北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第6章 概率 1.2 乘法公式与事件的独立性

一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件
A的发生会影响事件B发生的概率吗?
提示 当有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽
一张,因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响,即事
件A的发生不会影响事件B发生的概率.于是
P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).
能答对该题目的概率是0.8.比赛规则:各个选手独立答题,不得商量,“臭皮
匠”团队中只要1人答出该题即为挑战成功.
①求甲、乙二人中至少有一人解出题目的概率.你能得出什么结论?
②求甲、乙、丙三人中至少有一人解出题目的概率.你又能得出什么结论?
解 设甲、乙、丙独立解决题目的事件分别为 A,B,C,
(方法一)①事件“甲、乙二人中至少有一人解出题目”可表示为 AB∪A ∪
7
2
∴P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)= ×
10 3
=
7
.
15
规律方法 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法,即当直接计算
P(AB)不好计算时,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘
法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解即可.
2.性质
(1)当事件 A,B 相互独立时,A 与B, A与 B,A与B也相互独立.
(2)若事件 A,B 相互独立,则
(AB )
P(B)=P(B|A)=
.
(A)
(3)事件A,B相互独立的充要条件:事件A与事件B相互独立
⇔P(AB)=P(A)P(B).
思考辨析
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第
解 ∵P(A)>0,P(B)>0,
()
P(B|A)=
=P(B),
()
∴P(AB)=P(A)P(B).
()
∴P(A|B)= ()
=
()()
=P(A).
()
知识点2 事件的独立性
定义
如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个
相互独立事件
事件就叫作
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若P(A)≠0,则P(AB)=P(B|A)·P(A).( √ )
(2)一粒种子发芽的可能性是90%,而发芽后长成苗的概率为80%,则一粒种
子长成苗的概率为72%.( √ )
2.[人教A版教材习题]从人群中随机选出1人,设B=“选出的人患有心脏
病”,C=“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”,请你判断P(B)和P(C)的
大小,并说明理由.
解 P(B)>P(C).理由:设A=“选出的人年龄大于50岁”,则C=AB.因为
P(C)=P(AB)=P(B)P(A|B),而0≤P(A|B)<1,所以P(B)>P(C).
3.[人教A版教材习题]已知P(A)>0,P(B)>0,P(B|A)=P(B),证明:P(A|B)=P(A).
8
A 中含有
6 个样本点,B 中含有 4 个样本点,AB 中含有 3 个基本事件.
于是
6
P(A)=
8
=
3
4
,P(B)=
4
8
与 B 是相互独立的.
=
1
3
,P(AB)=
,显然
2
8
P(AB)=P(A)P(B)成立,从而事件 A
规律方法
判断两个事件是否相互独立的方法:
变式训练2判断下列各对事件是否是相互独立事件.
P(AB)≠P(A)P(B),故事件 A,B 不相互独立.
(2)有 3 名小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为
Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,
男),(女,女,女)},由等可能性知这
1
8 个样本点发生的概率均为 ,这时
,两个相互独立事件同时发生的概率,等
于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)= P(A)P(B) .
名师点睛
1.如果事件A1,A2,…,An相互独立,则这n个事件同时发生的概率,等于每个事
件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An),并且上式中任意多
个事件Ai换成其对立事件后,等式仍成立.
P(A
1
1
1
1
∪ B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)= ×(1- )+(1- )×
3
4
3
4
=
5
.
12
(2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”,所以至少1
2
3
1
个人译出密码的概率为 1-P()=1-P()P()=1- × = .
“出现偶数点”,事件B为“出现3点或6点”,则
A={2,4,6},B={3,6},AB={6},
3
∴P(A)=
6
=
1
2
,P(B)=
2
6
=
1
1
,P(AB)= .
3
6
∴P(AB)=P(A)P(B),
∴事件A与B相互独立.即掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”
是相互独立事件.
相互独立事件,且
1
1
P(A)=3,P(B)=4.
(1)“2 个人都译出密码”的概率为
1
1
P(AB)=P(A)P(B)= ×
3
4
=
1
.
12
(2)“2 个人都译不出密码”的概率为
1
1 1
P()=P()P()=[1-P(A)]×[1-P(B)]=(1-3)×(1-4)=2.
(3)“至多 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都译出密码”,所以至多 1 个
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件的概率,再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,
即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
1 1
2 3
变式训练3(1)两人射击命中目标的概率分别为 , ,现两人同时射击目标,
解 (1)有 2 名小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为 Ω={(男,男),(男,女),
(女,男),(女,女)},它有
1
4 个样本点,由等可能性知概率各为 .这时
4
A={(男,女),
(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},于是
1
3
1
P(A)=2,P(B)=4,P(AB)=2.由此可知
探究点三
相互独立事件发生的概率
【例3】 甲、乙2个人独立地破译一个密码,已知他们能译出密码的概率分
1 1
别为 3 和,求:
4
(1)2个人都译出密码的概率;
(2)2个人都译不出密码的概率;
(3)至多1个人译出密码的概率.
解 记“甲独立地译出密码”为事件 A,“乙独立地译出密码”为事件 B,A 与 B 为
的均为黑球”.
