九年级数学上册 压轴解答题试卷(word版含答案)

九年级数学上册 压轴解答题试卷（word 版含答案）
一、压轴题
1．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.
（1）求证：BE=FD ；
（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；
①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长.
2．如图，等边ABC 内接于O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M ．
（1）求APC ∠和BPC ∠的度数；
（2）求证：ACM BCP △≌△；
（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积；
（4）在（3）的条件下，求AB 的长度．
3．数学概念
若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念
（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 .
（2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足
180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，DB DC =
②如图②，BC BD =
深入思考
（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）
4．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.
（1）求证：AEF BCE ∽；
（2）若23AC =AB 的长；
（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？
5．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB 3cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．
（1）求证△AEF ∽△BCE ；
（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；
（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．
6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .
（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；
（2）设BC a =，AC b =；
①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.
②若线段AD EC =，求a b
的值. 7．已知，如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 为AC 的中点，Q 从点A 运动到B ，点Q 运动到点B 停止，连接PQ ，取PQ 的中点O ，连接OC ，OB ．
(1)若△ABC ∽△APQ ，求BQ 的长；
(2)在整个运动过程中，点O 的运动路径长_____；
(3)以O 为圆心，OQ 长为半径作⊙O ，当⊙O 与AB 相切时，求△COB 的面积．
8．如图，函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，且m ＜n ．
（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；
（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ，
①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；
②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值．
9．已知抛物线y ＝﹣14
x 2+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标；
（2）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，E 是线段AC 上的动点（点E 不与A ，C 两点重合）；
（i ）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两部分，求点E 的坐标；
（ii ）如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由．
10．已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线2x =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点(,1)M m -，点A 、B 为抛物线上不重合的两点（B 在A 的左侧），且直线MA 与抛物线仅有一个公共点．
①如图1，当点M 在y 轴上时，过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ，BQ x ⊥轴于点Q ．若APM △与BQO △ 相似， 求直线AB 的解析式；
②如图2，当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时，记A 、B 两点的横坐标分别为a 、b ．当点M 在y 轴上时，直接写出m a m b
--的值为 ；当点M 不在y 轴上时，求证：m a m b
--为一个定值，并求出这个值．
11．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．
作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用： 如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．
12．如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin∠AOC＝45
，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）．请解答下列问题：
（1）当CP⊥OA 时，求t 的值；
（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；
（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t 的值．
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一、压轴题
1．（1）见详解；（2）125；（3）①见详解，②32-6
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；
（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=1
2•BD•AM+
1 2•BD•CM=
1
2
•BD•AC即可求解；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OH⊥EF，
∴EH=HF，
∵OH⊥BD，
∴BH=HD，
∴BE=DF；
（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．
∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OAC=45°，
∴∠AME=90°，即AC⊥BD，
连接OB．设OH=a，
∵BE=EF，
∴BE=2EH=2OH=2a，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，
∴a2+（3a）2=（25）2，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BD=BE+EF+DF=6a=62，
在Rt△AOC中，AC=2AO=210，
∴S四边形ABCD=1
2
•BD•AM+
1
2
•BD•CM=
1
2
•BD•AC=
1
2
×210×62=125；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OA=OC，
∴∠EOH=1
2
∠EOF=
1
2
（∠EAC+∠ACO）=
1
2
×2∠OAC=∠OAC，
∴AC∥OH，
∴AC⊥BD，
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，
∴BM，DM，CM=DM，
∴AB•CD+BC2DM+BM2+CM2=（BM+DM）2=BD2；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，
∵∠BOC=2∠BDC=90°，
∴，
∵AB•CD+BC2=BD2，AB•CD=AO2=12，
∴12+24=BD2，
∴BD=6（负根已经舍弃），
在Rt△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴（）2=（6-x）2+x2，
∴或
∴．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
2．（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）见解析；（34）
9
【解析】
【分析】
（1）由△ABC是等边三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圆周角定理可知
∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS证得两三角形全等即可；
（3）根据CM∥BP说明四边形PBCM是梯形，利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，利用勾股定理求出AB的长，在△ABC中，利用等边三角形的性质求出BN，在△BON中利用勾股定理求出OB，最后根据弧长公式求出弧AB的长.
