习题81反常积分的概念和计算word精品文档8页

第八章 反常积分
习 题 8.1 反常积分的概念和计算
⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。

一个带电量+q 的点电荷产生的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为
F k
q
r =2
（k 为常数），求距电场中心x 处的电位。

解 ⎰+∞==x
x kq
dr r
q k
U 2。

⒉ 证明：若⎰+∞
a dx x f )(和⎰+∞
a dx x g )(收敛，k k 12和为常数，则[]⎰+∞
+a dx x g k x f k )()(21也收敛，且
⎰⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
+=+a
a
a
dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121。

证 设⎰+∞a dx x f )(⎰+∞→=A
a A dx x f )(lim ，⎰+∞a dx x g )(⎰+∞
→=A
a A dx x g )(lim ，则 []⎰+∞
+a dx x g k x f k )()(21
[]⎰+=+∞→A
a
A dx x g k x f k )()(lim 21 ⎰+∞→=A
a
A dx x f k )(lim
1⎰+∞→+A
a
A dx x g k )(lim
2⎰⎰+∞
+∞+=a a dx x g k dx x f k )()(21。

⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：
⑴ e sin -+∞
⎰20
5x xdx ;
⑵ e cos -+∞
⎰302x xdx ;
⑶ 1
1
2x x dx ++-∞
+∞
⎰;
⑷
1
22220
()()
x a x b dx +++∞
⎰
)0,0(>>b a ;
⑸ ⎰∞
+∈0
)(e 2
R a dx x ax ; ⑹ )(ln 1
2
R ∈⎰∞
+p dx x
x p
; ⑺ 1
1232()/x d x +-∞+∞
⎰; ⑻ 1
20(e e )
x x dx +-+∞
⎰;
⑼ 1
1
40
x dx ++∞
⎰； ⑽ ln x
x dx 12
++∞
⎰。

x q 图8.1.4
解（1）e sin -+∞
⎰205x xdx ⎰∞
+--=025cos e 51
x d x ⎰∞
+--=025cos e 5
2
51xdx x
⎰∞+--=
025sin e 25251x d x ⎰∞
+--=025sin e 25
451xdx x ， 所以
e sin -+∞
⎰205x xdx 29
5
=。

（2）e cos -+∞⎰302x xdx ⎰∞+-=032sin e 21x d x ⎰∞
+-=032sin e 2
3xdx x
⎰∞+--=032cos e 43x d x ⎰∞
+--=032cos e 4
943xdx x ， 所以
=⎰∞
+-032cos e xdx x 13
3。

（3）11
2x x dx ++-∞
+∞
⎰⎰∞
+∞-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x 2
2
23211
⎰∞
+∞
-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=
31231211
32
2x d x =+=
∞+∞
-3
12arctan
3
2x 3
2π。

（4）当b a ≠时，
122220
()()x a x b dx
+++∞
⎰⎰∞+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-+-=0
2222
2
21
11
dx b x a x a b =⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
b a a b 22122ππ
)(2b a ab +π； 当b a =时，
⎰∞
++0
222)(1dx a x ⎰∞+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
+-+=
2222
222
)(11dx a x x a x a )1(
2120
222
3
⎰∞
+++
=
a x xd a a π
⎰∞
++-
=0
222
321
2a x dx a a π3342a a ππ-=3
4a
π
=， 此结果等于在b a ≠时的结果中以a b =代入后的结果。

（5）当0≥a 时积分发散；当0<a 时，
⎰∞
+0
2
e dx x ax ⎰∞+=
2
)(e 212ax d a
ax a 21-=。

（6）当1≤p 时积分发散；当1>p 时，
⎰∞
+∞
++-=
+-=2
21
)
(ln 11ln 1p p x p dx x
x 1)2(ln 1
1
+--p p 。

