2019年高考数学专题03高考考前调研卷三word版本

专题03 高考考前调研卷（三）
【试题说明】命题者在认真研究近几年新课标全国卷高考试题，命题时严格按照全国Ⅰ卷格式编排，以最新发布的2018年全国卷《考试说明》为依据，内容确保不超纲。

调研卷体现高考“前瞻性”和“预测性”。

试卷力争做到形、神与新课标全国卷风格一致，让学生和教师有“高考卷”的感觉。

试卷中知识点分布、试卷的总字数（包括各科选择题的题干字数、大题材料的长度、信息的有效性）、选项文字的长度、答案的规范、难易度的梯度等，都要符合高考试卷特点。

一．选择题
1. 已知集合A=2
{|4}x x ≤，{|}B x x a =<，若A ∪B=B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，﹣2] C ．（2，+∞） D ．[1，+∞）
【答案】C
【解析】：∵A=2{|4}x x ≤=[﹣2，2]，{|}(,B x x a a =<=-∞），若A ∪B=B ， ∴A ⊆B ，∴a ＞2，故选：C ．
2. 复数z 满足(2)13z i i +=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
3. 若函数()|31|x
f x k =--存在两个零点，则k 的范围是（ ）.
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (0,)+∞
D. (1,)+∞ 【答案】A
【解析】：∵函数()|31|x
f x k =--有两个零点，∴函数|31|x
y =-的图象与函数y=k 的图象有两个交点，如图所示：
数形结合可得，当0＜k ＜1时，函数|31|x
y =-的图象与函数y=k 的图象有两个交点，故k 的范围是 （0，1）。

4. 中国的高储蓄率世界闻名。

为了解收入与存款的情况，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
据上表得回归直线方程^
^
^
^
^
^
,0.76,y b x a b a y b x =+==-其中，据此估计，该社区一户收入为20万元家庭年存款为（ ）
A ．11.4万元
B ．15.6万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元 【答案】B
5. 若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <
”或1
b a
>的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为01ab <<，所以a 、b 同号，且ab<1;
当0,0a b >>时，由
两边同除
可得1
a b
<
成立；当0,0a b <<时，两边同除以可得1b a >成立，∴“01ab <<”是“1a b <或1
b a
>”的充分条件，反过来，
由1a b <或1b a >得不到.如取a=-1，b=1，显然有1a b
<，但是不能推出
，故“”是“1a b <”或1
b a
>的充分而不必要条件 .
6.如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为线段11A B 的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E ﹣FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图是（ ）．
【答案】A
7.已知倾斜角是
6
π的直线l 经过抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点F ，抛物线C 上存在点P 与x 轴上一点Q(5,0)关于直线l 对称，若抛物线C 上存在一点M ，并且|MF|=2,K 是抛物
线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKF=（ ）。

A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】B
【解析】根据题意可得(
,0)2
p
F ，设00(,)P x y ，直线PQ 的方程是
5)y x =-
，所以2000025)
y px y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以2
003(5)2x px -=，又因为
0022p
x px +=，联立方程可得：03,2x p ==，所以抛物线方程是24y x =，根据题意
可得M （1，2），因为K （-1，0），所以0
1,45KM K MKF =∴∠=。

所以选择B 。

8.命题p ：函数1()ln 1
x x e f x e -+=+为奇函数；命题q ：23x x x R ∀∈<，则；则下列命题为
假命题的是（ ）
A ．p ∨q
B ．p ∧（￢q ）
C ．（￢p ）∧q
D ．（￢p ）∨（￢q ） 【答案】
C
9. 更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”若输入的a ，b 分别为8，12，则输出的a=（ ）
A ．2
B ．0
C ．4
D ．16
【答案】C
【解析】：由a=8，b=12，不满足a ＞b ， 则b 变为12﹣8=4，由b ＜a ，则a 变为8﹣4=4， 由a=b=4，则输出的a=4．故选：C ．
10.函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图所示， 将f （x ）图
象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g （x ），则g （x ）的图象的一条对称轴方程为（ ）
A ．x=
24
π B ．x=
512
π
C ．x=
2
π
D ．x=12π
【答案】D
11. 过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的上的点A(a,0)作倾斜角是135°的直线，该
直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若20AB CB +=，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=
B ．y=
C ．y=±2x
D ．y=
【答案】C
【解析】：由于A （a ，0），根据点斜式可得直线方程为x+y ﹣a=0，直线与渐近线的交点B ，
C ，则B （2,a ab a b a b ++），C （2,a ab a b a b ---）， 则22222222(,),a b a b BC a b a b =---(,)ab ab
AB a b a b
=-++，
则20AB CB +=，即4a 2
=b 2
，∴双曲线的渐近线方程y=±x ，即有y=±2x ，
故选C ．
12. 定义一种运算,,a a b a b b a b
≤⎧*=⎨
>⎩，若函数225
()(log )[()]39x f x x =*+．若函数
()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）。