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵=
BC BC，=
AC AC，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC，
在△ACM和△BCP中，
M BPC
MAC PBC
AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=
33
，
∴S四边形PBCM=
1
2
（PB+CM）×PH=
1
2
(2+3)×
33
2
=
153
4
；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，∵∠APC=∠BPC=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=
1
2
PB=1，
∴在△BPQ 中，BQ=2221
=3-，
∴在△AQB 中，AB=()()2222=113=7AQ BQ +++，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AN 经过圆心O ，
∴BN=12AB=7， ∴AN=2221=2
AB BN -， 在△BON 中，设BO=x ，则ON=
212x -， ∴222721=x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 解得：x=21， ∵∠BOA ＝2∠BCA ＝120°，
∴AB =211202213=1809
ππ⨯.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，四边形的面积，勾股定理，弧长公式，是一道比较复杂的几何综合题，解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识．
3．（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤
【解析】
【分析】
（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；
（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；
②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；
（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；
（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．
【详解】
（1）（i ）若APB ∠=BPC ∠时，
∴BPC ∠=APB ∠=100°
（ii ）若BPC CPA ∠=∠时， ∴12
BPC CPA ∠=∠=
（360°－APB ∠）=130°； （iii ）若APB ∠=CPA ∠时，
BPC ∠=360°－APB ∠－CPA ∠=160°， 综上所述：BPC ∠=100°、130°或160°
故答案为：100、130或160．
（2）选择①：
连接,PB PC
∵DB DC =
∴=DB DC
∴BPD CPD ∠=∠
∵180APB BPD ∠+∠=，180APC CPD ∠+∠=
∴APB APC ∠=∠
∴P 是ABC ∆的等角点．
选择②
连接,PB PC
∵BC BD =
∴BC BD =
∴BDC BPD ∠=∠
∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形，
∴180BDC BPC ∠+∠=
∵180BPD APB ∠+∠=
∴BPC APB ∠=∠
∴P 是ABC ∆的等角点
（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC
∴△BCD为等边三角形
∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°
作CD的垂直平分线交MN于点O
以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆
∴∠BQC=180°－∠BDC=120°
∵BD=CD
∴∠BQD=∠CQD
∴∠BQA=∠CQA=1
2
（360°－∠BQC）=120°
∴∠BQA=∠CQA=∠BQC
如图③，点Q即为所求．
（4）③⑤．
①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心
假设∠BAC=60°，∠ACB=30°
∵点O是△ABC的内心
∴∠BAO=∠CAO=1
2
∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=
1
2
∠ABC=45°，
∠ACO=∠BCO=1
2
∠ACB=15°
∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°
显然∠AOC ≠∠AOB ≠∠BOC ，故①错误；
②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；
④由（3）可知，点Q 为△ABC 的强等角，但Q 不在BC 的中垂线上，故QB ≠QC ，故④错误；
⑤由（3）可知，当ABC ∆的三个内角都小于120时，ABC ∆必存在强等角点Q ． 如图④，在三个内角都小于120的ABC ∆内任取一点'Q ，连接'Q A 、'
Q B 、'Q C ，将'Q AC ∆绕点A 逆时针旋转60到MAD ∆，连接'Q M ，
∵由旋转得'Q A MA =，'Q C MD =，'
60Q AM ∠=
∴'AQ M ∆是等边三角形．
∴''Q M Q A =
∴'''''Q A Q B Q C Q M Q B MD ++=++
∵B 、D 是定点，
∴当B 、'Q 、M 、D 四点共线时，''Q M Q B MD ++最小，即'''Q A Q B Q C ++最小．
而当'Q 为ABC ∆的强等角点时，'''120AQ B BQ C CQ A AMD ∠=∠=∠==∠， 此时便能保证B 、'Q 、M 、D 四点共线，进而使'''
Q A Q B Q C ++最小．
故答案为：③⑤．
【点睛】
此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
4．（1）详见解析；（2）23）
12
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等，得到AFE BEC =∠∠，即可证明相似；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求
出AB 的长度；
（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度.
