力学.第3章.动量与角动量_4108778

M
Or 0
α r r
r F
m
α
M = rF sin α = r0 F
r0 = r sin α 称为力臂
三. 质点角动量定理 r r r r 由 L = r × p （ r 是相对参考点 O 的位矢） r r r dr r r d p dL d r r × p+r × = (r × p) = 有 dt dt dt dt r r r r r = v × mv + r × F = M
i
质点系动量守恒和质心匀速运动等价！
三. 质心系 质心系：平动参考系，速度等于质心速度。 质心匀速运动：质心系是惯性系 质心有加速度：质心系是平动非惯性系 质点系的复杂运动可看成下列运动的组合： 1. 质点系整体随质心的平动 — 由质心运动定理决定 2. 各质点相对于质心的运动 — 在质心系中考察质点系的运动
r r d rC vC = dt
质点系总动量
r r P = mv C
由 得
r r r r d dP dv C = (mv C ) = m F外 = dt dt dt r r F外 = m aC — 质心运动定理
质心运动：像一个质点的运动，该质点位于 质心处，且集中了整个质点系的 质量和所受外力。 通常所谓物体的运动，就是物体质心的运动。 【思考】
r Fi
i
r pi
r f ij r f ji
j
r Fi ：质点 i 受的合外力 r f ij ：质点 j 对 i 的内力 r pi ：质点 i 的动量
质点系
r r r （ d 对质点 i ： Fi + ∑ f ij） t = d pi j≠i r r r d 对质点系： ∑ ( Fi + ∑ f ij） t = ∑ d pi i j≠i i r 由牛顿III定律有： ∑ ∑ f ij = 0
x z C mi r rC r ri 0 y
∑ mi xi xC =
m
∑ m i yi yC =
m
∑ mi zi zC =
m
质心位置是质点位置的质量加权平均值。
二. 几种系统的质心 ▲ 两质点系统
m1 r1 C × r2 m2
m1 r1 = m2 r2
r r ∫ r dm rC = m
▲ 连续体
z dm r C r × r m rC 0 x y
锥摆 O r r T α T⊥ l m
O′
r rv mg
合力矩为零，角动量大小、方向都不变。
四. 质点对定轴的角动量定理 1. 力对轴的力矩 把对 z 轴上一点 O 的
平面 ⊥ z 轴 r⊥sinα
z
r r⊥
r F
力矩向 z 轴投影： r Mz r r r r// M r r r r r O r M z = M ⋅ k = (r × F ) ⋅ k r⊥ r r r r r = [( r⊥ + r// ) × ( F⊥ + F// )] ⋅ k r r r = ( r⊥ × F⊥ ) ⋅ k
·C 纸 × 拉力
球向哪边移动？
系统内力不影响质心的运动 • 光滑水平面上滑动的扳手，质心做匀速 直线运动
• 空翻运动员的质心做抛体运动
【演示】质心运动 【TV】质心运动
二. 动量守恒与质心的运动 若合外力为零，则 质点系动量守恒 r r aC = 0 → v C = 常矢量 质点系分动量守恒 若合外力分量为零， 则 质心相应分速度不变 例如： ∑ Fix = 0 ⇒ v Cx = 常量
第三章 动量与角动量
牛顿定律是瞬时的规律。 在有些问题如宏观的碰撞、微观的散射中， 往往关心过程中力的效果： 力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应： 平动 ⇒ 冲量 ⇒ 动量改变 转动 ⇒ 冲量矩 ⇒ 角动量改变 力在空间上的积累效应 ⇒ 能量改变 功
第三章 动量与角动量
△§3.1 质点动量定理 §3.2 质点系动量定理 △§3.3 质点系动量守恒定律 △§3.4 变质量问题 §3.5 质心 §3.6 质心运动定理 §3.7 质点角动量定理 §3.8 质点角动量守恒定律 §3.9 质点系的角动量定理和守恒定律 §3.10 质心系中的角动量定理
∫ xdm xC =
m
…
▲ 均匀杆、圆盘、环、球的几何中心是质心 ▲ “小线度”物体的质心和重心重合 【例】如图，求挖掉小圆盘后系统质心坐标。 解：由对称性分析，质心 C 应在 x 轴上。
y R O′ O″ C r xC O r x
令 σ 为质量面密度，
（ 0 + − d ⋅σ ⋅ π r ） xC = 2 2 σ ⋅ π R −σ ⋅ πr
系统总动量变化和外力有关，和内力无关。 用质点系动量定理处理问题可避开内力。
△§3.3 质点系动量守恒定律
