2013优化方案苏教版数学必修1课件1.3第二课时交集、并集的性质及其应用

变式训练
1.已知集合A＝{x|x2－(a－1)x－a＝0}，B＝{x|x2－(a2－2a －1)x－a2＋2a＝0}，求实数a的值，使得A∩B＝A. 解：方程x2－(a－1)x－a＝0两根为－1，a； 方程x2－(a2－2a－1)x－a2＋2a＝0两根为－1，a2－2a. 因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以a∈B. 所以a＝－1或a2－2a＝a，解得a＝0或a＝3. 经检验，可得a＝－1，0，3.
(4)∁U(A∩B)＝{x|1<x<3，x∈R}∪{x|5≤x≤7，x∈R}．
(5)认真观察不难发现： ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
方法感悟
1.Venn图是处理有限集合的交、并、补集运算的有 力工具，要善于运用它来理解并进行集合运算． 2. 注意几种特殊情况： (1)A∩B＝∅⇔A与B均为非空集合且无公共的元素或 A、B中至少有一个为空集； (2)注意集合运算时A∩B＝A与A∪B＝A的转化，即 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A； (3)注意∅的特殊性．
解：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集 合B，参加球类比赛的为集合C，根据题意画 出பைடு நூலகம்enn图，如图所示． 在图中相应的位置填上数字，设同时参加田 赛和球类比赛的人数为x， 由题意得： 9＋3＋3＋(8－3－x)＋ x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的共有3人，只参 加径赛的人为9人．
失误防范 1.无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因 而它不具备数的一般性质和运算法则． 2.在研究集合之间的关系时，往往容易忽视∅， 解题时要特别注意对∅的讨论验证．
A∩B＝{x|3≤x<5，x∈R}， A∪B＝{x|2≤x<7，x∈R}，
∁UA＝{x|1<x<2，x∈R}∪{x|5≤x≤7，x∈R}， ∁UB＝{x|1<x<3，x∈R}∪{7}． 从而可求得
(1)(∁UA)∩(∁UB)＝{x|1<x<2，x∈R}∪{7}． (2)∁U(A∪B)＝{x|1<x<2，x∈R}∪{7}． (3)(∁UA)∪(∁UB)＝{x|1<x<3，x∈R}∪{x|5≤x≤7， x∈R}．
【解】 因为B⊆A，所以A∩B＝B.又A∩B＝ {1，a}，B＝{1，a2}，所以a2＝a，解得a＝0或 a＝1. 又 因 为 由 集 合 元 素 的 互 异 性 知 a≠1 ， a ≠ b ， 所以当b＝0时，这样的实数a不存在；当b≠ 0时，这样的实数a存在，且a＝0. 【名师点评】 应用交集性质A∩B＝B⇔B⊆A， 把集合间的包含关系转化为集合相交问题， 体现了转化思想．
【思路点拨】 实际问题→数学问题→集合运 算→Venn图→结果．
【解】 赞成 A 的人数为 50×35＝30， 赞成 B 的人数为 30＋3＝33，如图．(4 分) 记 50 名学生组成的集合为 U，赞成事件 A 的学生全体为 集合 A，赞成事件 B 的学生全体为集合 B.设对事件 A、 B 都赞成的学生人数为 x，
交集的运算性质
A∪B＝__B__∪__A___ A∩B＝__B__∩__A___
A∪A＝___A___
A∩A＝___A____
A∪∅＝___A___
A∩∅＝___∅___
A⊆B⇔A∪B＝__B____ A⊆B⇔A∩B＝__A___
2.区间的概念 设a，b∈R，且a<b，
名 称
定义
符号
闭
区 {x|a≤x≤b} _[_a_，__b_]_
集合中的实际应用问题
例3 (本题满分14分)向50名学生调查对A、B两 事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的 五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多 3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的 学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1 人，问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各 有多少人？
则对 A、B 都不赞成的学生人数为x3＋1，赞成 A 而不赞 成 B 的人数为 30－x，赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33－ x.(8 分)
依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋(x3＋1)＝50， 解得 x＝21.(12 分) 所以对 A、B 都赞成的学生有 21 人，都不赞成的有 8 人． (14 分)
第二课时 交集、并集的性质及其应用
学习导航
学习目标 1.理解给定集合的一个子集的补集的含义，会 求给定子集的补集． 2．会用Venn图表示集合的关系及运算． 重点难点 重点：交集、并集的性质及应用． 难点：交集、并集的性质及应用与实际应用问题．
新知初探思维启动
1.并集与交集的运算性质
并集的运算性质
