2019年江西省上饶市桃李中学高三数学文联考试卷含解析

2019年江西省上饶市桃李中学高三数学文联考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，
，则函数的零点个数是
A．2 B．4 C．6 D．8
参考答案：
C
2. 已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为
（）
A．2 B．4 C．8 D．16
参考答案：
C
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】求出集合B，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，
则A∩B={1，3，4}，
故A∩B的子集个数为23=8个，
故选：C
3. 双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线
的焦点重合，直线与抛物线相切与双曲线的一条渐近线平行，则
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
A
4. 在等比数列 {a n} 中， a7a11 =6，a4 +a14 =5，则= （）
A．或 B． C．D．－或－
参考答案：
A
∵a4a14 = a7a11 =6，a4 +a14 =5，∴构造方程x2－5x+6=0，解得：或．∴ == 或；
5. 若，展开式中，的系数为-20，则等于
A． -1 B． C. -2 D．
参考答案：
A
，，代入验证得.
6. 已知数列是等差数列，其前项和为，若首项且，有下列四个命题:；；数列的前项和最大；使的最大值为；
其中正确的命题个数为（）
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
参考答案：
C
略
7. 函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数
在上的最小值为
A． B．C．
D．
参考答案：
函数向左平移个单位得
，又其为奇函数，故则，，解得，又，令，得，
∴，又∵，∴ ，即
当时，，故选．
8. 已知函数，若对任意，总存在
使得，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
9. 设全集若直线与圆的两个交点关于直线对称，则
的值分别为
A. B. C. D.
参考答案：
A
因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线与直线垂直，且直线过圆心，所以。

10. 已知且，则的最大值等于
A．B． C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域为．
参考答案：
12. 曲线在（1，1）处的切线方程是______________.
参考答案：
略
13. 函数的图象经过定点A，若点A在直线、
上，则的最小值为．
参考答案：
4
14. 已知函数图象的一条对称轴为，记函数的两个极值点分别为，，则的最小值为．
参考答案：
考点：函数的极值，三角函数图象的对称性．
【名师点睛】由于正弦函数的对称轴是，对称轴与函数图象交点为最低点或者是最高点，即对应的函数值最大或最小，反之亦成立．（余弦函数也如此），因此的对称轴对应的值就是函数的极值点，反之亦成立．利用此结论可以容易地解与三角函数的极值或对称轴有关的问题．类似地，函数
的对称中心就是函数的零点．
15. 已知球是棱长为12的正四面体的外接球，分别是棱
的中点，则平面截球所得截面的面积是。

参考答案：
16. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s值等于．
参考答案：
－3
略
17. 过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分)
已知函数R.
(I)求函数的最小正周期；
(II)求函数在区间上的最小值和最大值.
参考答案：
解析：.
因此，函数的最小正周期为.
(II)解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又
故函数在区间上的最大值为最小值为.
解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为最小值为.
【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.
19. 已知数列{a n}，a1=2，a2=6，且满足（n≥2且n∈N*）
（1）求证：为等差数列；
（2）令，设数列{b n}的前n项和为S n，求{S2n－S n}的最大值.
参考答案：
20. 设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4=2a2+1，且S1，S2，S4成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．
【分析】（1）通过记等差数列{a n}的公差为d，利用基本量表示出通项和前n项和，联立a4=2a2+1与S1，S2，S4成等比数列可求出a1=1、d=2，进而可得结论；
（2）通过（1）裂项可知c n= [﹣]，进而并项相加即得结论．
【解答】解：（1）记等差数列{a n}的公差为d，
由a4=2a2+1可知：a1+3d=2（a1+d）+1，
由S1，S2，S4成等比数列可知=a1（4a1+6d），
解得：a1=1、d=2或a1=﹣1、d=0（舍），
所以a n=2n﹣1；
（2）由（1）可知S n==n2，c n=== [﹣]，
所以T n=[﹣﹣]．
21. 某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：
（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
参考答案：
【考点】CF：几何概型．
【分析】（Ⅰ）根据平均数的定义即可求出，
（Ⅱ）设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率．
【解答】解：（Ⅰ）a=
（2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3）=4，
（Ⅱ）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则
若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y﹣x|＜4，
所以必须等待的概率为P=1﹣=，
答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为．
【点评】本题主要考查建模、解模能力；解答关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率．
22. （本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售
完，每千件的销售收入为万元，且.
（Ｉ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式；
（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？参考答案：
解：（Ｉ）当时，；
当时，．
∴年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式为
（Ⅱ）当时，由，
即年利润在上单增，在上单减
∴ 当时，取得最大值，且（万元）．
当时，，仅当时取“=”
综上可知，当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为万元．。