高考数学一轮复习1 (3)
高考数学第一轮复习教案
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专题 平行-2023年高考数学一轮复习课件(全国通用) 课件
取 BP的中点T ，连接 AT,TN ．
由 N 为 PC 中点知TN // BC ，TN 1 BC 2 ．
N
2
又 AD// BC，故TN 平行且等于 AM ，
AM
四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN // AT ．
D ∵ AT 平面 PAB， MN 平面 PAB，
B
C
∴ MN // 平面 PAB．
2023年高考第一轮复习
专题31：平行问题
平行关系中的三个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行， 即若 a⊥α，a⊥β，则α∥β. （2）垂直于同一个平面的两条直线平行， 即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b. （3）平行于同一个平面的两个平面平行， 即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ) (2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (4)若直线 a 与平面α内无数条直线平行，则 a∥α.( )
∴平面 BDM //平面 EFC ；
考向三：点在面内
19．2020 全国 3 卷）
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E ，F 分
别在棱 DD1 ， BB1 上且 2DE ED1 ， BF 2FB1 ．
（1）证明：点 C1 在平面 AEF 内；
C
B
D
A
E
F
C1
B1
D1
A1
证明：（1）在 AA1 上取一点 M ，使得 A1M 2AM ， 分别连接 EM ， B1M ， EC1 ， FC1 ． 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，有 DD1∥AA1∥BB1 ， 且 DD1 AA1 BB1 ， 又 2DE ED1 ， A1M 2AM ， BF 2FB1 ， ∴ DE AM FB1 ， ∴四边形 B1FAM 和四边形 EDAM 都是平行四边形． ∴ AF∥MB1 且 AF MB1 ， AD∥ME 且 AD ME ， 又在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，有 AD∥B1C1 且 AD B1C1 ， ∴ B1C1∥ME 且 B1C1 ME ，则四边形 B1C1EM 为平行四边形， ∴ EC1∥MB1 且 EC1 MB1 ，又 AF∥MB1 且 AF MB1 ， ∴ AF∥EC1 且 AF EC1 ，则四边形 AFC1E 为平行四边形， ∴点 C1 在平面 AEF 内．
2023高考数学一轮复习专题03 曲线的公切线方程(解析版)
专题03曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12答案D解析易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①．设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为kx 0＋b③，由②③可得b ＝12x 0，将b ，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12．(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数直线l 的方程为．答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设l ，∴f ′(x 1)＝1e x，∴切点为(x 1，1e x)y ＝1e x·x －11e xx ＋1e x，①，同理设l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)①与②相同，∴111122121e e , e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⇒=⎪⎨⎪-+=+⎩③④把③代入④有－11e x x ＋1e x ＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x－1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1．(3)曲线C 1：y ＝ln x ＋x 与曲线C 2：y ＝x 2有________条公切线．答案1解析由y ＝ln x ＋x 得y ′＝1x＋1，设点(x 1，ln x 1＋x 1)是曲线C 1上任一点，∴曲线C 1在点(x 1，ln x 1＋x 1)处的切线方程为y －(ln x 1ln x 1－1．同理可得曲线C 2在点(x 2，x 22)题意知两切线重合，1＝2x 2，x 1－1＝－x 22，消去x 22x ＋4ln x －3(x >0)，则f ′(x )＝－2x 3－2x 2＋4x ＝4x 2－2x －2x 3＝当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴f (x )只有一个零点．即方程①只有一个解，故曲线C 1与C 2只有1条公切线．(4)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝．答案8解析方法一因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2．所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1．因为y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由＝2x －1，＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0．由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8．方法二同方法一得切线方程为y ＝2x －1．设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．因为y ′＝2ax ＋(a ＋2)，所以0|x x y ＝＝2ax 0＋(a ＋2)．由ax0＋(a ＋2)＝2，20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，0＝－12，＝8.(5)(2016·课标全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x 的切线，则b ＝________．答案0或1解析设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，与曲线y ＝e x 的切点为(x 2，y 2)，y ＝ln x ＋2的导数为y ′＝1x ，y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，可得k ＝e x 2＝1x 1．又由k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝e x 2－ln x 1－2x 2－x 1，消去x 2，可得(1＋ln x 1)·(x 1－1)＝0，则x 1＝1e 或x 1＝1，则直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2(1,2)，与曲线y ＝e x 的切点为(1，e)或(0，1)，所以k ＝e －11－1e＝e 或k ＝1－20－1＝1，则切线方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1，可得b ＝0或1．a4ln x0有解，令φ(x)＝1x2＋2x＋1＋4ln x(x>0)，φ′(x)＝－2x3－2x2＋4x＝4x－2x－2x3＝2(2x＋1)(x－1)x3，当x∈(0，1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故φ(x)的值域为[4，＋∞)，所以4a≥4，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．【对点训练】1．若直线l与曲线y＝e x及y＝－14x2都相切，则直线l的方程为________．1．答案y＝x＋1解析设直线l与曲线y＝e x的切点为(x0，0x e)，直线l与曲线y＝－14x2的切点为1y＝e x在点(x0，0x e)处的切线的斜率为y′|x＝x0＝0x e，y＝－x24在点1y′|x＝x1x＝x1＝－x12，则直线l的方程可表示为y＝0x e x－x0e0x e＋0x e或y＝－12x1x＋14x21＝－x12，x0＋＝x214，所以0x e＝1－x0，解得x0＝0，所以直线l的方程为y＝x＋1．2．已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝e xa的图象相切，则实数a等于()A．