福建省泉州一中高三数学上学期期中考试(理)实验班

2008-2009学年福建省泉州一中高三数学上学期期中考试（理）实验
班
一、选择题（每题5分 ，共60分）
1、若集合},,{c b a M =中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
2、若1cos()2πα+=-
，3
22
παπ<<，则s (2)in πα+=（ ） A 、
12 B
、±
、
3、不论a 为何值时，直线（a+3）x+(2a-1)y+7=0均过定点（ ） A 、（0，0） B 、1
(3,)2
- C 、（-2，1） D 、（-1，-1）
4、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．,,m n m n αα若则‖‖‖
B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
5、以下程序运行后输出结果为（ ） i=1
WHILE i<8
i=i+2
s=2*i+3
i=i-1 WEND PRINT s
END
A. 21
B. 19
C. 17
D. 23
6、一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的表面积是 （ ）
A ．6+83
B ．12+83
C ． 12+73
D ．18+23
7、已知M={（x,y ）|x+y ≤6,x ≥0,y ≥0},N={（x,y ）|x ≤4,y ≥0,x-2y ≥0}，若向区域M 随
机投一点P ，则P 落入区域N 的概率为 （ ）
A ．
3
1
B ．
3
2 C ．
9
1 D ．
9
2 8、函数1
()sin 22
f x x =
，给出以下结论： ①()f x 是周期为π的奇函数； ②()f x 的最大值是1;
③(,)44ππ
-
是()f x 的一个单调增区间; ④直线2
x π
=是()f x 的对称轴。

俯 侧 第5题
其中正确结论的个数为
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9、已知函数)1(2-=x f y 的定义域是[]
3,3-，则函数)(x f y =的定义域是 （ ）
A ．]2,2[-
B ．[0，2]
C ．[-1，2]
D ．[]
3,3-
10、已知()()()1f x x a x b =--+，n m ,是方程0)(=x f 的两根，且a ＜b ，m ＜n ，则
a ．
b ．m ．n 的大小关系是
（ ）
A ．m ＜a ＜b ＜n
B ．a ＜m ＜n ＜b
C ．a ＜m ＜b ＜n
D ．m ＜a ＜n ＜b
11、某种商品零售价2007年比2005年上涨50%，地方政府欲控制2005到2008年的年平均增长率为20%，则2008年应比2007年上涨（ ） A 、10.5% B 、15.2% C 、20% D 、40% 12、如果我们定义一种运算：g g h h ⎧⊗=⎨⎩
(),
(),
g h g h ≥<已知函数()21x f x =⊗，那么函数
(1)f x -的大致图象是（ ）
三、填空题（每题4分 ，共16分）
13、．2008北京奥运会某国有男运动员560人，女运动员420人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为280的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽取 人。

14、若直线10ax y ++=与圆22
2430x y x y +-++=相切，则实数a ＝ ________ 。

15、已知()()____3)2
5()21(1,222)(=++-+--=f f f f x f x
x 则 16、如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 沿虚线DE 和CE 折起，使
AE 和BE 重合,记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为__________.
E
E
D
四、解答题（共74分）
17、（1）设4001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，10102B ⎛⎫
⎪=
⎪⎝⎭
，求AB 的逆矩阵 （2）矩阵1021A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
对应的变换把直线y=-x+1变成什么？ 18、把一个骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第一次出现的点数为b ，若直线1l 的方程为ax+by=3，直线2l 的方程为x+2y=2，圆的方程为2217x y +=，解下列各题：
（1）求直线12l l 的概率；
（2）构造点P （a ，b ），求点P 在圆上的概率。

19、（本小题满分12分）四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD ∆为正三角形，平
面,ABCD PCD 平面⊥PB PD E AC 为,⊥中点.
（1）求证：PB ∥ 平面AEC ； （2）求二面角E —AC —D 的大小.
20、有两个投资项目B A ,，根据市场调查与预测，A 项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.（注：利润与投资单位：万
元）
（1）分别将B A ,两个投资项目的利润表示为投资x （万元）的函数关系式； （2）现将)100(≤≤x x 万元投资A 项目, x -10万元投资B 项目.)(x h 表示投资A 项目所得利润与投资B 项目所得利润之和.求)(x h 的最大值,并指出x 为何值时, )(x h 取得最大值.
21、已知圆C ：4)3(22=-+y x ，一动直线l 过)0,1(-A 与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N .
（Ⅰ）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （Ⅱ）当32=PQ 时，求直线l 的方程； （Ⅲ）探索⋅是否与直线l 的倾斜角有关，
若无关，请求出其值；若有关，请 说明理由.
22、已知函数2
1f(x)=lnx,g(x)=
ax +bx (a 0).2
≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)ϕϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x
轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
第21题
参考答案
一、选择题
DCCDA BDBCD BA （B ） 二、填空题
13、160；14、-1；15、2；16、 (1)(2)(4)；（
17、（1）设4001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，10102B ⎛⎫
⎪=
⎪⎝⎭
，求AB 的逆矩阵 （2）矩阵1021A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
对应的变换把直线y=-x+1变成什么？ 解、(1)1
04
2A ⎛⎫ ⎪
= ⎪⎝⎭
（2）变成直线y=x+1 18、
19、（本小题满分12分）四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD ∆为正三角形，平
面,ABCD PCD 平面⊥PB PD E AC 为,⊥中点.
（1）求证：PB ∥ 平面AEC ； （2）求二面角E —AC —D 的大小.
解（1）连OE O AC BD 连结于点交, PB OE BD O PD E //,,∴中点为中点为 AEC OE 平面⊂ ，AEC ，PB 平面⊄
AEC PB 平面//∴ ………（4分）
（2）设b AD a CD ==, 过.,,BH H CD PH P 连结垂足为作⊥
ABCD PCD 平面平面⊥ ⊥∴PH 平面ABCD ，
AC BH AC PB ⊥∴⊥, ……（6分） 取HD 中点G ,连结EG 、OG ，,21//
PH EG 则AC OG BH OG ⊥∴,2
1
// EO ，PB // AC EO AC PB ⊥∴⊥,
的平面角为二面角D AC E EOG --∠∴……（9分）
ACB BHC AC BH ∠=∠∴⊥, b a b
a
a b BC AB CH BC 2,2,==∴=∴
b EO b PH EG 2
3
,4621===
4
,22sin π
=∠∴=
∠∴EOG EOG
4
π
的大小为
二面角D AC E --∴……（12分）
20、解：（1）投资为x 万元，A 项目的利润为)(x f 万元，B 项目的利润为)(x g 万元。

