流体力学基础

第二章流體力學基礎
1.流動描述法
在質點力學和固體力學的學科中，因可以很清楚看到或想像質點或固體的運動情形，所以，也就比較容易去分析。

流體雖然可視為由無數的流體質點或元素(element)所組成，但是，在分析或想像流體各質點的運動時，就可能引起困難。

為研究流體流動的問題，通常有兩種不同定義流場流動的描述或分析的方法，分別是拉氏描述法(Lagrangian method of description)和歐拉氏(Eulerian method of description)描述法。

甲、拉氏描述法
這種描述法的觀念和分析質點力學的問題相同，即視流體
的流動是由無數個流體質點或元素所組成。

茲假設某一流
體質點(取名為A質點)的運動軌跡或路徑(pathline)為已
知，則該運動軌跡在卡氏座標(Cartesian coordinates)上可表
示為：
r= r(ξA, t) = x i+ y j+ z k
式中，
ξA = x A i+ y A j+ z A k
=流體A質點在已知時間t時的位置向量，故為已
知值。

因此，流體A 質點隨時間而運動的軌跡r ，應僅為時間t 的函數，其分量為
x = F x (ξA , t )
y = F y (ξA , t ) (2-1) z = F z (ξA , t )
所以，流體A 質點運動的速度(u , v, w )和加速度(a x , a y , a z )，可依定義對時間t 微分而得。

即：
u = (dt dx )A ξ a x = (dt du )A ξ = (22dt
x d )A ξ
v = (dt dy )A ξ (2-2) a y = (dt dv )A ξ = (22dt y
d )A ξ (2-3)
w = (dt dz )A ξ a z = (dt dw )A ξ = (22dt
z
d )A ξ
顯然地，這些結果和質點力學所表示的式子是完全相同的。

乙 歐拉氏描述法
這種描述法的觀念是在流場中隨意選取某定點P 或固定區域，然後注視佔據該定點P 或固定區域上的流體，注意其流動變數(flow variables)的變動情形。

歐拉假設流體的流動情形，可以一速度場ν表示：
ν = ν(r , t ) = u i + v j + w k
流體質點P 的運動軌跡
x
式中，r = x i + y j + z k 為流場中隨意選定的位置向量。

因此，流場的速度ν為位置和時間的函數，其速度分量可表示為
u = f x (x , y , z , t )
v = f y (x , y , z , t ) (2-4) w = f z (x , y , z , t )
如此，如流場以流動的速度場表示時，即為歐拉氏描述法。

依從歐拉氏描述法，在某時刻t 的速度場中，可知P 點上的速度為ν，其分量如式(2-4)所示。

而在另一方面，若依從拉氏描述法，定義當時佔據P 點上的流體質點為P 質點，然後採取拉氏描述法的觀念，則可應用P 質點的運動軌跡，求得P 質點佔據P 點時的速度，而其x 向的速度分量u 可表示為
歐拉氏描述法
(
dt
dx
)p = u = f x (p r , t ) =已知 拉氏描述法
因此，上式最左項對時間t 積分後，可得流體質點的運動軌跡：
x = ⎰t
T f x (p r , t ) dt = F x (p r , t ) y = ⎰t T f y (p r , t ) dt = F x (p r , t ) z = ⎰t T f z (p r , t ) dt = F x (p r , t )
上式，即為拉氏描述法所得的結果(即式2-1)，其中p r 即為P 質點某在時刻t 的位置向量。

由此知，拉氏的描述法和歐拉氏的描述法是互通的。

在研究一般流體力學的問題，如採取拉氏描述法的觀念，則較簡單易懂，其結果也可以從積分獲得流體質點的運動軌跡(即拉氏描述法所得的結果)。

因此，在以後的討論中，均採用歐拉的方法來描述流場，作為分析和研究流體運動的依據。

2. 流體質點加速度
茲有一流場，場中各點的速度ν為位置向量r 與時間t 的函數(此即為歐拉的流動描述法)。

依據全微分的定義，則流場中各點的加速度為
a = t
t t t t ∆ν-∆+ν→∆)
()(lim
=
t δν∂+x δν∂(dt dx )+y δν∂(dt
dy )+z δν∂(dt dz ) 上式中∆t →0的意義，必須針對同一個流體質點的運動路徑才具有物理意義，亦即必須隨著流體的運動，其速度ν為
ν = ν(r , t ) = u i + v j + w k = 流體的流動速度
因此，得
(dt dx ) = u ， (dt dy ) = v ， (dt
dz
) = w
所以，流場中各點的加速度，即為該點上流體質點的加速度，或稱為實質(material 或substantial)加速度，可表示為
a =
Dt
D υ =
t
δν∂ + (ν ⋅ ∇)ν
(2-5)
= 局部加速度 + 對流加速度
式中，
Dt
D = t δ∂
( ) + (ν ⋅ ∇)( )
稱為實質導數式，將經常在以後章節中出現。

3. 控制體方法
在流場中圈選一有限空間或體積，然後注視該體積上流體物理量(如質量，動量或能量等)的變化情形，稱為控制體分析方法(Control V olume Approach)。

這種利用控制體的分析方法，即為熱力學上的開放系統(open system)分析法。

當時間為t 0時，將佔據控制體上的流體視為物理系統(physical system)，系統中含有某物理量N(t 0)。

當時間為(t 0+∆t)時，該流體系統的物理量成為N(t 0+∆t)。

因此，有部份流體系統流出控制體外(III)，有部份流體系統仍留在控制體內(II)，至於控制體中所空出的部份，則由外圍的流體填滿(I)，詳情如下圖所示：
0+∆t)時間之流體系統
因此，該流體系統中物理量隨流體流動的變化率為
Dt DN =0t lim →∆(t )
t (N )t t (N 00∆-∆+) (2-6) 上式中，流體的物理量N 為整體物理量(extensive property)，其定義為
N =
⎰η
system
(ρd ) (2-7)
其中η為流體單位質量的物理量，稱為密集物理量(intensive property)。

例如，流體的整體質量M 、整體動量P
和整體能量E 可分別寫成：
M =
⎰
system
(ρd ) 因此，η＝ 1
P =
⎰
system
V (ρd ) 因此，η＝ V
E = ⎰system
e (ρd ) 因此，η＝ e = u +
2V 2
+ gz
依據式（2-6）的定義，流體系統由時間t 0到t 0+△t 的流動關係，必須跟隨t 0時的流體系統才有意義。

因此，式(2-6)可寫成
Dt DN
=0
t lim →∆(t )NI NII ()NII NIII (0t t 0t ∆+-+∆+)
=0
t lim →∆(
t
)
NI NIII ()NII NII (0t t 0t 0t t 0t ∆-+-∆+∆+)
=
⎰⎰⎰⋅ρη+ρη∂∂
.
c .
s .c )A d v ()d (t (2-8) 因此，流體系統物理量隨流體流動的變化率共有兩部份，即：控制體內流體物理量隨時間的變化率和流體系統在當時經控制體表面流入和流出控制體的物理量。

這個連結物質運動的拉氏觀念和選擇空間控制體歐拉氏觀念的關係式(2-8)稱為雷諾轉換原理（Reynolds Transport Theory ）。

4. 質量守恆
質量守恆(mass conservation)的意義是流動系統的質量M ，在流動過程中永不改變。

即
Dt DM = Dt D
(⎰ρsystem
d ) = 0
從式(2-7)的積分定義知，η=1，因此從雷諾轉換公式(2-8)的關係，可得
⎰⎰⎰⋅ρ+ρ∂∂
.
c .
s .c A d v d t = 0 此即為質量守恆公式。