e B．e e2C．e2D．e e 2．答案B解析由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，则f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．设y＝2x－1与函数g(x)＝e xa的图象相切于点(x 0，y 0)，由g ′(x )＝e x a ，可得00000e 2,e 21,x x g x a g x x a ⎧()==⎪⎪⎨⎪()===-⎪⎩′解得x 0＝32，a ＝321e 2＝e e 2．3．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为()A ．14B ．12C ．1D ．43．答案A解析由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)－12＝a14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．4．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于()A ．1B ．2C ．3D ．3或－14．答案D解析设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1，0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切，故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3．5．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．5．答案1－ln 2解析y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x＋1)的切线为y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)．＝1x 2＋1，1＋1＝ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln2．6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________．6．答案－2解析∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1．又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1．g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，∴m ＝－2．7．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为()A ．2B ．5C ．1D ．07．答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1．8．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝e xe2的切线，也是曲线y ＝e x －1的切线，则k ＋b 等于()A ．－ln 22B ．1－ln 22C ．ln 2－12D ．ln 228．答案D解析设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝e x e 2相切于点P (x 1，y 1)，y ′＝e x e2＝e x －2，k 1＝12e x -；直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝e x －1相切于点Q (x 2，y 2)，y ′＝e x ，k 2＝2e x ，∴l 1：y ＝1112221e e e x x x x x ---+-，l 2：y ＝2222e e 1e x x x x x +--，12112222212e e e e e e 1x xx x x x x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩---，∴---，∴x 2＝－ln 2，∴k ＋b ＝2222e e 1e x x x x +--＝12＋12－1－(－ln 2)×12＝ln 22．9．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．9．答案(1，1)解析y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1．设P (m ，n )，y ＝1x(x＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．10．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为．10．答案－e34-解析由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ．∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax ．设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，又∵g ′(x )＝－1x ，ln x 0－14＝ax 0，①＝－1x 0，②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e 34-．11．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．211．答案B 解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1111e e e x x xx x -+，曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由＝1x 2，－1x 1＝－1＋ln x 2，得x 2＝11e x ，111e e x x x -＝－1＋ln x 2＝－1＋1ln 1e x ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1．又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2．12．曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝a e x (a >0)存在公切线，则a 的取值范围是________．12．答案，4e 2解析设公切线在y ＝x 2上的切点为(x 1，x 21)，在y ＝a e x(a >0)上的切点为(x 2，2e x a )．函数y ＝x 2，y ＝a e x (a >0)的导数分别为y ′＝2x ，y ′＝a e x ，则公切线的斜率为2x 1＝222112e e x x x a a x x =--，整理得a ＝2241e x x ()-．由a >0可知，x 2>1，令f (x )＝4x －1e x，x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＝4e x2－x e x 2＝8－4xe x，f ′(x )>0⇒1<x <2；f ′(x )<0⇒x >2，∴f (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，f (x )max ＝f (2)＝4e 2；当x →＋∞时，f (x )→0，即0<f (x )≤4e2，∴a ，4e 2．13．若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．13．解析易知点O (0，0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0，0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x ＝2x ，＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1．(2)当O (0，0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①，又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②，联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x ＝－14x ，＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164．综上，a ＝1或a ＝164．14．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0．(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．14．解析(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2．(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1．当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9．由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2．在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9．②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1．在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x －10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9．综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0．。
