5学年上学期高二期中考试数学(附答案)

云南省富民县第一中学14—15学年上学期高二期中考试
数学试题
【考生注意】
考试用时120分钟，必须在答题卡上指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效。

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 球的表面积公式：2
4S R π=,其中R 表示球的半径.
柱体的体积公式：V Sh =,其中是柱体的底面积，h 是柱体的高.
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
,其中是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂。

1. 设集合{}3,5,6,8,A =集合{}5,7,8,B A B =则等于I
A. {5,8}
B. {3,6,8}
C. {5,7,8}
D. {3,5,6,7,8}
2. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，
那么这个几何体的表面积为 A. 3π B. 4π
C. 5π
D.6π
3.
函数lg(2)y x =-的定义域是( )
A.[)1,+?
B.(,2)-?
C.(1,2)
D.[)1,2
4. 已知向量 ,4,3a b a b ==、
r r r r ， a r 与b r 的夹角等于60︒，则( +2(-)a b a b ⋅）r r r r
等于
A. - 4
B. 4
C. - 2
D. 2
5. 已知函数1cos +37y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1cos -37y x π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图象只需把C 上
所有的点
正视图
侧视图
俯视图
A. 向右平行移动7
π
个单位长度 B. 向左平行移动7
π
个单位长度 C. 向右平行移动
27
π
个单位长度 D. 向左平行移动
27
π
个单位长度 6.函数()23x f x x =-的零点所在的区间是
A. ()0,1
B. (-1,0)
C. (1，2)
D. (-2,-1)
7. 已知一个算法，其流程图如右图所示，则输出结果是 A. 7
B. 9
C. 11
D. 13
7. 过点P （-1,3），且平行于直线24+10x y -=的直线方程为
A. 2+-50x y =
B. 2+10x y -=
C. -2+70x y =
D. -250x y -=
8.
1的长方形内接于圆（如下图）， 质地均匀的粒子落入图中（不计边界），则落在长方形内的概率等于
A.
B.
C.
D. π
9. 计算：sin 225︒的值为
A.
B.
C. D. 12
-
10.
11 已知实数x 、y 满足0,
0,33,x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≥⎩
则z x y =+的最小值等于
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
12. 过点M(2， -2)以及圆2250x y x +-=与圆222x y +=交点的圆的方程是
A. 22151042x y x +--=
B. 22151
042
x y x +-+= C. 22151042x y x ++
-= D. 22151
042
x y x +++= 二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20
分。

请把答案写在答题卡相应的位置
（第8题）
（第6题）
上。

13. 某单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人，现按分层抽样的方
法从各部门中抽取组建一个代表队参加上级部门组织的某项活动；其中乙部门抽取7人，则该单位共抽取__________人。

14. 若[)2()2(1)33+f x x a x =+--?
在，上是增函数，
则实数a 的取值范围是_________. 15. 若函数()3(21)f x m x =-是幂函数，则m =_________。

16. 小华的妈妈经营一家饮品店，经常为进货数量而烦恼，于是小华代妈妈进行统计，其中
某种饮料的日销售量y （瓶）与当天的气温x （℃）的几组对照数据如下：
根据上表得回归方程y bx a =+中的48a =，据此模型估计当气温为35℃时，该饮料的日销售量为 瓶.
三、 解答题：本大题共6小题，23、24各7分，25、26各8分，共30分。

解答应写出文
字说明、证明过程或演算过程。

17 (本小题满分10分)
已知函数()21
sin cos cos 2
f x x x x =+-
． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在8,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值．
18. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 是一个等差数列，且25a =，511a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令*2
1
()1
n n b n a =∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T 19.(本小题满分12分)
某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到
广场参加环保知识的志愿宣传活动.
（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
20. (本小题满分12分)如图，在正方体ABCD 1111A B C D -中，E 、F 分别为1AD 、1CD 中点。

（1）求证：EF//平面ABCD ；
（2）求两异面直线BD 与1CD 所成角的大小。

21. (本小题满分12分) 在锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且
A c a sin 23=
（1）确定角C 的大小；（2）若c ＝7,且ABC ∆的面积为2
3
3,求b a +的值．
组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组
[90，100]
2 b
合计
▓
▓
频率分布表
频率
频率分布直方图
B
C
D
A 1
D 1
C 1
B 1
E
F
22. (本小题满分12)已知圆22:(3)(4)4C x y ++-=.
（1）若直线1l 过点(1,0)A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；
（2）若圆D 的半径为4，圆心D 在直线2l ：220x y +-=上，且与圆C 内切，求圆D 的方程．
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共54分）
二、填空题（每小题4分，共16分）
三、解答题（共30分）
18. 【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由已知条件得 115
411
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，
解得 13a =，2d =．……………………4分
所以1(1)21n a a n d n =+-=+． ……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2+1n a n =．
所以211n n b a =-=21=2+1)1n -（114(+1)n n ⋅=111()4+1
n n ⋅-．………………10分
所以n T =
111111(1)4223
+1n n -+-++
-=11
(1)=
4+1n -4(+1)
n n ． 即数列{}n b 的前n 项和n T =4(+1)
n
n ． ……………………12分
19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．………4分 （Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
,,,,,,,AB AC AD BC BD CD AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY
共15种情况．…………………………………………………………………………6分 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分 有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93
()155
P E =
=． 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率
3
5
. ……………10分 （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,AB AC AD BC BD CD XY 共7种情况． …………………………………………………………………………11分 所以7
()15
P F =
答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是7
15
． ………………………………12分
20. 【答案】(1）连接AC ，
E 、
F 分别为1AD 、1CD 中点，
A
B
C D
A 1
D 1
C 1
B 1
E
F
//,E F A C ∴ 又,EF ABCD AC ABCD ⊄⊂平面平面，
//.EF ABCD ∴平面
…………………..…..……………………………6分
（2）连接1A B ,1A D ,容易证明四边形11A BCD 是平行四边形,11//A B D C ∴, ∴两异面直线BD 与1CD 所成角为1A BD ∠,易知1A BD V 是等边三角形, 160.A BD ∴∠=︒
∴两异面直线BD 与1CD 所成角的大小为60.︒……………………….…..………..12分
21. 【答案】解：（1） 锐角三角形中,由正弦定理得A C A sin sin 2sin 3=,因为A 锐角
∴0sin >A
∴23sin =
C 又C 锐角∴ 3
π
=C ---------------6分 (2)三角形ABC 中，由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+= 即ab b a -+=227 --------8分 又由ABC ∆的面积得 2
3
32321sin 21=
==
ab C ab S . 即6=ab ---------10分
252)(222=++=+ab b a b a
由于b a +为正， 所以5=+b a ---------12分
22【答案】（1）①若直线1l 的斜率不存在，直线1l ： 1x =-，符合题意． 2分 ②若直线1l 的斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．
由题意得，
2=， 4分
解得3
4k =-，∴直线1l ：3430x y ++=. 5分
∴直线1l 的方程是1x =-或3430x y ++=． 6分 （2）依题意，设(,22)D a a -，
由题意得，圆C 的圆心(3,4),C -圆C 的半径2r =， 2CD =. 8分
2， 解得 9
15
a a =-=-或，
∴ (1,4)D -或928
(,)55D -. 10分
∴圆D 的方程为 22(1)(4)16x y ++-= 或22928
()()1655x y ++-=． 12分。