(2021年整理)中学考试数学专题复习16矩形折叠问题

中学考试数学专题复习16矩形折叠问题
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中考数学专题复习16
——矩形折叠问
来源：家学网【相信自己，掌握未来，家学网值得信赖！】 2012年05月18日
2012中考数学专题复习16
矩形折叠问题
一。

知识要点
折叠问题实质是轴对称问题，其主要特征有：
1．图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等.
2．点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕)垂直平分.
问题化归：
1．直角三角形的三边关系（勾股定理）
2．图形（三角形或四边形）的面积
3．相似三角形的对应边成比例。

由以上等量关系得出方程解决问题。

二。

例题精选
例1．在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将图形沿着AE对折,使得D点落在BC边上的F处，试求EC的长.
思路分析:找到由折叠产生的所有等量关系,其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出其他线段长度)
例2．在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC对折,如图所示：（1）请说明△ABF△CFF （2）求
思路分析：
在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得到了多组等量关系,此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了.
例3。

在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,将图形沿着EF对折，使得B 点与D点重合。

（1）说明DE=DF
（2）求
（3)求EF的长度
思路分析：（1）要说明DE=DF，有两种思路:
①可说明全等;
②可说明△DEF是等腰三角形，DE、DF是两腰
所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰
例4 如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P，连接EP．
(1）如图②,若M为AD边的中点, ①,△AEM的周长=_____cm; ②求证：EP=AE+DP;
(2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
思路分析：（1）①设AE=x,由折叠的性质可知EM=BE=12—x，在Rt△AEM中，运用勾股定理求AE；②过点F作FG⊥AB,垂足为G，连接BM，根据折叠的性质得点B和点M关于EF对称，即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求EF的问题转化为求BM;
（2）设AE=x，AM=y，则BE=EM=12-x，MD=12-y,在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式,可证Rt△AEM∽Rt△DMP,根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长．
三。

能力训练
1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形。

则展开后三角形的周长是（）.
A．2＋ B．2＋2 C．12 D．18
2. 如图,已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°,现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为( ）A．4 B．3 C．2 D．1
3。

如图所示,把一长方形纸片沿MN折叠后,点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°,则∠NFD′等于（）
（A）144°（B）126°（C)108°（D)72°
4。

如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合点为A＇，则△A＇BG的面积与该矩形的面积比为（）
A． B． C． D．
第4题图第5题图
5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3,则AM的长是（）
A．1。

5 B．2 C．2.25 D．2.5
6。

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF 折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A',D’处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm
7. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处,折痕为MN，则线段CN的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8。

小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD〉CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）;再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N 处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG(如图③）．如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．
9.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm,AD上有一点P，PD＝3cm，
过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点,则PQ的长是____________cm.
10.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E。

（1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8,DE=3，P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值,并说明理由。

思维拓展:
1。

如图,折叠矩形的一边AD,折痕为AE，点E在边CD上，折叠后点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,AD=10cm,求AE的长.
2.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕,且，求直线CE与x轴交点P的坐标;
3。

已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点(不与B,C重
合）,过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．请探索：是否存在这样的点F,
使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4。

如图，在矩形ABCD中,AB=3，AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原.
（1)当时，折痕EF的长为;当点E与点A重合时，折痕EF的长为；
（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长;
（3)令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式.当取最大值时,判断与是否相似?若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。

5.问题解决
如图（1）,将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合）,
压平后得到折痕．当时,求的值．
类比归纳
在图(1）中，若则的值等于；若则的值等于；若（为整数），则的值等于．（用含的式子表示）联系拓广
如图(2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点(不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于
．(用含的式子表示）
参考答案
例1 由题意可得：AD=BC=10，又由折叠可知:AF=AD=10 DE=EF
∴在Rt△ABF中，根据勾股定理可得:
∴ BF=6，∴ FC=10—6=4。

设DE=，则，
故,在Rt△CEF中，根据勾股定理可得：,解得:即：DE=5另解：本题亦可以由长方形的面积S长方形ABCD=S△ABF+S△ADE+S△AEF+S△ECF列出方程：
解得
例2 解：(1）由题意可得：AD=BC=8，CD=AB=4
又由折叠可知：AE=AD=8,CE=CD=4，∠E=∠D=90°
在△ABF与△CEF中：
∠B=∠E=90°
∠AFB=∠CFE(对顶角相等）
AB=CE=4
∴△ABF△CFF（AAS）
（2）∵△ABF△CFF，∴AF=FC，BF=EF
设EF=，则BF=,
∴在Rt△CEF中，由勾股定理可得：
解得：
即EF=3
∴
此题中对于△ABF，同样可以通过设未知数,利用勾股定理求解。

例3 解:(1）方法一：由题意可得:CD=AB=3，∠ADC=90°
由折叠可得：DG=CD=3，∠G=∠C=90°,∠GDF=∠B=90°
∴∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°∴∠1=∠3
故在△DEG与△DCF中：
∠G=∠C(已证）
DG=CD（已证）∴△DEG≌△DCF（ASA）
∠1=∠3（已证）∴ DE=DF
方法二：∵长方形ABCD ∴ AD∥BC ∴∠4=∠6（两直线平行，内错角相等）又由折叠可知∠4=∠5
∴∠5=∠6（等量代换）
∴ DE=DF（等角对等边）
（2）求解:由折叠可知:EG=AE
设，则，∴
故在Rt△DEG中,根据勾股定理可得：
解得：
故EG DE=
例4
能力训练答案
1.B
2. B 3。

B 4。

C 5。

B 6. B 7。

A 8. 9.
10.（1)△AED≌△CEB′
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=B′C=AD，∠B=∠B′=∠D
又∠B′EC=∠DEA
∴△AED≌△CEB′
(2）延长HP交AB于M，则PM⊥AB
∵∠1=∠2，PG⊥AB′
∴PM=PG
∵CD∥AB
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴AE=CH=8-3=5
在Rt△ADE中，DE=3
AD==4
∵PH+PM=AD
∴PG+PH=AD=4.
思维拓展答案:
1。

5
2.（16,0)
3. 设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB边上的M点,过点E作EN⊥OB，垂足为N．
由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-1/3k，MF=CF=3- 1/4k，
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°,
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△EMN∽△MFB．
∴ EN/MB=EM/MF，
∴ 3/MB=(4—1/3k)/（3-1/4k）=[4（1—1/12k）]/[3(1-1/12k）］,
∴MB= 9/4．
∵MB²+BF²=MF²，
∴（9/4）²+（k/4）²=（3-1/4k）²,解得k= 21/8．
∴BF= k/4=21/32．
∴存在符合条件的点F，它的坐标为(4， 21/32）．
4. 解:（1）3， (2）．
当时，如图1，连接,
为折痕，，
令为,则,
在中，，
，
解得,此时菱形边长为．
（3）如图2，过作，
易证，
，
当与点重合时，如图3,连接，
,,
．
显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，
当时，有最大值．
此时，．
综上所述，当取最大值时，，
5.解：方法一：如图（1-1)，连接．
由题设，得四边形和四边形关于直线对称．∴垂直平分．∴
∵四边形是正方形，∴
∵设则
在中，．
∴解得，即
在和在中，，
，
设则∴
解得即分
∴
方法二:同方法一，
如图(1－2)，过点做交于点，连接
∵∴四边形是平行四边形．∴
同理，四边形也是平行四边形．∴
∵
在与中
∴
∵
∴
类比归纳
（或）；；
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