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1
D．(1,2)
3、已知全集 = ， = { | > 1}， = { | > 1}，那么(∁ ) ∩ 等于（ ）
A．{ | − 1 < ≤ 1} B．{ | − 1 < < 1} C．{ | < −1} D．{ | ≤ −1}
4、已知全集 = ， = { | > 1}，则 =（ ）
A．{ | ≤ 1}
（4）Venn 图法
5、常见数集的记法
集合 自然数集
符号
N
6、集合的分类
正整数集
*
N (或 N＋)
整数集 有理数集 实数集 复数集
Z
Q
R
C
（1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集 ：不含任何元素
的集合
7、若一个集合含有 n 个元素，则子集个数为 2n 个，真子集个数为 2n 1
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
考向一 点集
【例 1】（1）已知集合 A 0,1, 4, B {y | y x2, x A} ，则 A B A．0,1,16 B．0,1 C．1,16 D．0,1, 4,16 （2）设全集U 1,3,5, 6,9 ， A 3, 6,9 ，则图中阴影部分表示的集合是
（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.
（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上.
（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.
它的一般格式为 {x | P(x)} ，“|”前是集合 元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性.
A.(1,2)
B.[0,2]
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第3章 §3
f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x－lnexx－1， 令 φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)， φ′(x)＝－x12－1x<0， φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
教师备选
讨论下列函数的单调性. (1)f(x)＝x－aln x；
f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－ax＝x－x a， 令f′(x)＝0，得x＝a， ①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0， x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝1 ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单 2
调性.
函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1 ＝ax－1xx－1. 令 f′(x)＝0，得 x＝1a或 x＝1. ①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0；
③当a<ln 2时， x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0， x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减. 综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在 (ln 2，a)上单调递减； 当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增； 当a<ln 2时，g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2) 上单调递减.
高三数学第一轮复习
高三数学第一轮复习各个科目都有自己的读书教书方法，但其实即便是万变不离其中虽说的，基本离不开背、记，运用，数学作为科目最烧脑的选修科目之一，也是一样的。
下面是给大家整理的一些高三计算机科学数学第一轮复习的学习资料，希望对大家有所鼓励。
高考数学第一轮各种题型应对方法一，第二场复习的目标第一轮和是对高中所学的数学知识进行全面的梳理复习复习，即系统地整理知识，优化知识结构。
其指导思想是全面、扎实、系统、灵活。
全面———即全面覆盖;扎实———抓好单元知识的表述、巩固、深化;系统———注意医学知识的前后联系，有机结合，完整性、系统性，使学生初步建立明晰的知识网络;灵活———增强小综合训练，克服单向性、定向性，初步培养系统分析运用知识、灵活解题的能力。
复习的直接目标是解决高考中的基础题，数论其根本目的是为数学素质的提高作物质准备。
首要在这一阶段主要抓好对基本概念准确记忆和实质性的理解，抓基本方法、科学知识的熟练应用，抓公式和定理的正用、逆用、变用、巧用，抓基本题型的训练和熟化。
二.第一轮环境污染复习中需要注意的几个环境问题首先，教师认真专研高考考试标准，明确“考什么，怎么考，考多难”，考试标准上对于高考所要考查的数学思想，数学方法，数学能力，做题题型比例和作业量都有明确的说明，甚至对题目的能力其要求，做题目用多少时间都有说明。
教师只有熟悉考试标准，复习中才能做到胸有成竹，得心应手。
其次，教师要钟爱和研究近几年学术研究新高考试题，掌握高个别谈话的结构与特征，明确哪些内容在近几年的考题中已经出现，那些还从未涉及过，哪些知识点常考常旧有，逐一排查找出知识的重点、难点、疑点，做到心中有数，有的放矢。
充分利用图像、表格、框图，使学生在头脑中构建知识网络，使之变成清晰的几条线，而不是模糊的一风和日丽。
对概念、定义、公式、定理要让学生深刻理解，牢固记忆，融会贯通，熟练提取，力求做到提起一根线带起一大遍。
第三，教师在复习教学中要以提高学生解题能力为核心，注重对数学思想，数学方法，考试常识和艺术的渗透。
2023届高考数学一轮复习讲义：第1讲 集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集 集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合 相等集合A ，B 中元素相同A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝A ∩B ＝∁U A ＝➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2D ．[]1,22．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．24．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1]5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,95．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5B ．6C ．10D ．152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75 D ．最多人数是80[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．[2021·四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．2103．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ，N 都是非空集合U 的子集，令集合S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}，下列说法正确的是( )A ．若S ＝N ，则M ＝∅B ．若S ＝∅，则M ＝NC ．若S ⊆M ，则M ⊆ND ．