【详解】
（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=︒， ∴90AEF AFE ∠+∠=︒，
∵EC EF ⊥，
∴90FEC ∠=︒，
∴90AEF BEC ∠+∠=︒，
∴AFE BEC =∠∠，
∴AEF BCE ∽；
（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ，
∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
∴22,2AB AE BE AD AF ===；
∵AEF BCE ∽，
∴AE AF BC BE
=， ∴222AB BC =，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得，
222AB BC AC +=，
∴221122
AB AB +=， 解得：22AB =；
（3）如图：
∵△ABC 是直角三角形，
∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处，
同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处，
∴线段MN 为△ACF 的中位线，
∴1124
MN AF AD ==， 由（2）知，22222AB BC AD ==， ∴2AD AB =
，
∴1882
MN AB =
==. 【点睛】 本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解.
5．（1）详见解析；（2）21y 2x =-
,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】
【分析】
（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得
AF AE
BE BC =，y x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角
形ABH 中，
602
AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，
∴∠AEF +∠AFE =90°，
∵EF ⊥CE ，
∴∠AEF +∠BEC =90°，
∴∠AFE =∠BEC ，
∴△AEF ∽△BCE ；
（2）由（1）△AEF ∽BEC 得
AF AE BE BC =，y x =，
∴212y x =-
+，
∵212y x =-
+=213(22x -+，
当x =y 有最大值为32
， ∴302
AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，
在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，
∴∠EHF =90°，
∴ME =MF =MH ，
在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，
∴MA =ME =MF =MH ， 则A 、E 、H 、F 在同一圆上；
如图2，连接AH ，
∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°
∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，
如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，
在直角三角形ABH 中，
360AH sin AB =︒=， ∵AB =23
∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．
【点睛】
此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．
6．（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②
34
a b =. 【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；
②根据勾股定理列出算式，计算即可．
【详解】
（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.
∴90B A ∠=︒-∠ 9028=︒-︒
62=︒，
∵BC BD =，
∴1802
B BCD BD
C ︒-∠∠=∠= 180622
︒-︒= 59=︒.
∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠
9059=︒-︒
31=︒.
（2）①BD BC a ==，
∴AD AB BD =-
AB a =-.
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，
AB =
=
∵2220x ax b +-=，
∴x =
a =-
a AB =-±.
∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.
