三年级秋季班第17讲-图形的拼割-教师版

图形的拼割
【教学目标】
1.学生参与剪割、拼摆、粘贴等活动、初步掌握形的分解与组合方
法，提高动手能力。

2.培养和发展学生的形象思维能力、创造能力和审美能力
3.感受学习几何数学所带来的乐趣
【教学重点】
1.了解认识两个图形的组合能拼出不同的图形
2.掌握形的分解组合方法，发展学生的形象思维和创造能力
【教学难点】
感受学习几何数学所带来的乐趣
【教学工具】
三角板、若干三角形纸片、正方形纸片、长方形纸片、圆形纸片等
【教学过程】
※知识精讲
图形的分割与拼接的概念
把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．
反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．
将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．
我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．
如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．
图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．
如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．
如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．
※习题精讲
例1.右图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．
【分析与解】
因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸
一共有3×4=12（个）小格，所以分成的两块每块有12÷2=6
（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全
一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，
找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号，当找它关于中心线的对
称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示.
例2.将右图分割成五个大小相等的图形
分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。

3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，
下图是其中的三种。

例3.图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，
将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8
个小方格，并且这两块关于中心点对称。

下面是六种分割
方法。

例4.将下图分割成两块，然后拼成一个正方形
分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。

因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移
2使长为4）。

考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。

例5.下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．
【分析与解】
通过计算，18÷6=3，说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：
与
，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6
个，是由6结合染色法，如下图.
例6. 把右图剪成形
状、大小相等的8个
小图形，怎么剪?作出分出的小图形．
【分析与解】
总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图.
例7．用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形?若能，画出示意图．
【分析与解】
能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．
例8. 下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？
6
6
655
54443
3
32221
11
【分析与解】
用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能
够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图
（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼
法见右图．
例9.试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．
【分析与解】
把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．
※练习与作业
1. 个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？
【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分
成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．
【总结】本题若死守三角形面积等于底⨯高的一半，则无以下手，引导学生转
换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决． 2. 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？
【解析】
图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以
肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是64⨯的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．
答案不唯一．
3. 试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形． 【分析与解】
要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行
本
读数
奥本
读数
奥
四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图
4.用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．
【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44
⨯的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已
知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：
5.把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．
【解析】因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边长和，而是等于小正方形的对角线的长，所
以要沿着两个小正方形的对角线剪开再进行拼接，如右图．
6.试将一个49
⨯的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．
【解析】已知长方形格数9436
⨯= (个)，所以正方形的边长应为6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成6个格、3
个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，
如右下图．
7. 把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等． 【解析】 连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再
连接各腰中点，又把它们分成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形．(如图⑴所示)，出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了(如图⑵、⑶所示)．
（1） ⑵ ⑶
8. 试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形． 【解析】 方法一：三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变
为四边形，需要加一个角，
加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图．
方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角
形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图．
8
76
5432
11
2
5
6
7
34
8
方法一：
方法二：。