A.(0,1)
B.(23,2)
C.(59，1) D(5
9
，2) 【答案】C
二．填空题
13.已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，则|2|a b +=______。

；
【解析】：两个单位向量,a b 的夹角为60°， ∴0
1
.11cos602
a b =⨯⨯=
， ∴2
2
2
(2)4.4a b a b a b +=++ =1
14412
+⨯+⨯ =7
∴|2|a b +=
．
14. 在等差数列{}n a 中，12018a =，其前n 项和为n S ，若
20172015
220172015
S S -=，则2018S =____．
【答案】2018
15. 实数x ，y 满足22
14
y x y x y -≤-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则1y x +的取值范围是 ．
【答案】12[]43
，； 【解析】设k=
1
y
x +，则k 的几何意义为过(-1,0)的直线的斜率： 作出不等式组2214y x y x y -≤-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：
则由图象可知，过(-1,0)的直线,当直线经过点（-1,0）和点B 时，直线的斜率最小， 当经过点（-1，0）与点A 时，直线的斜率k 最大， 由224
y x x y -=-⎧⎨
+=⎩，解得A （2，2），此时k=2
13y x =+．
由14
y x y =⎧⎨
+=⎩，解得B （3，1），此时k=1
14y x =+，
∴直线的斜率的取值范围是
14≤k ≤2
3
. 16.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin 2
A C a b
B --=，△ABC
的外接圆半径为1．则△ABC 面积的最大值是_______． 【答案】
4
;
∴c=（2R
，∵ 222a b ab +≥，即2
2c ab ab +≥，
∴2
ab c ≤，即ab ≤3
．故013sin 602224
S ab =
≤⨯=, ∴△ABC
面积的最大值为4
. 三．解答题
17. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5511,35a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且
112,2()n n b T b n N +==-∈．
（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的的通项公式； (II)求数列{
}n
n
a b 的前n 项和n C 。

【解析】（Ⅰ）由已知可得：1411a d +=…………（1分）
1545352
d
a ⨯+
=,即127a d += 解得：132a d ==，
∴21n a n =+……………………（3分）
当2n ≥时，111,2n n n n n n n b T T b b b b -++=-=-∴=,120b =≠，又令n=1，得24b =．
∴
1
2n n
b b +=，{}n b 是以2为首项和公比的等比数列， 12.22n n n b -==．……………………6分
即12321
1111111231(21).3(21).122222212
n n n n n
C n n ---
=++++++-+=+-+-…… =2552
n
n +-…………12分 18.如图甲，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=2
π
，AD=2，AB=BC=1，E 是AD 的中点，
O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图乙。

（1）证明：平面1A CD ⊥平面A 1OC
（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求三棱锥B-1A CD 的体积．
【解析】证明：（1）证明：在图甲中，∵AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，∠BAD=2
π
，∴BE ⊥AC ，即在图乙中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ．
又OA1∩OC=O，∴BE⊥平面A1OC．
∵BC∥DE，BC=DE，
∴BCDE是平行四边形，
∴CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC．…（6分）
19.微信是覆盖中国94% 以上的智能手机，月活跃用户达到 8.06亿，[用户覆盖 200 多个国家、超过 20 种语言。

