几何与代数线性变换(数学漫步第六章)

几何与代数线性变换（数学漫步第六章）（观看相应的视频：第六章：复数，续）这章通过在复平面上变换的
动画演示加深人们对复数概念的直观感觉。

杜阿迪以自己个照片为例举了下面复平面变换T函数的例子。

T(z)=z/2
每一个数都除以 2，图片被因子 2 缩小了：一个反向变焦(reverse zoom)！我们把这称作位似变换。

T(z) = iz
由i的定义可知，这即旋转四分之一圆周。

T(z)=(1i)z
1＋i的模是√2，它的辐角是45°。

这是由旋转45°和√2因子位似
复合的变换。

这叫做相似。

这是复数的一大优势：它容许我们把简单相似
描述成乘法。

T(z)=z²
这是我们的第一个非线性变换。

通过把相片放在不同点，我们就会了
解在复平面上应用平方的效果：模被平方辐角被加倍。

T(z)=-1/z
这个变换的作用与俗称的反演(inversion)相似。

与 0 相对应的原点
不能被变换。

但是我们约定原点被变换到无穷点。

原因很简单：如果一个
复数 z 接近 0，即模趋于 0，被变换后的数-1/z 的模， z 的模的倒数，将趋于无穷大。

这个变换有「爆破」的性质，把靠近原点的领域内的点移
至很远处，越过萤幕的边界……相反地，离原点很远的点被「压」至原点附近。

长久以来，学术书籍中都很重视反演，因为它协助我们证明相当漂亮的定理。

反转最主要的性质是把圆变换成圆或直线。

艺术家利用这种类型的变换，而把它称作失真(anamorphosis)。

T(z) = (az b)/(cz d)
更普遍地，如果我们选取四个复数 a、b、c、d，考虑变换 T(z) = (az b)/(cz d)。

这些变换在数学中有好几个名字，Moebius 变换，射影变换，单应变换(homographies)，但是它们首要的性质是把圆变换成圆或直线。

这是一种美丽的几何，共形几何的一个变换群。

这种几何和非欧几何相似，这已是另一个主题了！
T(z)=zk/z
俄罗斯科学家茹科夫斯基在他开拓机翼的空气动力学( the aerodynamics of airfoils )的过程中研究过这个变换。

这个图示的意义在于它展示了这种类型变换的基本性质。

当然它不再保圆（只有 Moebius 变换保圆），但是在无穷小的范围内它还是保圆的。

这些变换叫做全纯的(holomorphic)或共形的(conformal)。

希腊语与拉丁语词根「holo」与「con」意思是「一样(same)」，「morph」意思是「形状(form)」：换句话来说，这些变换保持形状。

全纯函数(holomorphic functions)的研究在数学中占很重要的地位。

六、复变动态系统
在第六章的第二部分，杜阿迪介绍了一个重要分支，他也是这个分支的贡献者之一、是关于茱莉亚集合(Julia set) 的研究，这不仅是基于数学上的兴趣，更是由于它出奇地美丽（当然这两点也有关联）。

很少见一个强大的数学理论能以如此美丽的形式展示出来。

许多艺术家被这些图像激发灵感。

开头的想法很简单：我们随意取一个复数 c。

考虑变换Tc(z) = z² c。

它先复数 z 平方然后平移 c。

在起始点 z，变换的结果是 z1 =
Tc(z)。

我们进而可以考虑它的变换结果 z2 = Tc(z1)，我们一直这样无穷下去，产生复数序列 zn，每个数都由前一个数变换得到。

我们说在变换 Tc 下，序列 zn 处于起始点 z 的轨道(orbit)中。

研究序列 zn 的性质，就是要了解 Tc 的动力学(dynamics)。

下面一个简单的例子，足以体现数学之美。

首先考虑 c=0 的情况。

这时变换实际就是重复 Tc(z)= z2。

每个复数 zn 的模都是前一个的平方。

如果 z 的模小于等于 1，即 z 处于以原点为中心半径为 1 的圆内，那么所有的 zn 都将处于圆内。

另一方面，如果复数 z 模大于 1 那么 zn 的模会一直增长趋于无穷。

z 的轨道最终将超越萤幕！
在第一种情况下，我们说轨道是稳定的(stable)，它始终处于平面一块有界区域内。

第二种情况下它是不稳定的(unstable)，它趋于无穷。

因此使轨道稳定的点 z 的集合是圆。

更普遍地，对于 c 的每一个值，我们也能得到点 z 两种轨道。

变换Tc 下 z 的轨道是稳定的，如果它始终处于平面一块有界区域内，否则就是不稳定的。

使轨道稳定的 z 的点集称作变换 Tc 的填充茱莉亚
(filled-in Julia set)。

了解这些 Julia 集的结构以及它们如何随 c
变化而变化是解析动力系统(holomorphic dynamical systems)理论的一
个重要目的。

首先，杜阿迪给我们展示一些在不同的 c 下茱莉亚集合的
例子。

它们中的一些有奇特的名字，比如「兔子」（你看见它的耳朵了吗？）是在 c= -0.12 0.77i 情况下得到的。

从二十世纪初起人们就知道茱莉亚集合分为两种。

它可以像我们展示
的例子里一样，是单独一块部分，—用数学家的话来说就是连通的(connected) ，或者它完全不连通，由无穷多个独立的碎片组成，每个的
内部都是空集，我们在图像上看不到它！能使我们看见茱莉亚集（茱莉亚
集连通）的点 c 的集合称作曼德博集合，为了纪念本华·曼德博。

为了
了解这集合杜阿迪作；他在证实集合是连通的这方面做出了贡献，他也会
很乐意展示给我们集合是局部连通的… …
这章的末尾重在进入绚丽曼德博集合图形之中，欣赏当放大倍数达到
了两千亿的数量级后那神奇的世界！
我们可以以两种方式观察这景象。

我们可以仅仅欣赏它：它足够美了！或者我们可以问自己一些问题……
比如，颜色的意义是什么？一个古老的定理告诉我们 Julia 集不是
连通的（或者说 c 不在 Mandelbrot 集中）当且仅当在变换 Tc 下 0 的
轨道是不稳定的。

对于给定的 c 值我们观察 Tc 下 z=0 的轨道及其在 n 取值很大时的行为。

如果 zn 非常迅速地变大，就意味着 c 不在Mandelbrot 集中，甚至远离它。

如果序列 zn 趋于无穷大，但是更缓慢些，那么 c 仍然不在 Mandelbrot 集中，只是稍微靠近它。

c 的颜色取
决于序列 zn 趋于无穷的速度，也体现了它离 Mandelbrot 集的「距离」。

另一方面如果 zn 处于一块有界区域中，那么 c 在 Mandelbrot 集中，
它的颜色也就是黑色。

图中的曼德博色的，但是也有其它着色方法。

影片中，我们用「三角不等式」： zn 的模增大超过一确定值时，计算模 A=，zn-z(n-2) ，, B=，zn - z(n-1) ，和 C= ，z(n-1) - z(n-2) 。

A/(BC)是一个取值总在0和1之间的量，我们用这个数确定一个调色盘上的位置。