②∵AE AD =，
又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==
， ∴2
b AD =. 在Rt ABC ∆中，
222AB AC BC =+， ∴2
222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 2
2224b a ab b a ++=+， ∴234
b ab =. ∵0b >， ∴
34b a =， ∴34
a b =. 【点睛】
本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
7．(1)BQ=8.2cm ；(2)5cm ；(3)S △BOC ＝
39625. 【解析】
【分析】
(1)根据ABC APQ ∆~∆得AC AB AQ AP
=，从而得到AQ 的长即可求出BQ 的长； （2）由点Q 与点A 重合和点Q 与点B 重合时，可以确定点O 的位置，再根据点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时，由点O 是PQ 的中点，点F 是PB 的中点可知OF 是PBQ ∆的中位线，从而得到点O 的运动轨迹是APB ∆的 中位线，即线段EF ，即可求得答案；
（3）连接AO ，过点O 作ON AC ⊥ ，先证明APQ ABC ∆~∆得到
AQ AP PQ AC AB BC == ，所以求得,AQ PQ 的值，且OP OQ =，再证明PON PAQ ∆~∆得到ON PO AQ PA =，求得ON 的值，再根据BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--即可求得答案；
【详解】
解：(1)如图1所示，
∵90,6,8C AC cm BC cm ∠===
∴10AB cm =
又∵点P 为AC 的中点，
∴3AP cm =
∵ABC APQ ∆~∆
∴AC AB AQ AP = ，即6103
AQ = 解之得： 1.8AQ =
则8.2BQ AB AQ cm =-=
(2)如图2，
当点Q 与点A 重合时，点O 位于点E 的位置，
当点Q 与点B 重合时，点O 位于点F 的位置，
则EF 是△APB 的中位线，
∴EF ∥AB ，且EF ＝12AB ＝5，152
EF AB == 而当点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时，
∵点O 是PQ 中点，点F 是PB 的中点，
∴OF 是△PBQ 的中位线，
∴OF ∥BQ ，
∴点O 的运动轨迹是线段EF ，
则点O 的运动路径长是5cm ；
故答案为5cm ．
(3)如图3，连接AO ，过点O 作ON AC ⊥于点N ，
∵⊙O 与AB 相切，
∴PQ AB ⊥ ，即90AQP ∠= ，
∵,90PAQ BAC ACB AQP ∠=∠∠=∠=
∴APQ ABC ∆~∆
∴AQ AP PQ AC AB BC == ，即36108
AQ PQ == 解之得： 912,55AQ PQ =
= 则65
OP OQ == ∵ON AC ⊥
∴90PNO PQA ∠=∠=
又∵OPN APQ ∠=∠
∴PON PAQ ∆~∆， ∴ON PO AQ PA = ，即6
593
5
ON = ， 解之得:1825
ON = 则BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--
111•••222
BC AC AB OQ AC ON =-- 11611868106225225
=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 39625
= 【点睛】
本题主要考查了相似三角形和圆的综合问题，掌握圆的切线判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、割补法求面积等知识点是解题关键.
8．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2
【解析】
【分析】
（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；
②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【详解】
解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <，
用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，
11x ∴=-，23x =，
1m ∴=-，3n =，
(1,0)A ∴-，(0,3)B ，
把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
，
∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）令2230y x x =-++=，即2230x x --=，
解得11x =-，23x =，
∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，
1OA ∴=，3OC =，
∴对称轴为1312
x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，
∴
BC = BD ==DC ==
222CD DB CB =+，
BCD ∴∆是直角三角形，且90DBC ∠=︒，
∴112322
S BCD BD BC ==⨯⨯=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），
①在0≤x ≤3范围内，
当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；
②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值 223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，
令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．
2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时4p =，令24(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，
21t = )；
或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =
4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值 223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，
令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．
综上，1t =-或2t =．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．
9．（1）y ＝﹣
14x 2+x +3，顶点B 的坐标为（2，4）；（2）（i ）点E 的坐标为（85，3）或（125
，3）；（ii ）存在；当点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上，此时AE 的
