浙江省金华市永康中学2018年高一数学理期末试题含解析

浙江省金华市永康中学2018年高一数学理期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 是第二象限角，P为其终边上一点，且，则的值为（）；
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
2. 图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）
参考答案：
A
3. 已知数列是等差数列，若，，则数列的公差等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
略
4. 圆：与圆：的位置关系是（）（A）相交（B）外切（C）内切（D）相离
参考答案：
B
5. 已知，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据同角三角函数关系可求得；由二倍角的正切公式可求得结果.
【详解】，
本题正确选项：C
【点睛】本题考查二倍角的正切公式、同角三角函数关系的应用，属于基础题.
6. 已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图，那么不等式的解集是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
7. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
参考答案：
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．
【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，
依题意知三棱柱为正三棱柱，
易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．
设各棱长为1，则AE=，
DE=，tan∠ADE=，
∴∠ADE=60°．
故选C
8. 设是两个非零向量，则下列结论不正确的是（）
A. B.若,则
C.若存在一个实数满足,则与共线
D.若与为同方向的向量,则
参考答案：
A
略
9. 函数为增函数的区间 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 在△ABC中，，则三角形的形状为
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算：ln(lg10)+=．
参考答案：
4﹣π
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数函数、指数函数、幂函数求解．
【解答】解：
=ln1+4﹣π=4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函
数、指数函数、幂函数的性质的合理运用．
12. 已知.
（1）求的值；
（2）若求的值.
参考答案：
（1）（2）
解析：解：(1)
5分
(2) 6分
7分
8分
12分
13. 设，且，，则。

参考答案：
14. 计算：．
参考答案：
略
15. 函数y=|tanx|的对称轴是．
参考答案：
x=，k∈Z
【考点】HC：正切函数的图象．
【分析】根据正切函数的图象及性质，y=|tanx|的图象是y=tanx把x轴的下部分翻折到x 轴的上方可得到的直接得答案．
【解答】解：函数y=|tanx|的图象是y=tanx把x轴的下部分翻折到x轴的上方可得到的．
∴函数y=|tanx|的对称轴是x=，k∈Z．
故答案为：x=，k∈Z．
16. 已知函数定义为中较小者，则的最大值为
参考答案：
略
17. 若函数f(x+3)的定义域为[-5,-2]，则F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域为______________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某数学老师对本校2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1：50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：
（I）表中a，b的值及分数在[90，100）范围内的学生，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在[90，150]范围为及格）；
（II）从大于等于110分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．
参考答案：
【考点】茎叶图；频率分布表；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（I）根据茎叶图计算表中a，b的值，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在[90，150]范围为及格）；
（II）利用列表法，结合古典概率求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．
【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，
∴a=，b=3．
又分数在[110，150）范围内的频率为，
∴分数在[90，110）范围内的频率为1﹣0.1﹣0.25﹣0.25=0.4，
∴分数在[90，110）范围内的人数为20×0.4=8，
由茎叶图可知分数[100，110）范围内的人数为4人，
∴分数在[90，100）范围内的学生数为8﹣4=4（人）．
从茎叶图可知分数在[70，90]范围内的频率为0.3，所以有20×0.3=6（人），
∴数学成绩及格的学生为13人，
∴估计全校数学成绩及格率为%．
（2）设A表示事件“大于等于100分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，
由茎叶图可知大于等于100分有5人，记这5人分别为a，b，c，d，e，
则选取学生的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），基本事件数为10，
事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，
所以可能结果为：，，，，
共4种情况，基本事件数为4，
∴．
19. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1)求角A；
（2）若，则△ABC周长的取值范围.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）利用切化成弦和余弦定理对等式进行化简，得角的正弦值；
（2）利用成正弦定理把边化成角，从而实现的周长用角B的三角函数进行表示，即周长，再根据锐角三角形中角，求得函数值域.
【详解】（1）由，得到，
又，所以.
（2），，设周长，由正弦定理知，
由合分比定理知，
即，，
即
.
又因为为锐角三角形，所以.
，周长.
【点睛】对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者选定什么量为变量？然后，利用函数与方程思想，把所求的目标表示成关于变量的函数，再研究函数性质进行问题求解.
20. （本题满分15分）数列的前项和为，满足．等比数列满足：．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求．
参考答案：
（1）由已知得：
，………………2分
且时，
经检验亦满足
∴………………5分∴为常数
∴为等差数列，且通项公式为
………………7分
（2）设等比数列的公比为，则，
∴，则，
∴……………9分
①
②
①②得：
…1 3分
………………15分
21. 惠城某影院共有100个座位，票价不分等次．根据该影院的经营经验，当每张标价不超过10元时，票可全部售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有3张票不能售出．为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，符合的基本条件是：
①为方便找零和算帐，票价定为1元的整数倍；
②影院放映一场电影的成本费用支出为575元，票房收入必须高于成本支出．
用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）．
（Ⅰ）把y表示成x的函数，并求其定义域；
（Ⅱ）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？参考答案：
【考点】分段函数的应用．
【分析】（Ⅰ）根据x的范围，分段求出函数表达式；
（Ⅱ）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知当x≤10时，y=100x﹣575，
当x＞10时，y=[100﹣3（x﹣10）]x﹣575=﹣3x2+130x﹣575
由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解之得：
又∵x∈N，∴6≤x≤38﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴所求表达式为
定义域为{x∈N|6≤x≤38}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）当y=100x﹣575，6≤x≤10，x∈N时，
故x=10时y max=425﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当y=﹣3x2+130x﹣575，10＜x≤38，x∈N时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故x=22时y max=833﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以每张票价定为22元时净收入最多．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22. （15分）设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，
（2）求出的通项公式。

（3）求数列的前n项和.
参考答案：
由题知,,
海里
,
海里
又航行速度为30海里/小时，所以航行时间为1小时。