由题设.)(,)(21x k x g x k x f ==
由图知.41
,41)1(1==
k f 故……………………2分 又,25)4(=g .45
2=∴k …………………………4分
从而)0(4
5
)(),0(41)(≥=
≥=x x x g x x x f ………………6分 （2）)100(104
5
41)10()()(≤≤-+
=-+=x x x x g x f x h 令t t y x t 4
5
410,102+-=-=则 ).100(1665
)25(412≤≤+--=t t ……………………10分
当75.3,16
65
)(,25max ==
=x x h t 此时时……………………11分 答：当A 项目投入3.75万元，B 项目投入6.25万元时，最大利润为
16
65
万元. 12分 21、已知定义域为R 的函数12()2x x n
f x m
+-+=+是奇函数。

①求m 、n 的值。

②若对任意的t ∈R ，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立， 求实数k 的取值范围。

解：①因为()f x 是奇函数，所以f(0)=0
即1120,1,()22x x n n
n f x m m
+-+-+===++解得从而有 11
21
2(1)(1)241f f m m m -+-+=--==++又由知解得
②由①知12111
()22221
x x x f x +-+==-+++
由上式知()f x 在（-∞，+∞）上为减函数。

又因()f x 是奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于
222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+，因为()f x 是减函数
由上式推得22222,320t t t k t R t t k ->-+∈-->即对一切有 从而判别式13
k ∆<-=4+12k<0,得。

22、已知圆C ：4)3(22=-+y x ，一动直线l 过)0,1(-A 与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：
063=++y x 相交于N . （Ⅰ）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （Ⅱ）当32=PQ 时，求直线l 的方程； （Ⅲ）探索⋅是否与直线l 的倾斜角有关，
若无关，请求出其值；若有关，请 说明理由.
解：（Ⅰ） l 与m 垂直，且3
1
-
=m k ，3=∴l k ，又3=AC k ，
所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．........................................................................4分 （Ⅱ）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意 (5)
分
②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ，
因为32=PQ ，所以134=-=
CM ，则由11
|3|2=++-=
k k CM ，得3
4
=
k ………9分
∴直线l ：0434=+-y x . 从而所求的直线l 的方程为1-=x 或
0434=+-y x ……10分
第18题
（Ⅲ）因为CM ⊥MN, ()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅…12分
① 当l 与x 轴垂直时，易得5(1,)3N --，则5(0,)3
AN =-,又(1,3)AC =,
5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-………………………………………………………13分 ② 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，
则由⎩
⎨⎧=+++=063)1(y x x k y ，得N （36,13k k --+k k 315+-）,则55(,)1313k
AN k k --=++………14分
AM AN AC AN ∴⋅=⋅=
51551313k
k k
--+=-++ ..........................................15分 综上，AN AM ⋅与直线l 的斜率无关，且5-=⋅AN AM . (16)
分
（实验班）已知函数2
1f(x)=lnx,g(x)=
ax +bx (a 0).2
≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)ϕϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x
轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
21、解：（I ）依题意：.ln )(2
bx x x x h -+=
()h x 在（0,+∞）上是增函数，1
()20h x x b x
'∴=
+-≥对x ∈（0,+∞）恒
成立
，
1
2.1
0,则
2b x x
x x x
∴≤
+>+≥(]
.22,∞-∴的取值范围为b
（II ）设].2,1[,,2
∈+==t bt t y e t x
则函数化为
,
]2,1[222,12
.
4)2(2
2上为增函数在函数时即当y ，b b
b b t y ≤≤-≤-∴-+= 当t=1
时
，
y m
I
n
=b+1；
,
]2,1[4,22
;
42,24,2212
min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b
b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当t=2
时
，
y m
I
n
=4+2b
.
4
)(,24.1)(,222,2
b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ
当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +
（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且
则点M 、N 的横坐标为.2
2
1x x x +=
C 1在点M 处的切线斜率为.2|12
12
121x x x k x x x +==
+= C 2在点N 处的切线斜率为.2
)
(|
212
221b x x a b ax k x x x ++=+=+=
假设C 1在点M 处
的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =
,ln
ln ln )2()2()
(2
)()(2.
2
)(2
1
2
121212122212212221122121x x x x y y bx x a
bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即
.1)1(2)(2ln
1
2
1
22
11212x x
x x x x x x x x +
-=+-=∴[).1
)
1(2ln ,0)1()(,
,1)(.
0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)
1(2ln )(2
2
2+->
=>+∞>'∴>+-=+-='>+--
=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u
u u u r 则故上单调递增在所以则令 设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=u u
u u x x u 则 ……………… ①。