由题设知
3
2
P(A1)=10,P(A2|A1)=9,于是根据乘法公式,有
3
2
P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)= ×
10
9
=
1
.
15
变式探究1在本例条件不变的情况下,求第一次取得黑球,第二次取得白球
的概率.
解 用 A 表示“第一次取得的是黑球”,则
白球”,则
7
P(B|A)= .故
变式训练1在10道题中有7道选择题和3道填空题,如果不放回地依次抽取
2道题,求两次都抽到选择题的概率.
解 在 10 道题中有 7 道选择题和 3 道填空题,如果不放回地依次抽取 2 道题,
第1
7
次抽到选择题的概率为10,在第
1 次抽到选择题的条件下,第 2 次抽到选
2
择题的概率为 .
3
∴第 1 次和第 2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)P(AB)=P(BA).( √ )
(2)P(AB)=P(A)P(B).( × )
(3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.( √ )
2.下列说法正确的有 ①②③ .(填序号)
①对事件A和B,若P(B|A)=P(B),则事件A与B相互独立;
=0.5+0.48+0.45-0.5×0.48-0.48×0.45-0.45×0.5+0.5×0.48×0.45=0.857,
所以甲、乙、丙三人中至少有一人解出题目的概率为0.857.
结论:因为0.857>0.8,所以三个“臭皮匠”解出题目的能力是可以超过“诸葛
亮”的.
(方法二)①事件“甲、乙二人中至少有一人解出题目”的对立事件为“甲、乙
9
3
P(A)=10,用
3
7
P(AB)=P(A)P(B|A)= ×
10
9
=
B 表示“第二次取得的是
7
.
30
变式探究2在本例条件不变的情况下,求两次均取得白球的概率.
解 用Bi表示“第i次取得的是白球”(i=1,2),则B1B2表示“两次取到的均是白
球”.
由题意得
7
2
P(B1)=10,P(B2|B1)=3.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.
课程标准 2.了解独立性与条件概率的关系.
3.会求相互独立事件同时发生的概率.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 乘法公式
条件概率定义的变形
(AB)
由条件概率的定义P(B|A)= (A) ,则有P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0).①
7
2
次都抽到选择题的概率为10 × 3
=
7
.
15
探究点二
事件独立性的判断
【例2】 某家庭中有若干名小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令
A={某家庭中既有男孩又有女孩},B={某家庭中最多有一名女孩}.对下述
两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)某家庭中有2名小孩;
(2)某家庭中有3名小孩.
分析利用相互独立事件的定义判断.
则目标被命中的概率为
解析 目标被命中的概率
2
3
.
1
1 2
P=1-(1- )×(1- )= .
2
3 3
★(2)俗话说:三个臭皮匠顶个诸葛亮.在某次挑战大赛中,由甲、乙、丙三
人组成“臭皮匠”团队,挑战“诸葛亮”,且每个“臭皮匠”解出题目是相互独立
的.其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为0.5,0.48,0.45,而“诸葛亮”
人译出密码的概率为
1 1
1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-3 × 4
=
11
.
12
变式探究在本例条件下,求:
(1)恰有1个人译出密码的概率;
(2)至少1个人译出密码的概率.
解 (1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类,即甲译出乙未译出以及甲未译
出乙译出,且两个事件为互斥事件,所以恰有1个人译出密码的概率为
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1
名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女
生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
同理,P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0).②
称公式①②为乘法公式,利用它们可以计算 两个事件同时发生 的概率.
思考辨析
小刘在登录自己的邮箱时发现忘了密码的最后一位,只记得是数字0~9中
的任意一个.那么当他在尝试登录时,第一次失败,第二次成功的概率是多
少?
提示
9
10
1
9
× =
1
.
10
结论:因为 0.74<0.8,所以两个“臭皮匠”解出题目的能力低于“诸葛亮”.
②事件“甲、乙、丙三人中至少有一人解出题目”可以表示为事件
A∪B∪C,
因为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+P(A)P(B)P(C)
C.0.16
D.0.84
重难探究·能力素养速提升
探究点一
乘法公式及其应用
【例1】 一袋中装10个球,其中3个黑球、7个白球,这10个球除颜色外完全
相同.先后两次从中随意各取一球(不放回),求两次取到的均为黑球的概率.
解 设事件Ai表示“第i次取到的是黑球”(i=1,2),则事件A1A2表示“两次取到
B,其中事件 AB,A, B 彼此互斥,
所以 P(AB∪A ∪ B)=P(AB)+P(A)+P(B)
=P(A)P(B)+P(A)P()+P()P(B)
=0.5×0.48+0.5×(1-0.48)+(1-0.5)×0.48=0.74,
所以甲、乙二人中至少有一人解出题目的概率为 0.74.
②若事件 A,B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B);
③如果事件 A 与事件 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B);
④若事件 A 与 B 相互独立,则 B 与B相互独立.
3.甲、乙两人各射击一次,他们各自击中目标的概率都是0.6,则他们都击中
目标的概率是( B )
A.0.6
B.0.36