(浙江专用)高考数学三轮冲刺抢分练选择题填空题增分练(三)

（浙江专用）高考数学三轮冲刺抢分练选择题填空题增分练（三）
选择题+填空题增分练(三)
1．(2019·全国Ⅲ)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B等于( )
A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1}D．{0,1,2}
答案 A
解析集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．
2．(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
答案 B
解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.
3．(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度
之比是5－1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
5－1
2
≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，
最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－1
2
.若某人满足上述两个黄
金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )
A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm
答案 B
解析若头顶至咽喉的长度为26cm，则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26cm，即头顶至咽喉的长度小
于26cm ，所以其身高小于178cm ，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175cm ，故选B.
4．(2019·浙江省金华十校模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y ≤4，
y ≥－2，
则z ＝x ＋2y 的最大
值是( ) A ．8B ．4C ．2D ．6 答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示：
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ，
x ＋y ＝4，解得A (2,2)，
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，
平移直线y ＝－12x ＋z
2，
由图象可知当直线经过点A ，
直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大，此时z ＝6， 故选D.
5．(2019·浙江省三校联考)已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为
ξ，则E (ξ)等于( )
A.145
B.135
C.73
D.83 答案 A
解析 ξ的可能取值为2,3,4.
ξ＝2表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故P (ξ＝2)＝35×35＝925
. ξ＝3表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，
故P (ξ＝3)＝35×25＋25×35＝12
25
.
ξ＝4表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故P (ξ＝4)＝25×25＝4
25
.
所以E (ξ)＝2×925＋3×1225＋4×425＝14
5
.故选A.
6．双曲线T ：y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则它的实轴长等
于( ) A ．4B ．3C ．8D ．6 答案 C
解析 由题意知c ＝5，
双曲线的一条渐近线方程为y ＝a b
x ， 即ax －by ＝0，
则由点到直线的距离公式得|－bc |
a 2＋
b 2
＝3，
解得b ＝3.
所以实轴长为2a ＝2c 2
－b 2
＝8.
7．(2x ＋1)⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1x 6
的展开式中的常数项是( )
A ．－5
B ．7
C ．－11
D ．13 答案 C
解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式的通项公式是C k 6⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x k ，其中含1x
的项是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1，常数项为C 06⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－1x 0
＝1，故(2x ＋1)⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1x 6
的展开式中的常数项是
2x ×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1×1＝－12＋1＝－11.
8．(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)学校安排一天6节课，语文、数学、英语和三节不同的选修课，则满足“数学不排第一节和第六节，三节选修课至少2节相邻”的不同排法数是( ) A ．288 B ．324 C ．360 D ．420
答案 C
解析 若三节选修课都相邻，则将其捆挷看成一门课与语数英排，且其中数学不排两头，故此时有2A 33A 3
3＝72(种)排法；
若三节选修课仅有2节相邻，则相邻的情况有A 2
3种，再讨论每一种情况的排法：
如图，若数学排在第2节，则相邻的两节选修课可排在3,4或4,5或5,6，再考虑第三门选修课及语文与英语位置，此时不同的排法有A 12A 2
2＋A 2
2＋A 12A 2
2＝10(种)；若数学排在第3节，则相邻的两节选修课可排在1,2或4,5或5,6，再考虑第三门选修课及语文与英语位置，此时不同的排法有A 3
3＋A 12A 2
2＋A 12A 2
2＝14(种)；若数学在第4节，排法与在第3节相同；若数学在第5节，排法与在第2节相同．所以仅有两节选修课相邻时的排法有A 2
3(10×2＋14×2)＝288种．综上，所求排法总数为72＋288＝360.故选C.
9．已知a ∈R ，两函数y ＝|x －a |－1与y ＝3
x
－a ＋1的图象有且仅有三个交点，且交点的横
坐标构成等差数列，则实数a 的值为( ) A ．－95或5＋3338
B.
5－333
8
C ．－95
D ．－5＋3338
答案 A
解析 由题意，构造新函数f (x )＝|x －a |－3
x
＋a －2，则该函数有且仅有三个不同的零点．
f (x )＝|x －a |－3
x
＋a －2
＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －3
x －2，x ≥a ，－x －3
x ＋2a －2，x <a ，
由x －3
x
－2＝0，可解得x ＝－1或x ＝3.