长为4
3
．
【解析】【分析】
（1）由题意得出
2
1
441,
4
3,
1
2
4
b c
b
⎧
-⨯++=
⎪
⎪
⎨-=
⎪⎛⎫
⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
，解得
1,
3,
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，得出抛物线的函数表达式为：y＝
﹣1
4
x2+x+3＝﹣
1
4
（x﹣2）2+4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y
＝
1
2
m
-
-
x+
46
2
m
m
-
-
，则点M的坐标为（4m﹣6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝
4m﹣6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝1518
2
m-
，分两种情况求出m的值即可；
（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，﹣1
4
a2+a+3），则NF＝
3﹣（﹣1
4
a2+a+3）＝
1
4
a2﹣a，NC＝﹣a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝
4，则AE＝NC＝﹣a，证△ENF∽△DAE，得出NF NE
AE AD
=，求出a＝﹣
4
3
或0，当a＝0
时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝4
3
，即可得出结论．
【详解】
（1）∵抛物线y＝﹣1
4
x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴
2
1
441, 4
3,
1
2
4
b c
b
⎧
-⨯++=⎪
⎪
⎨-=
⎪⎛⎫
⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
解得
1,
3, b
c
=⎧
⎨
=⎩
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣1
4
x2+x+3，
∵y＝﹣1
4
x2+x+3＝﹣
1
4
（x﹣2）2+4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y＝﹣1
4
x2+x+3，
∴x＝0时，y＝3，
则C点的坐标为（0，3），
∵A（4，3），
∴AC∥OD，
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则
24,
3, k n
mk n
+=⎧
⎨
+=⎩
解得：
1
,
2
46
,
2
k
m
m
n
m
-
⎧
=
⎪⎪-
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
，
∴直线BE的函数表达式为：y＝
1
2
m
-
-
x+
46
2
m
m
-
-
，
令：y＝
1
2
m
-
-
x+
46
2
m
m
-
-
＝0，则x＝4m﹣6，
∴点M的坐标为（4m﹣6，0），
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，
S梯形ECOM＝1
2
（OM+EC）•OC＝
1
2
（4m﹣6+m）×3＝
1518
2
m-
，
分两种情况：
①S ECOM
S ACOD
梯形
矩形
＝
1
4
，即
1518
2
12
m-
＝
1
4
，
解得：m＝8
5
，
∴点E的坐标为：（8
5
，3）；
②S ECOM
S ACOD
梯形
矩形
＝
3
4
，即
1518
2
12
m-
＝
3
4
，
解得：m＝12
5
，
∴点E的坐标为：（12
5
，3）；
综上所述，点E的坐标为：（8
5
，3）或（
12
5
，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为：（a，﹣1
4
a2+a+3），
则NF＝3﹣（﹣1
4
a2+a+3）＝
1
4
a2﹣a，NC＝﹣a，
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠DGO，
在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，∴△EFN≌△DGO（ASA），
∴NE＝OD＝AC＝4，
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，
∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，
∴∠EFN＝∠DEA，
∴△ENF∽△DAE，
∴NE NF
AD AE
=，即
4
3
＝
2
1
4
a a
a
-
-
，
整理得：3
4
a2+a＝0，
解得：a＝﹣4
3
或0，
当a＝0时，点E与点A重合，∴a＝0舍去，
∴AE＝NC＝﹣a＝4
3
，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为4
3
．
【点睛】
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型．
10．（1）214y x x =
-；（2）①122
y x =-+，②1，见解析，定值为1 【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式，再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组，解方程组即可．
（2）①先求出平移后的抛物线解析式，设出直线MA 的解析式1y kx =-，再联立抛物线解析式2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，得到21104x kx -+=，令210k ∆=-=，求出k 的值，得出APM ∆为等腰直角三角形，运用APM ∆与BQO ∆相似得出90BQO APM ∠=∠=，故AB ：
y mx n =+，则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩
即可求出AB 函数关系式． ②当M 在y 轴上时，m=0，再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称，得出a ，b 的关系，即可求出答案；当M 不在与轴上时，设MA ：111y k x k m =--，联立抛物线解析式112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩
，得出2114440x k x k m -++=，令212=16(1)0k k m ∆--=，同理设出MB ，令22216(1)0k k m ∆=--=，故1k ，2k 为方程210x mx --=不相等两个实数
根，得出12k k m +=，即可求出答案．
【详解】
解：（1）设2y=ax +bx+c a （≠0）
，把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2
∴164042322a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩
解得1410a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩
∴抛物线解析式214
y x x =-． （2）①(0,1)M -，平移后抛物线214y x =
设MA ：1y kx =- 则联立2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，21104x kx -+= 210k ∆=-=
1k ∴=±
又由图，A 在y 轴右侧
故1k =，(2,1)A
2AP PM ∴==，APM ∆为等腰直角三角形
又APM ∆与BQO ∆相似
∴△BQO 为等腰直角三角形，设B （﹣x ，x ），带入抛物线解析式得：
214
x x = 解得x=4或x=0(舍去)
∴B （﹣4,4）
设AB ：y mx n =+，把(2,1)A ，B （﹣4,4）带入得： 则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩，122
m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴AB 解析式为：122y x =-
+． ②（i ）∵214
y x =关于y 轴对称，M 在y 轴上，且MA ，MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称，
∴a=﹣b
∴m a m b --=0+b 0b
-=1， 故答案是：1；
（ii ）设MA ：111y k x k m =--， 则联立112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩
， 2114440x k x k m -++=，
此方程仅一个根， 故11422
k a k ==， 且212=16(1)0k k m ∆--=，
同理设MB ：221y k x k m =--，
亦有22b k =，
22216(1)0k k m ∆=--=，
故1k ，2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根，
12k k m +=， ()111122122m k m k m a m b m m k k m
---∴===----， 即
m a m b --为一定值1， ∴当点M 不在y 轴上时，
m a m b
--为一个定值1． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题型，二次函数待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的综合应用，二次函数与相似三角形的综合应用，解题关键在于理解题意，正确分析题目，运用数形结合思想进行解题．
11．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0
或2
或2x <<
【解析】
【分析】
()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；
()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；
()3分三种情形讨论求解即可．
【详解】
解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．
()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，
当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：
故答案为2，2．
()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．
②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，
1OP N 是等腰直角三角形， 1ON 2NP 22∴==，
OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．
③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，
如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，
如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．
此时OM 22=，
综上所述，当2x 22<<3个P 点．
∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（1）t ＝3；（2）P （
35t +2，45t ﹣4）；（3）t 的值为209秒或4秒或16秒或1609
秒 【解析】
【分析】 （1）如图1，过点C 作CP ⊥OA ，交x 轴于点P ．就可以求出OP 的值，由勾股定理就可以求出的OP 值，进而求出结论；
（2）t ＜10时，P 在OA 或AB 上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P 在OA 上，OP=t ，可得P 的坐标；②当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P 的坐标；
（3）设切点为G ，连接PG ，分⊙P 与四边相切，其中P 在AB 和BC 时，与各边都不相切，所以分两种情况：
①当P 在OA 上时，根据三角函数列式可得t 的值；
②当P 在OC 上时，同理可得结论．
【详解】
（1）如图1，
当CP ⊥OA 时，sin ∠AO 4
5CP C OC
＝＝， 4455
CP CP 即＝，＝， 在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3，
∴331
t ＝＝
（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，
∴P （t ，0）；
当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，
过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，
则∠AOC ＝∠PAH ，
∴sin ∠PAH ＝sin ∠AO 45C ＝， 44 4555
PH PH t t ∴=-即＝﹣， ∴333255HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝，
∴34P t+2t 455
（，﹣）；
（3）设切点为G ，连接PG ，
分两种情况：
①当P 在OA 上时，如图3，
⊙P 与直线AB 相切，
∵OC ∥AB ，
∴∠AOC ＝∠OAG ，
∴sin ∠AOC ＝sin ∠OA 4
5PG G AP
＝＝， t 45-t 5
∴＝， ∴209t ＝
； ⊙P 与BC 相切时，如图4，
则PG ＝t ＝OP ＝4；
②当点P 在OC 上时，
⊙P 与AB 相切时，如图5，
∴OP＝PG＝4，
∴4×5﹣t＝4，
t＝16，
⊙P与直线BC相切时，如图6，
∴PG⊥BC，
∵BC∥AO，
∴∠AOC＝∠GCP，
∴sin∠AOC＝sin∠GC
4
5
PG
P
PC
＝＝，
∵OP＝PG＝20﹣t，
∴420
51
t
t
-
=
-
，
∴
160
9
t＝，
综上所述，t的值
20160
416
99
为秒或秒或秒或秒
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．。