∃M ，N ，使得S ＝(∁U M )∪(∁U N )4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．235．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .第1讲 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合 相等集合A ，B 中元素相同 A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝ {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B ＝ {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝ {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1.故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉，所以()()2220a a --≥，解得12a ≤≤．故选：D ．2．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：选BD.因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】当2x =±时，y ＝1；当1x =±时，y ＝0；当x ＝3时，2log 3y =．故集合B 共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 求解一元二次方程，得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，易知B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集，因为()U M N ⊆，所以M N ⋂=∅．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)【解析】 (1)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A.(2)由x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，所以N ＝{x |－2≤x ≤4}，则M ∪N ＝{x |－3≤x ≤4}，A 错误；M ∩N ＝{x |－2≤x <4}，B 正确；由于∁U M ＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C 正确；由于∁U N ＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M ∩(∁U N )＝[－3，－2)，D 错误．故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-，所以{}2,1,0B =--，而{3,2,1,0,1}A =---， 所以A B ={2,1,0}--，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]解析：选C 因为A ∩B ≠∅，所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3，故选C. 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示()R A B ⋂，由214480x x -+≤，得68x ≤≤， 所以{}68B x x =≤≤，所以{R 6B x x =<或}8x >，因为{}1,3,5,6,7,8,9A =， 所以(){}R1,3,5,9AB =，故选：B5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．15【答案】A 【解析】解：由题意，集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==；{}{}121,4,2,3,5,6A A ==；{}{}123,4,1,2,5,6A A ==；{}{}124,5,1,2,3,6A A ==；{}{}124,6,1,2,3,5A A ==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例： 对于解析式y ＝x ＋1，因为A 0＝{x |0<x <1}，所以A 1＝{x |1<x <2}， A 2＝{x |2<x <3}，…，显然符合A n ∩A n －1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y ＝x ＋1. (2)对于①，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |x >1}，A 2＝{x |0<x <1}，…， 依次循环下去，符合A n ∩A n －1＝∅.对于②，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |1<x <2}，A 2＝{x |2<x <5}，A 3＝{x |5<x <26}，…，根据函数y ＝x 2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n ∩A n －1＝∅.对于③，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |2<x <3}，A 2＝{x |1<x <2}，A 3＝{x |1<x <2}， 不符合A n ∩A n －1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y ＝x ＋1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75D ．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知，x ＋card(A )＋card(B )－y ＝100.∴x ＋75＋80－y ＝100，∴y ＝55＋x .∵0≤x ≤20，∴55≤y ≤75，故最少人数是55. [举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，中元素的个数为则A BA．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，B k，k∈N*.记b i为集合B i(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋b k＝()A．45 B．105C．150 D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合B i(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋b k＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图．用Venn 图表示，集合S 为如图1中的阴影部分，对于A 选项，若S ＝N ，利用S 的Venn 图观察，则有M ∩N ＝∅，M ＝∅，故A 选项正确；对于B 选项，若S ＝∅，则M ＝N ，故B 选项正确；对于C 选项，反例：如图集合S 为如图2中的阴影部分，N ⊆M ，故C 选项错误；对于D 选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{4}，S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}＝{1,2,3,4}＝U ，而(∁U M )∪(∁U N )＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S ，故D 选项正确，故选ABD.图1 图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．23解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A ，B ，C 三个集合，故选D.5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________． 解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．。
广东专用2023版高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用综合突破一导数的综合问题第2课时导数
【点拨】 根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在 的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化 为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
(2021 重庆南开中学高三月考)已知函数 f(x)＝ax2＋x－lnx(a∈R).