（7）令t x tan =，则
=
+⎰∞
+∞-dx x 2/32)1(1
=⎰-22
cos π
πtdt 2。

（8）令t e x =，则
120
(e e )x x dx +-+∞
⎰⎰∞
+∞
+=
+-=+=11
22
2)
1(21)1(t t tdt 4
1。

（9）利用第六章第3节习题1(10)的结果
⎰=+dx x 114C x x x x x x +-++++-++)12arctan(42
)12arctan(421
212ln 822
2， 即可得到
=+⎰∞
+0
4
11
dx x 22π。

（10）=+⎰∞
+dx x
x
2
1ln +
+⎰dx x x
1
021ln dx x
x
⎰∞
++1
2
1ln , 对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换t
x 1=，则
dx x x ⎰∞
++1
21ln dt t
t
⎰+-=10
21ln ， 所以
01ln 0
2
=+⎰∞
+dx x
x。

⒋ 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：
⑴ x
x
d x 12
01
-⎰; ⑵ 1
12
1
x x
dx -⎰ln e
; ⑶ x
x dx -⎰1
1
2
; ⑷ 1
2101
()--⎰x x dx ;
⑸ 11
3211
x x
d
x s i n -⎰; ⑹ ⎰2
tan 1πdx x
;
解（1）x x d x 1201
-⎰⎰---=102
21)1(21x x d 1
02)1(x --=1=。

（2）1121
x x dx -⎰ln e
⎰-=e 1
2)(ln ln 11x d x
==e
x 1)arcsin(ln 2π。

（3）令t x =-1，则
x x dx -⎰11
2
⎰=+=102)1(2dt t 3
8。

（4）令t x =-1，则
12101
()--⎰x x dx ⎰=+=10212t dt
2π。

（5） 113211
x x d x s i n -⎰⎰-=01231sin 1dx x x ⎰+10231sin 1
dx x
x 。

⎰1
0231sin 1dx x x ⎰-=1022)1(1sin 21x d x 102)1(cos 21+
=x
， 由于)1(cos 21lim
20x x +→极限不存在，所以积分⎰10231sin 1
dx x
x 发散；同理积分⎰-0
1231sin 1dx x x 也发散。

（6）令t x =tan ，再利用上面习题3（9），得到
⎰
2
tan 1πdx x
⎰∞
++=0
4
12t dt 2
π
=。

⒌ 求极限lim
!n n
n n
→∞。

解 =∞→n n n
n !ln
lim =∑=∞→n k n n
k
n 1ln 1lim ⎰-=101ln xdx , 所以
e
n n n n 1
!lim
=∞
→。

⒍ 计算下列反常积分： (1) lncos xdx 02
π
⎰; (2) x x d x lns in 0π
⎰。

(3) ⎰20cot π
xdx x ;
(4) arcsin x
x
dx 01
⎰; (5) ln x
x dx 12
1
-⎰。

解 (1) 令t x -=
2
π
, 再利用例8.1.11，得到
lncos xdx 0
2
π⎰⎰==20sin ln π
tdt 2ln 2
π
-。

(2) 令t x -=π, 由
⎰=
π
sin ln xdx x ⎰-ππ0sin ln tdt ⎰π
0sin ln tdt t ,
得到
⎰=π
0sin ln xdx x ⎰π
π
0sin ln 2xdx ⎰=20sin ln π
πxdx 2ln 2
2
π-
=。

(3) ⎰20cot π
xdx x ⎰=20sin ln π
x xd dx x x x ⎰-=2020
sin ln )sin ln (π
π
2ln 2
π
=。

(4) 令x t arcsin =, 得到
⎰=
10
arcsin dx x
x
⎰
20
cot π
tdt t 2ln 2
π
=。

(5) ⎰=
-1
2
1ln dx x
x ⎰1
0arcsin ln x xd 1
0)arcsin (ln x x =⎰-10
arcsin dx x
x
2ln 2
π
-
=。

⒎ 求下列反常积分的Cauchy 主值：
⑴ (c
p v )112++-∞+∞
⎰x
x d x ; ⑵ (cpv)1
2
14
x dx -⎰; ⑶ (c p v )l n /
1122
x x d x ⎰。

