苏教版随机变量及其概率分布2

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随机变量的概率
随机事件“掷一枚硬币,反面向上”可用随机变量 简单表示为{X=0}.其概率为:
P({X=0})=P{掷一枚硬币,反面向上}=0.5 简记为P(X=0)=0.5 {X=1}的概率可以表示为: P({X=1})=P{掷一枚硬币,正面向上}=0.5 简记为P(X=1)=0.5 故随机变量X的取值构成集合{0,1}
x -2 -1 0 1 2 3
1 1 1 1 11 P 12 4 3 12 6 12
解求:由出随1 机12变x量可得1 121x的的取分值布为-表1.、
1 2
1
3
、0、2 、1、2
且相应取值的概率没有变化
∴ 1 的分布表为:
1 -1
1 2
0
1
1
2
3 2
P
1 12
1 4
1 3
1
1
12
6
1 12
思考.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5, 在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中 的最小号码,试写出ξ的分布表.
(1) pi ≥ 0, i 1,2,3,L (2) p1 p2 p3 L 1
例1
一袋中装有6个同样大小的小球,编号为1、2、
3、4、5、6,现从中随机取出3个小球,以x 表 示取出球的最大号码,求x 的分布列.
x
3
4
5
6
1
3
3
1
P
20
20
10
2
练习1.随机变量ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
2
3
可以一一列出,也可写出通项
定义:概率分布
设离散型随机变量ξ可能取值为 x1 , x2 ,L , xi L ξ取每一个值 xi (i 1, 2,L ) 的概率 P(x xi ) pi 简称x的分布列.
表 ξ x1 x2 … xi …
p p1 p2 … pi …
称为随机变量x的概率分布表, 它和分布列都叫做概率分布. 说明:离散型随机变量的分布列具有下述 两个性质:
C127
C
2 20
136 190
=P(抽得的两件全为正品)
P{X=1}
C31C117 C220
51 190
=P(只有一件为次品)
P{X=2}
C32
C
2 20
3 =P(抽得的两件全为次品) 190
故 X的分布律为
X0 1 2
pk
136 190
51
3
190190Fra bibliotek而“至少抽得一件次品”={X≥1} = {X=1}{X=2}
3/8 9/16 1/16
例3.数字1, 2, 3 , 4任意排成一列, 如果 数字k恰好出现在第k个位置上, 则称有一个 巧合, 求巧合数X的分布.
X0 1 2 3 4 P 3/8 1/3 1/4 0 1/24
例4
同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现 的点数,求两颗骰子出现的最大点数X的概率分 布,并求X大于2小于5的概率P(2<X<5).
p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
(1)求常数a;(2)求P(1<ξ<4)
解:(1)由随机变量的分布的性质有
0.16 a a2 a 0.3 1
10 解得: a
9(5舍)或a
3
10
5
(2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42
练习2:已知随机变量 x 的分布表如下:
3
2.设随机变量x
的分布列为 P(x
i)
a
1 3
i
,
i 1, 2, 3
则 a的值为
27 13

课堂练习:
x 1 0 1
3.设随机变量x 的分布表为 P
则q( D )
1 1 2q q2 2
A、1
B、1
2 2
C、1
2 2
D、1 2
2
4.设随机变量x 只能取5、6、7、···、16这12个值,
(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,3)(5,3)(6,3)
(4,4)(4,5)(4,6)(5,4)(6,4) (5,5)(5,6)(6,5)
(6,6)
情况数
11 9 7 5 3 1
P55 2,3
X的值
1 2 3 4 5 6
出现的点
情况数
(1,1)
1
(2,2)(2,1)(1,2)
3
(3,3)(3,2)(3,1)(2,3)(1,3)
5
(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(3,4))(2,4)(1,4)
7
9 (5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(4,5)(3,5))(2,5)(1,5)
且取每一个值的概率均相等,则 P(x 8) 2 ,
若 P(x x) 1
3
12
则实数 x的取值范围是 5,6 .
5. 设有一批产品20件,其中有3件次品,从中任意抽取2件,如
果用X表示取得的次品数,求随机变量X的分布律及事件“至少 抽得一件次品”的概率.
解:X的可能取值为 0,1,2
P{X=0}
注意:{X=1}与{X=2}是互不相容的!

P{X≥1}=
P{X=1}+P{X=2}
51 190
3 190
54 190
27 95
数学应用
例 1、在掷一枚图钉的随机试验中,令
X
1, 针尖向上 0, 针尖向下
如果会尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p),于是, 随机变量X的分布列是:
11 (6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(5,6)(4,6)(3,6))
(2,6)(1,6)
变式:上式中求“两颗骰子出现的最小点 数X的概率分布”
X的值
1 2 3 4 5 6
出现的点
(1,1) (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(3,1) (4,1)(5,1))(6,1) (2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,2)(4,2)(5,2))(6,2)
X
0
1
两点分布列
P
1—p
p
象上面这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X的分 布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称p=P(X=1)为 成功概率。
两点分布列:X~0-1分布.X~ 两点分布
例2.将3个不同的小球任意地放入4个大玻 璃杯中, 杯子中球的最大数目为X , 求X 的分布.
X
1
2
3
P
解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
P(ξ=1)=
C
2 4
/
C
3 5
=3/5;
同理可得 P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10.
因此,ξ的分布如下表所示
ξ1 2 3 p 3/5 3/10 1/10
课堂练习:
1.设随机变量x 的分布表如下:
x1 2 3 4
P1 1
63
则 p 的值为
1p
6 1.
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