(1)当a >3时，x ＝－1和x ＝3均不是f (x )的零点，而－x －3
x
＋2a －2＝0至多有两个解，故
此时f (x )至多有两个零点，不合题意；
(2)当a ≤－1时，x ＝－1和x ＝3都是f (x )的零点，由题意知f (x )有三个零点，故第三个零点是方程－x －3
x
＋2a －2＝0的一个解，且比－1和3都小．由题意，三个零点成等差数列，
故第三个零点必为－5，即－5是方程－x －3x ＋2a －2＝0的一个解，代入可得a ＝－9
5，经检
验，a ＝－9
5
满足题意；
(3)当－1<a ≤3时，x ＝3是f (x )的零点，x ＝－1不是f (x )的零点，设另外两个零点分别为
x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 1，x 2是方程－x －3
x ＋2a －2＝0，即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0的两个解，且
x 1，x 2,3成等差数列，
所以x 1x 2＝3且x 1＋3＝2x 2，解得x 2＝3±33
4，
又x 1＋x 2＝2(a －1)，所以a ＝5±333
8.
又－1<a ≤3，所以a ＝5－333
8不合题意舍去．
综上所述，a 的值为－95或5＋333
8
.
10．(2019·浙江省金华十校模拟)如图，在底面为正三角形的棱台ABC －A 1B 1C 1中，记锐二面角A 1－AB －C 的大小为α，锐二面角B 1－BC －A 的大小为β，锐二面角C 1－AC －B 的大小为
γ，若α>β>γ，则( )
A ．AA 1>B
B 1>C
C 1 B ．AA 1>CC 1>BB 1 C ．CC 1>BB 1>AA 1
D ．CC 1>AA 1>BB 1
答案 D
解析 延长AA 1，BB 1，CC 1交于点O ，设O 在底面的射影为H ，记点H 到三边AB ，BC ，CA 的距离分别为h α，h β，h γ，则tan α＝OH h α，tan β＝OH h β，tan γ＝OH
h γ
，因为α>β>γ，所以h α<h β<h γ，点H 的位置大致如图所示，
直观感知CH >AH >BH .
因为AO ＝OH 2
＋AH 2
，BO ＝OH 2
＋BH 2
，
CO ＝OH 2＋CH 2，所以CO >AO >BO .
设
OA 1OA 1＋AA 1＝OB 1OB 1＋BB 1＝OC 1
OC 1＋CC 1
＝k (0<k <1)，
所以AA 1＝1－k k
OA ，BB 1＝1－k k
OB ，CC 1＝1－k
k
OC .
故CC 1>AA 1>BB 1.
11．抛物线y 2
＝2px (p >0)上的点P (3，y 0)到焦点F 的距离为72，则p ＝________，△POF (O 为
坐标原点)的面积为________． 答案 1
64
解析 由抛物线的定义可知3＋p 2＝7
2
，
得p ＝1，所以y 2
＝2x ，
又P (3，y 0)在抛物线上，所以|y 0|＝6， 所以S △POF ＝12·|OF |·|y 0|＝6
4
.
12．(2019·湖州三校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－x
，x ≤0，
－x 2
＋4x ，x >0，
则f (f (－1))＝________，
若实数a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________． 答案 4 (2,4]
解析 f (f (－1))＝f (2)＝－4＋8＝4. 因为a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )， 所以－2<a ≤0<b <2<c ，b ＋c ＝4， 因此a ＋b ＋c ＝a ＋4∈(2,4]．
13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<π)的最小正周期为π，则ω＝________，将函数
f (x )的图象向左平移π6个单位长度后，图象关于直线x ＝－π3
对称，则函数f (x )的表达式为
____________________． 答案 2 f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6
解析 方法一 由函数f (x )的最小正周期为π，可知ω＝2，
将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图
象，
又g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象关于直线x ＝－π3对称，
所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π
3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，
所以φ＝k π＋5π
6
(k ∈Z )，
因为0<φ<π，所以φ＝5π
6，
所以f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6. 方法二 由函数f (x )的最小正周期为π可知ω＝2.