【名师点评】 应用并集性质A∪B＝ B⇔A⊆B，把问题转化，在由A⊆∁UB研究时， 不要忽略了∅的情况． 变式训练 2.已知集合A＝{x|a<x≤2a＋1}，B＝{x|2<x≤3}． (1)若A∩B＝B，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得A∪B＝B？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．
间
数轴表示
名称
定义
符号
数轴表示
{x|a≤x<b} __[_a_，__b_)__
半开 半 闭区 间
{x|a<x≤b} {x|x≥a}
(a，b] [a，＋∞)
{x|x≤b} (－∞，b]
名 称
定义
符号
数轴表示
{x|a<x<b}
__(_a_，__b_) ___
开 {x|x>a}
__(a_，__＋__∞__)__
2.已知集合U＝{x|1<x≤7，x∈R}，A＝{x|2≤x<5， x∈R}，B＝{x|3≤x<7，x∈R}． 求：(1)(∁UA)∩(∁UB)；(2)∁U(A∪B)； (3)(∁UA)∪(∁UB)；(4)∁U(A∩B)； (5)从中发现什么规律？ 解：利用数轴工具，由集合U，A，B的示意图， 可得到，
3.已知集合A＝{－1，0，1}，集合B满足A∪B ＝A，且集合B含有两个元素，则所有可能的 集合B为________． 解 析 ： 由 A∪B ＝ A 可 得 B ⊆ A ， 反 之 也 成 立 ， ∴B可能为{－1，0}，{0，1}，{－1，1}． 答案：{－1，0}，{0，1}，{－1，1}
名师微博 正确画出Venn图是解题的关键. 【名师点评】 (1)本题是把复杂的实际问题通 过建立集合这一数学模型，转化为数学问题解 决的．其中，Venn图的直观作用使抽象繁冗的 数量关系变得形象，方程的工具性作用将已知 条件与未知结论密切联系在一起． (2)应用数学知识去解决各类实际问题时，建立 数学模型是十分关键的一步．建立数学模型的 过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为
区 间 {x|x<b} ___(_－__∞__，__b_)____
R
__(_－__∞__，__＋__∞__)__
3.Venn图
做一做
1. 已 知 集 合 A ＝ [0 ， 5) ， 集 合 B ＝ (a ， ＋ ∞ ) ， 若 A∩B＝A，则实数a的取值范围是________． 解析：由A∩B＝A得A⊆B.∴a<0. 答案：(－∞，0) 2.若集合A和B各有8个元素，A∩B有4个元素，则 A∪B有________个元素． 解析：画出Venn图，易得A∪B共有12个元素． 答案：12
解：(1)因为 A∩B＝B，所以 B⊆A，所以 a2≤ a＋2， 1≥3， a<2a＋1， 解得 1≤a≤2. (2)因为 A∪B＝B，所以 A⊆B， 当 A＝∅时，有 a≥2a＋1，解得 a≤－1. 当 A≠∅时，有 2≤a<2a＋1≤3，无解． 故满足条件的实数 a 存在，且 a≤－1.
并集的性质及其应用
例2 已知全集U＝R，集合A＝{x|a≤x≤1＋2a}，B＝{x| －1≤x≤2}．若A∪∁UB＝∁UB，求实数a的取值范围． 【解】 因为A∪∁UB＝∁UB. 所以A⊆∁UB＝{x|x<－1或x>2}． 若A＝∅，则a>1＋2a，解得a<－1； 若A≠∅，则a≤1＋2a<－1或2<a≤1＋2a，解得a>2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
备选例题
1. 已知实数a使三个方程x2－x＋a＝0，x2－2x ＋a＝0，x2－4x＋2a＝0至少一个有解，求a的 取值范围．
解：Δ 1＝1－4a<0，得 a>14；Δ 2＝4－4a<0，得 a>1； Δ 3＝16－8a<0，得 a>2. 因为{a|a>14}∩{a|a>1}∩{a|a>2}＝{a|a>2}， 故 a>2 时，三个方程均无解． 所以三个方程至少有一个有解的 a 的取值范围为 {a|a≤2}．
合理的数学结构的过程，要通过观察和分析实际 对象的特征和规律，建立起反映实际问题的数量 关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决 问题． 变式训练 3.在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比 赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有 14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3 人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人 同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛 的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？
想一想 4.若A∩B＝A∪B，则集合A与B有什么样的关系？ 提示：只有A＝B时，才可能有A∩B＝A∪B. 5.集合{x|x≥1}写成区间形式[1，＋∞]是否正确？ 提示：不正确，应写成[1，＋∞)．
典题例证技法归纳
题型探究
交集的性质及其应用
例1 已知集合A＝{1，b，a}，B＝{1，a2}，问是否 存在这样的实数a，使得B⊆A，且A∩B＝{1，a}？ 若存在，求出a值；若不存在，说明理由．