第2课时 导数与函数零点
考点一 讨论零点个数
(2021 湖北高二期末)已知函数 f(x)＝x－ex＋a，讨论函数 f(x)零点的个数.
解：f′(x)＝1－ex. 当 x<0 时，f′(x)>0；当 x>0 时，f′(x)<0， 所以函数 f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以， 当 x＝0 时，f(x)有最大值 f(0)＝a－1. 当 a<1 时，f(0)＝a－1<0，函数 f(x)无零点； 当 a＝1 时，f(0)＝a－1＝0，函数 f(x)有 1 个零点； 当 a>1 时，f(0)＝a－1>0，f(－a)＝－e－a<0，
所以 f(1)＝－e<0 是 f(x)的极小值，也是最小值，f(2)＝a>0， 取 b<0 且 b<lna2，则 f(b)＝(b－2)eb＋a(b－1)2>a2(b－2)＋a(b－1)2＝a2b(2b－3)>0， 所以 f(x)在(b，1)和(1，2)上各有一个零点； ②a＝0 时，f(x)＝(x－2)ex，只有一个零点 x＝2. 综上，a>0 时，f(x)有两个零点；a＝0 时，f(x)有一个零点.
考点三 与零点有关的不等式问题
命题角度 1 比值代换 (2020 四川南充模拟)已知函数 f(x)＝lnx＋mx －s(s，m∈R).
高考数学一轮复习知识点(精选5篇)
高考数学一轮复习知识点(精选5篇)高考数学一轮复习知识点篇11、基础不牢，地动山摇。
数学想考高分，基础是最重要的，这也是很多学生数学成绩一直不好的核心原因，牢记基本公式和基本定理，根据课本目录，能熟练回忆出课本上所有知识点，真正打牢基础，你才有学好数学的可能。
2、从基础题由浅入深进行练习。
不少人对数学学习彻底失去了信心，甚至感觉自己就不是学习数学的料，其实都是平时不会选题，基础差还总爱做难题，最后被打击的自信心全无。
正确的做法是从最基础的题目开始做，先完成老师布置的作业，然后再每天给自己准备一定数量的题目，题目的选择应该从浅入深，基础不好就先做简单的题目，一点一点加深难度。
3、不要怕问。
数学想考满分，你的知识体系必须非常完美，知识没有任何漏洞才行。
遇到问题千万不要放弃，一定要多问多想，遇到不会的难题，不要硬靠自己，要敢于走出去找老师解答，在这个过程中，你可以体会老师的解题方法和老师的解题思想，更有效地利用做题时间。
4、错题本必须要有。
有人经常说，数学学霸们的学习方法并不适合所有人，但错题本学习法确实是人人都应该掌握的一个高效学习法。
如果不想错题一错再错，错题本是必须要有的。
最重要的是经常出错的题要多看，也可以的错题进行归类，不然你整理再多错题作用也不大。
高考数学一轮复习知识点篇2越是容易的题要越小心，因为这样的题很可能有陷阱。
出现怪异的答案的题要小心，因为很有可能计算错误。
任何带有数字的题要多问一下自己，有没有遗漏答案，如出现2的答案，就要考虑-2有没有可能也是答案。
最后一道填空题很有可能是难题，如果不能马上解出，应迅速放在一边进行下面答题，毕竟这道题再难也分数也有限，不应恋战。
高考数学一轮复习知识点篇3三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础。
是高考数学必考题型。
高考对其的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。
近几年来，高考关于数列方面的命题有以下三个方面。
高考数学一轮复习概率与统计的综合问题
(2)由题意得 X 的可能取值为 0,1,2，
P(X＝0)＝12×32×21＝16，P(X＝2)＝21×32×12＋12×13×13＝29，P(X＝1) ＝1－61－92＝1118，
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
1 11 2 6 18 9
所以 E(X)＝0×16＋1×1118＋2×29＝1198.
[方法技巧] 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何 分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答 此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事 件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．
[针对训练] (2023·聊城模拟)某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健 康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高．
x2i －6 x 2
i＝1
3.92－(－0.26)×3.5＝4.83.