将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，
又g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象关于直线x ＝－π3对称，
所以由对称的定义可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，
即sin φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－2π3， 因为0<φ<π，所以φ＝5π
6，
所以f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6. 14．(2019·浙江省金华十校模拟)某几何体的三视图如图所示，正视图为腰长为1的等腰直角三角形，侧视图、俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体的表面积是________，体积是________．
答案
2＋32＋32 1
3
解析 由三视图还原原几何体如图所示，该几何体为四棱锥P －ABCD ，
该几何体的表面积S ＝S △PAB ＋S △PAD ＋S △PCD ＋S △PBC ＋S 四边形ABCD ＝3×12×1×1＋12×2×6
2
＋ 2
＝2＋32＋3
2
.
体积V ＝13×2×1×22＝1
3
.
15．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－2的图象的一条切线为y ＝ax ＋b ，则b a
的最小值是________． 答案 1－e 2
解析 切线y ＝ax ＋b 在x 轴上的截距是－b a ，欲求b a
的最小值，只需求切线y ＝ax ＋b 在x 轴上的截距的最大值．因为f ′(x )＝
1x ＋1
>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数，零点是e 2
－1.如图，作出函数f (x )的大致图象，结合图象可知f (x )的图象在点(e 2
－1,0)处的切线在
x 轴上的截距最大，最大值为e 2－1.因此，b
a
的最小值是1－e 2.
16.如图所示，在⊙O 中，AB 与CD 是夹角为60°的两条直径，E ，F 分别是⊙O 与直径CD 上的动点，若OE →·BF →＋λOA →·OC →
＝0，则λ的取值范围是________．
答案 [－23，23]
解析 设圆O 的半径为r ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B ()r ，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
r ，－32r ，
设E ()r cos α，r sin α，α∈[0,2π)，
∴OF →＝μOC →
＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ，－32r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12μr ，－32μr ，
其中μ∈[]－1，1，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2μr －r ，－32μr ，
∴OE →·BF →
＝()r cos α，r sin α·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12μr －r ，－32μr
＝r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2μ－1cos α－32μr 2sin α，OA →·OC →＝()－r ，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫12
r ，－32r ＝－12r 2，∵OE →·BF →＋
λOA →·OC →
＝0，
∴λ＝－OE →·BF
→
OA →·OC →＝()μ－2cos α－3μsin α
＝(μ－2)2
＋3μ2
cos ()α＋θ＝
4⎝
⎛⎭⎪⎫μ－122＋3cos ()α＋θ， 其中，tan θ＝
3μ
μ－2
， 又μ∈[]－1，1，∴3≤
4⎝
⎛⎭⎪⎫μ－122＋3≤23， ∴－23≤
4⎝
⎛⎭⎪⎫μ－122＋3cos ()α＋θ≤23，
∴－23≤λ≤23，即λ的取值范围是[]－23，23.
17．(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若b 1＝2，b n ＝t 4b n －1＋34
(n ∈N *
且n ≥2，t ∈R )，
若|b n |≤2对任意n ∈N *
恒成立，则实数t 的取值范围是________． 答案 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－4，52
解析 当t ＝4时，{b n }为首项为2，公差为3
4的等差数列，显然不合题意．
当t ≠4时，由b n ＝t 4b n －1＋34⇒b n －34－t ＝t 4⎝ ⎛
⎭⎪⎫b n －1－34－t ，
又b 1－
34－t ＝2－34－t ＝5－2t
4－t
， 若t ＝5
2
，则b n ＝2，满足题意；
若t ≠5
2
且t ≠4，
则b n ＝5－2t 4－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4n －1＋34－t
，
所以|b n |≤2⇔2t －114－t ≤5－2t 4－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4n －1≤5－2t
4－t .(*)
当5－2t 4－t <0，即52<t <4时，(*)式⇔1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4n －1≤2t －115－2t 不能恒成立；
当
5－2t 4－t >0，即t >4或t <52时，(*)式⇔2t －115－2t ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 4n －1
≤1， 若t >4，右边不等号不能恒成立； 若t <－4，右边不等号不能恒成立；
若－4≤t <52，因为2t －115－2t <－1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4n －1≤1，
故
2t －115－2t ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 4n －1
≤1恒成立． 综上所述，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，52.。