解 (1) (c p v )112++-∞
+∞
⎰x x d x π=++=+-+∞→A
A A x x )]1ln(2
1[arctan lim 2。

(2) (cpv)1
2
14
x dx -⎰=-+-=-++→])2(ln )2[(ln lim 21
420η
ηηx x 2ln 。

(3) (c p v )l n /
1122
x x
d x ⎰=+=-++→])ln (ln )ln [(ln lim 12/1210ηηηx x 0。

⒏ 说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。

证 设⎰b
a dx x f )(是一个无界函数反常积分，
b x =是)(x f 的唯一奇点 （即)(x f 在b x =的左领域无界）。

令x
b a
b t --=
，则 ⎰b
a
dx x f )(21
)(t
dt t a b b f a b ⎰∞
+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=，
等式右端就是一个无穷区间的反常积分。

⒐ ⑴ 以⎰∞
+a dx x f )(为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加性；
⑵ 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。

解 （1）保序性：
设⎰∞
+a dx x f )(与⎰∞+a dx x g )(收敛，且在),[+∞a 成立)()(x g x f ≥，则
⎰∞
+a
dx x f )(⎰∞
+≥a dx x g )(；
证明：由定积分的保序性，可知⎰A
a dx x f )(⎰≥A
a dx x g )(，再令+∞→A 。

区间可加性：
设⎰∞
+a dx x f )(收敛，则对任意),[+∞∈a c ，⎰∞
+c dx x f )(收敛，且
⎰∞
+a
dx x f )(⎰=c a dx x f )(⎰∞
++c
dx x f )(；
证明：由定积分的区间可加性，可知⎰A
a dx x f )(⎰=c
a dx x f )(⎰+A
c dx x f )(，再令+∞→A 。

（2）设x
x x g x f s
i n )()(==，则⎰∞+1)(dx x f 与⎰∞+1)(dx x g 收敛，但⎰∞
+1)()(dx
x g x f 不收敛。

10. 证明当a >0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有
⎰
∞
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+0
ln dx x x
x a a x f ⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=01ln dx x
x a a x f a 。

证
⎰
∞
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+0
ln dx x x
x a a x f ⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-01ln dx x x a a x f a dx x a
x x a a x f ln ln 0-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎰∞+
+
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎰dx x a x x a a x
f a ln ln 0dx x a
x x a a x f a
ln ln -⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰∞
+， 对上式右端两积分中任意一个（例如第二个）作变量代换t
a x 2
=，则
当+∞→a x :时，0:→a t ；且=+x a a x t a a t +，dt t
a t dx x a x ln ln ln ln -=-，于是由
dx x a
x x a a x f a
ln ln -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞
+dt t a t t a a t f a ln ln 0-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎰，
得到
⎰
∞
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+0
ln dx x
x
x a a x f ⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-01ln dx x x a a x f a
0ln ln a x a x a f dx a x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰0ln ln 0a t a t a
f dt a t t -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
⎰。

11．设⎰∞
+a dx x f )(收敛，且A x f x =+∞
→)(lim 。

证明0=A 。

证 用反证法。

不妨设0>A ，则对02
1
>=A ε，a X >∃，X x >∀：
A A x f 2
1)(<
-，从而A x f 21
)(>。

由
⎰B a
dx x f )(⎰=X a dx x f )(⎰+B X dx x f )()(2
1
)(X B A dx x f X
a -+
>⎰， 可知+∞=⎰+∞
→B
a B dx x f )(lim ，与⎰∞
+a dx x f )(收敛发生矛盾。

同理也可证明不可能有0<A ，所以0=A 。

12．设)(x f 在),[+∞a 上可导，且⎰∞+a dx x f )(与⎰∞
+'a dx x f )(都收敛，证明
0)(lim =+∞
→x f x 。

证 ⎰∞
+a dx x f )('==⎰∞
+a x df )()()(lim a f x f x -+∞
→，
由⎰∞
+a dx x f )('的收敛性, 可知)(lim x f x +∞
→存在且有限, 再利用第11题的结
论，得到
0)(lim =+∞
→x f x 。