微信是人们交流的一种形式，某机构对：使用微信交流的态度进行调查，随机抽取50人，调查年龄段频率分布以及使用微信交流的情况如下表：
（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否赞同使用微信支付有关系；
（2）若对年龄在[15，20）的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持赞同使用微信的概率． 参考数据：
参考公式：22
()()()()()
n
ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n=a+b+c+d ．
【解析】：（1）的2×2列联表：
K 2
=
≈2.38＞2.706，…………4分
∴能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否赞同使用微信有关系；…………6分
（2）若对年龄在[15，20）的被调查人中随机选取两人进行调查，从5人A,B,C,D, a 中随机选取2人有：AB,AC,AD, BC,BD, CD, Aa,Ba,Ca,Da,一共十种情况，其中两个人都赞成的是：AB,AC,AD, BC,BD, CD6种情况，所以根据古典概型公式P(A)=
63
105
=.………………12分 20.已知椭圆E ：
+
=1（a ＞b ＞0）与y 轴的正半轴相交于点M ，点F 1，F 2为椭圆的焦
点，且△MF 1F 2是边长为2的等边三角形， （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 在椭圆E 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆2
2
2
x y b +=相切于点M ，且
.0OP OQ =，证明点Q 的纵坐标是定值．
【解析】（Ⅰ）∵椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ，点F 1，F 2
为椭圆的焦点，且△MF 1F 2是边长为2的等边三角形，
∴a=2，c=1，∴b 2
=4﹣1=3，∴椭圆E ：22
143
x y +=．…………4分
由PQ 于圆O ：x 2
+y 2
=3
=7分
平方可得（kx 0﹣y 0）2
=3（1+k 2
），即2kx 0y 0=k 2
x 02
+y 02
﹣3k 2
﹣3，
又Q （00
,t y kx t k
-+）， 所以有00
00..
0t y kx OP OQ x ty k
-+=+=， 解得t=
00000
()
x y kx x ky -+，………………9分
则2222222
0000022222
222222
0000000000()(33)3(1)()23(1)
x y kx x k x k t x ky x k y kx y x k x k y y k -++===++++++-+ =222
002222200003(1)3(1)(3)3
x k x k x y x y +=
++-+- =2
02
2003123(1)3
4
x x
x =+--， 解得
t=±11分
综上可知，点Q
的纵坐标是定值为±12分 21.已知函数2
1()ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）令2
3
()()2
g x f x ax x ax
=+--，在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取
值范围；
（Ⅲ）若2a =-，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=
，证明：121
2
x x -+≥． 【解析】（Ⅰ）当a=0时，f （x ）=lnx+x ，则f （1）=1，所以切点为（1，1）， 又'
1
()1f x x
=
+，则切线斜率'(1)2f =， 故切线方程为y ﹣1=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1=0．…………3分
②若a ＜0，2
2
11()212()14
8
t x ax ax a x a =-+=-+-， 该二次函数开口向下，对称轴111
,()10448
x t a =
=->，
所以t （x ）=0在（0，+∞）上有且仅有一根0x =，故'
0()g x =0，
且当0＜x ＜x 0时，t （x ）＞0，g'（x ）＞0，函数g （x ）在（0，x 0）上单调递增； 当x ＞x 0时，t （x ）＜0，g'（x ）＜0，函数g （x ）在（x 0，+∞）上单调递减；
所以a ＜0时，函数g （x ）在定义域上有且仅有一个极值点04a x a
-=，符合题
意； ………8分
③若a ＞0，2
2
11()212()14
8
t x ax ax a x a =-+=-+-，该二次函数开口向上，对称轴
14
x =
． （ⅰ）若11()104
8t a =-
≥，即0＜a ≤8，1
()()04
t x t ≥≥， 故g'（x ）≥0，函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，
所以函数g （x ）在（0，+∞）上无极值点，故0＜a ≤8不符题意，舍去；
（Ⅲ）证明：当2a =-时，2
()ln ,0f x x x x x =++>， 由1212()()0f x f x x x ++=，
即22
11122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=, 从而2
12121212()().ln()x x x x x x x x +++=-，
令t=12x x ，则φ（t ）=t ﹣lnt ，得'
1
()t t t
ϕ-=
， 可知φ（x ）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
∴φ（t ）≥φ（1）=1，∴2
1212()()1x x x x +++≥，
因为x 1＞0，x 2＞0∴12x x +≥
．………………14分 22. 直线与圆的参数方程（不涉及极坐标），利用参数方程求点的轨迹 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos (2sin x y θ
θθ
=+⎧⎨
=+⎩为参数）
．点P 在曲线1C 上，点A 的坐标为（1，0），点Q 满足OQ OA OP =+． （1）求点Q 的轨迹方程；
（2）已知直线:l y x =和曲线1C 交于M ，N 两点，求弦MN 中点的坐标．
（Ⅱ）由22(1)(2)1x y y x
⎧-+-=⎨=⎩，得x 2
﹣3x+2=0，12322x x +=，
弦MN 中点的横坐标为32，代入y=x 得纵坐标为
32，所以弦MN 中点的坐标为：33
(,)22
…………10分 23.已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；
（Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数a ，b 满足3a b M +=，证明：
31
3b a
+≥。

【解析】（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x --+≥--+=， 若不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解， 则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m ≤4．…………3分 ∴M=4．………………5分
（Ⅱ）证明：正数a ，b 满足34a b +=， 即1
1(3)4
a b =
+，
311311911
()(3)(33)(6(623)34444
b a a b b a b a a b +=++=+++≥+=+⨯=， 当且仅当b=3a=2时，取得等号． 则31
3b a
+≥．………………10分。