所以^z＝ln ^y＝－0.26x＋4.83，即 y 关于 x 的经验回归方程为 y＝e－ 0.26x＋4.83.
令 e－0.26x＋4.83<10＝eln 10≈e2.3，所以－0.26x＋4.83<2.3，解得 x>9.73. 由于 x∈N ，所以 x≥10，所以从第十个月开始，该年级体重超重的 人数降至 10 人以下．
[针对训练] 已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场 分析，X1和X2的分布列如下：
X1
5%
10%
P
0.6
0.4
X2
2% 8% 12%
P
0.1
0.5
0.4
(1)在 A，B 两个项目上各投资 200 万元，Y1 和 Y2(单位：万元)分别 为投资项目 A 和 B 所获得的利润，求 D(Y1)和 D(Y2)；
高考数学一轮复习考点知识专题讲解1---集合
高考数学一轮复习考点知识专题讲解集合考点要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B ，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B} A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B} A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A} ∁U A常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．(×) (2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(×) (3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.(×) (4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )．(√) 教材改编题1．若集合A ＝{x ∈N |2x ＋10>3x }，则下列结论正确的是() A ．22∈A B ．8⊆A C ．{4}∈A D ．{0}⊆A 答案D2．已知集合M ＝{a ＋1，－2}，N ＝{b,2}，若M ＝N ，则a ＋b ＝________. 答案－1解析∵M ＝N ，∴⎩⎨⎧a ＋1＝2，b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－1.3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∩B ＝____________，A ∪(∁UB )＝____________.答案{x |2≤x ≤3}{x |－2<x ≤3}解析∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≤－2或x ≥2}， ∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |－2<x ≤3}.题型一 集合的含义与表示例1(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为() A ．2B ．3C ．4D ．6 答案C解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．(2)若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案0或1解析①当a －3＝－3时，a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}， ②当2a －1＝－3时，a ＝－1， 此时A ＝{－4，－3，－3}舍去，③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}， 综上，a ＝0或1. 教师备选若集合A ＝{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k 的取值集合是________．答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 解析依题意知，方程kx 2＋x ＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k ＝0或⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝1－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝14，∴k的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14.思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 跟踪训练1(1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪4x －2∈Z ，则集合A 中的元素个数为() A ．3B ．4 C ．5D ．6 答案C 解析∵4x －2∈Z ， ∴x －2的取值有－4，－2，－1,1,2,4， ∴x 的值分别为－2,0,1,3,4,6， 又x ∈N ，故x 的值为0,1,3,4,6. 故集合A 中有5个元素． (2)已知a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则a 2023＋b 2023＝________.答案0解析∵{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b 且a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ， ∴{1,0，－b }＝{0，－1，b }， ∴b ＝1，a ＝－1，∴a 2023＋b 2023＝0.题型二 集合间的基本关系例2(1)设集合P ＝{y |y ＝x 2＋1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是() A ．M ＝P B ．P ∈M C ．M P D ．P M答案D解析因为P ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，因此PM .(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． 答案[－1，＋∞) 解析∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2；②当B ≠∅时，⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 延伸探究在本例(2)中，若把B ⊆A 改为B A ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，∴m >2； ②当B ≠∅时，⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1<4或⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1>－3，m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 教师备选已知M ，N 均为R 的子集，若N ∪(∁R M )＝N ，则() A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ⊆∁R N D ．∁R N ⊆M 答案D解析由题意知，∁R M ⊆N ，其Venn 图如图所示，∴只有∁R N ⊆M 正确．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－6x <0}，则满足A C ⊆B 的集合C 的个数为() A ．4B ．6 C ．7D ．8 答案C解析∵A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}， 且A C ⊆B ，∴集合C 的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为________． 答案0，±1解析∵M ＝{－1,1}，且M ∩N ＝N ， ∴N ⊆M .若N ＝∅，则a ＝0； 若N ≠∅，则N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a ， ∴1a ＝1或1a＝－1，∴a ＝±1综上有a ＝±1或a ＝0. 题型三 集合的基本运算 命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2}，集合N ＝{3,4}，则∁U (M ∪N )等于() A ．{5}B ．{1,2} C ．{3,4}D ．{1,2,3,4} 答案A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．(2)集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<x<5}，则集合(∁R A)∩B＝________.答案{x|1<x≤4}解析A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，A＝{x|－1≤x≤4}，∴∁RA)∩B＝{x|1<x≤4}．∴(∁R命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由题意得，B＝{x|logx<1}＝{x|0<x<2}，2∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，∵A∩B＝∅，∴a－1>3或a＋1<－2，即a>4或a<－3.教师备选(2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁R B)≠∅，则实数a的取值范围是()A．1≤a≤2B．1<a<2C．a≤1或a≥2D．a<1或a>2答案D解析A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，B＝{x|a－1<x<a＋1}；所以∁R又A∩(∁R B)≠∅，所以a－1<0或a＋1>3，解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2.思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 跟踪训练3(1)(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N 等于() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5} 答案B解析因为M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4. (2)(2022·南通模拟)设集合A ＝{1，a ＋6，a 2}，B ＝{2a ＋1，a ＋b }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝________，b ＝________. 