(x)2x a 22x ax f x x
+-=+-=,
221244
'()0x 0,x 044a a a a f x --+-++=⇒=<=> ,
22'()0(0,),'()0(,)f x x x f x x x <⇒∈>⇒∈+∞减函数增函数
224
x 4
a a -++∴=是函数的极小值点，无极大值点。

(2)0x >,由(x)0f > 得ln |x a |2x
x
+>, 当01x <<,
ln 02x
x
<,得a R ∈, 当1x =,|1a |0+> 得1a ≠-, 当1x >,不等比等价于ln ln a 22x x
x a x x x
<--
>-+
或 令ln (x)x 2x
g x =--，222
1ln 21ln '(x)122x x x h x x ---+=--= 令2
()21ln x x x ϕ=--+ ，2
114'()40(1)x x x x x x
ϕ-=-+=
<> ()x ϕ在(1,)+∞减函数,()(1)30x ϕϕ<=-<,
得()g x 在(1,)+∞减函数,()(,1)g x ∈-∞-,
ln a 2x
x x
∴<--
不恒成立. 又令ln (x)x 2x
h x
=-+，2221ln 21ln '(x)122x x x h x x --+-=-+= 令2
()21ln x x x ψ=-+-在(1,)+∞减函数,()(1)10x ψψ<=-<, 得()h x 在(1,)+∞减函数,()(1)1h x h <=-,得1a ≥-. 综上,a 取值范围为：1a >-。

23、解：（1）C: 02:,22=--=y x l ax y （2）将直线的参数表达式代入抛物线得
a
t t a t t a t a t 832,22280
416)224(2121212
+=+=+∴=+++-
|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===
212
21212
215)(||||t t t t t t t t =+⇒=- 代入得 1=a 24、证：（1）因为2
2(
)(111111)a b b c c a b a c b a c
⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯ 又由柯西不等式得，2222222
(111111)(111)(111)9⨯+⨯+⨯≤++++=
所以，有()()9a b c b c a
b c a a b c
++++≥ （2）
33a b c abc ++≥，又32222223a b c a b c ++≥
所以2
2
2
()()9a b c a b c abc ++++≥。