质点系的合外力为零时，质点系总动量不变。 r r F外 = 0 ，P = 常矢量 几点说明： 1. 动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。
2. 火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v（即主体速度），动量 vdm t + dt时刻：速度 v − u， 动量 dm(v − u) 由动量定理，dt 内喷出气体所受冲量满足 F箭对气dt = dm(v − u) − vdm = − F气对箭dt 由此得火箭所受燃气的反推力为
低速（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射） 在 v ∼ c 时，即使没有粘附和抛射，质量也 可以随速度改变 m = m(v) ，这属于相对论 质量问题，此处不讨论。 以火箭飞行为例，讨论变质量问题。
一. 火箭不受外力情形（在自由空间飞行） 1. 火箭的速度 系统：火箭壳体 + 尚存燃料 条件：燃料相对箭体以恒速 u 喷出 参考系：地面 先分析一微过程： t → t + dt t + dt 时刻：喷出燃料质量 dm = − dM 喷出燃料速度 v − u
y = v , && = 0, F = λyg + λv 2 y （1）v 恒定， &
& 2 = 2ay , && = a , F = λ yg + 3 λ ya y （2）a 恒定，y
3.7 质点角动量定理
一. 角动量 质点对参考点 O 的角动量：
r r r r r L = r × p = r × (mv )
2
d =− 2 (R / r) −1
d
d
§3.6 质心运动定理
一. 质心运动定理
z
r d( ∑ m i ri m ) C = r dt rC r mi r ri ∑ m iv i = y 0 m x r r r 质心动量 m v C = ∑ m i v i = 质点系总动量 P
i
r r vC v i
4. 若某个方向上合外力为零，则该方向上动 量守恒，尽管总动量可能并不守恒。 5. 当外力 << 内力且作用时间极短时（如碰 撞），可认为动量近似守恒。 6. 动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基 本的定律，它在宏观和微观领域均适用。 7. 用守恒定律作题，应注意分析过程、系统 和条件。
△§3.4 变质量问题
u v
t 时刻： 系统质量 M，速度v ，动量 Mv
t + dt 时刻： 剩余系统质量 M − dm = M + dM 剩余系统速度 v + dv 由动量守恒有： Mv = (M + dM)(v + dv) – dM(v − u) 略去 2 阶小量得：Mdv = − udM
dM d v = −u M
O
r L
α r r
r p
m
α
大小： L = rm v sin α ， 单位：kg m2/s r r 方向：垂直于 r ，p 决定的平面（右螺旋） 注意： 参考点 O 是参考系内一固定点 r r 是相对参考点 O 的位矢
r L
O
质点作匀速率圆周运动时，
r R
r v
m
对圆心的角动量的大小为： L = mvR，方向 ⊥ 圆面不变。
质心系的重要特征：零动量参考系 r r ′ ∑ miv ′i = (∑ mi )v C = 0 r v ′ 是质点相对质心系的速度， i r ′ v C 是质心系中质心的速度，等于零。 即在质心系中，质点系的总动量为零。 r r r r r 证：∑ m iv ′ = ∑ m i (v i − v C ) = ∑ m iv i − ∑ m iv C = 0 i r ′ m1v 1 r 两质点系统在其质心系中， m 2v ′ 20 r ′ 总具有等值、反向的动量。 m1v 10 r m 2v ′ 2
△§3.1 质点动量定理
r t2 r 定义：力的冲量 I = ∫t F d t
1
r r d I = F dt
r r 质点动量 p = m v r r r d( m v ) d p = 质点动量定理 F = dt dt r r F d t = d p （微分形式）
∫t
t2
1
r r r F d t = p2 − p1
F = F气对箭 dm =u dt
二. 重力场中的火箭发射 忽略地面附近重力加速度 g 的变化， 可得 t 时刻火箭的速度（自己推导）：
Mi v ( t ) = v i − gt + u ln Mt
Mt ： t 时刻火箭壳和尚存燃料的质量
§3.5 质心
一. 质心的概念 定义质点系质心的位矢：
r r ∑ mi r i rC = (m = ∑ mi ) m
注意：参考点选择不同，角动量一般也不同， 对角动量必须明确参考点。