答案22解析由题意知，4∈A ，所以a ＋6＝4或a 2＝4， 当a ＋6＝4时，则a ＝－2，得A ＝{1,4,4}， 故应舍去；当a 2＝4时，则a ＝2或a ＝－2(舍去)， 当a ＝2时，A ＝{1,4,8}，B ＝{5,2＋b }， 又4∈B ，所以2＋b ＝4，得b ＝2.所以a＝2，b＝2.题型四集合的新定义问题例5(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为()1A．15B．16C．20D．21答案D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，12＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.(2)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的1不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A 1＝{1,2,3}时，A 2可为A 1的子集，共8种， 故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆． 教师备选非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x，x ∈[1，4]，其中是“互倒集”的序号是________． 答案②③解析①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意； ②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}， 即{x |3－22≤x ≤3＋22}， 显然0∉A ， 又13＋22≤1x ≤13－22， 即3－22≤1x≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意；③中，⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x ，x ∈[1，4]， 易得⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12≤y ≤2，0∉A ， 又12≤1y≤2，故1y也在集合A中，符合题意．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝____________.答案{x|－3≤x<0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}．∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}．课时精练1．(2022·天津模拟)设全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{5}B．{0,5}C．{0,3,4,5}D．{－5，－4，－3，－2，－1,0,5}答案B解析∵集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，∵U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＋3>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|x＋3>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁U B＝(－∞，2)，∴A∩(∁U B)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为()A．2B．3C．8D．9答案B解析由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3. 4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a＋a2＋a3等于()1A．1B．2C．3D．6答案C解析集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a}，3则所有非空真子集的元素之和为a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3.5．已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是() ①P ∪Q ＝R ；②P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}；③P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}； ④P ∩Q 的真子集有3个． A ．①②④B．②③④ C ．②④D．③④ 答案C解析联立⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}， 故②正确，③错误； 又P ，Q 为点集，∴①错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集， ∴④正确．6．已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A ．a <－2B ．a ≤－2C ．a >－4D ．a ≤－4 答案D解析集合A ＝{x |－2≤x ≤2}， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2，由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图．可知－a2≥2，即a ≤－4.7．(2022·重庆模拟)已知全集U ＝{x ∈N |log 2x <3}，A ＝{1,2,3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B 不可能为() A ．{3,6}B ．{3,4,5} C ．{2,3,6}D ．{3,5,6} 答案C解析由log 2x <3得0<x <23，即0<x <8， 于是得全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}， 因为∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}， 则有A ∩B ＝{3},3∈B ； 对于A 选项，若B ＝{3,6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，A 可能； 对于B 选项，若B ＝{3,4,5}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，B 可能； 对于C 选项，若B ＝{2,3,6}，则A ∩B ＝{2,3}， 所以∁U (A ∩B )＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C 不可能； 对于D 选项，若B ＝{3,5,6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，D 可能．8．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的个数是()①A∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(∁U B)∪A＝A.A．1B．2C．3D．4答案B解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故①②均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知(∁U A)⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由(∁U A)⊆B，知(∁U B)⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故③④均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，所以m＝－3.10．(2022·宁夏模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为________．答案{－1,2,3}解析集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，Venn图中阴影部分表示的集合是M∩(∁R N)＝{－1,2,3}．11．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________.答案{－5，－2,4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，综上，有A∪B＝{－5，－2,4}．12．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(∁R B)∪A＝R，则实数a的取值范围是____________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，B＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∁RB)∪A＝R，∴a≥2.∵(∁R13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B 都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___人．答案18解析赞成A的人数为40×35＝24，赞成B的人数为24＋3＝27，设对A，B都赞成的学生有x人，则13x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.15．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．32D ．256答案A解析由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15. 16．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是______________．答案⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92 解析当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}，符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92， 所以B ≠∅时，1<a ≤92， 综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92.。
高考数学一轮复习第3章一元函数的导数及其应用1导数的概念意义及运算课件新人教版
导函数
f'(x)=0
f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a
f'(x)=ex
1
f'(x)=
ln
1
f'(x)=
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义.
1
,y=
x
4.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3, y=
x 的导数.
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单
函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
6.会使用导数公式表.
备考指导
导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本.复
由 f'(x)= 2 ,得 f'(2)=
.
4
.
4.函数y=sin 3x的导函数是 y'=3cos 3x .
设y=sin u,u=3x,则yx'=yu'·
ux'=(sin u)'·
(3x)'=cos u·
3=3cos 3x.
5.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
y=3x
.
由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,得k=y'|x=0=3.
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第3章 §3
当x∈(1，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围.
由题意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立， 即x22－mln x≥0 恒成立， ∴x22≥mln x. 当 x＝1 时，x22≥mln x 恒成立， 当 x>1 时，2lxn2 x≥m； 当 0<x<1 时，2lxn2 x≤m.
当a≤0时，a(x2－1)－ln x<0，满足题意； 当 a≥12时，令 g(x)＝a(x2－1)－ln x(x>1)， g′(x)＝2axx2－1>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则 g(x)>g(1)＝0，不 符合题意，
当
0<a<12时，由
g′(x)>0，得
x∈
12a，＋∞，
由 g′(x)<0，得 x∈1，
则f(x)在[2，＋∞)上单调递增， f(x)≥f(2)＝0成立. ②当0<a≤e2时，f′(x)≥0， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(2)＝0成立. ③当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)<0； 在区间(ln a，＋∞)上，f′(x)>0， 所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)≥0 不恒成立，不符合题意.综上所述，a的取值范围是(－∞，e2].
12a，
于是有 g(x)在1，
12a上单调递减，在
12a，＋∞Βιβλιοθήκη 单调递增，g(x)min＝g
12a<g(1)＝0，
则当 0<a<12时，∃x∈(1，＋∞)，g(x)<0，
数列新定义问题 (解析版)--2025年新高考数学一轮复习
数列新定义问题1(2024·甘肃定西·一模)在n个数码1,2,⋯,n n∈N,n≥2构成的一个排列j1j2⋯j n中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如j2>j5，则j2与j5构成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为T j1j2⋯j n，例如，T312=2，(1)计算T(51243)；(2)设数列a n满足a n+1=a n⋅T51243-T3412,a1=2，求a n的通项公式；(3)设排列j1j2⋯j n n∈N,n≥2满足j i=n+1-i i=1,2,⋯,n,b n=T j1j2⋯j n,S n=1b2+1b3+⋯+1b n+1，求S n，【答案】(1)5(2)a n=5n-1+1(3)S n=2nn+1【分析】(1)利用逆序数的定义，依次分析排列51243中的逆序个数，从而得解；(2)利用逆序数的定义得到a n+1=5a n-4，从而利用构造法推得a n-1是等比数列，从而得解；(3)利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到b n，再利用裂项相消法即可得解.【详解】(1)在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以T(51243)=4+0+0+1+0=5.(2)由(1)中的方法，同理可得T(3412)=4，又T(51243)=5，所以a n+1=5a n-4，设a n+1+λ=5a n+λ，得a n+1=5a n+4λ，所以4λ=-4，解得λ=-1，则a n+1-1=5a n-1，因为a1-1=1≠0，所以数列a n-1是首项为1，公比为5的等比数列，所以a n-1=5n-1，则a n=5n-1+1.(3)因为j i=n+1-i(i=1,2,⋯,n)，所以b n=T j1j2⋯j n=n-1+n-2+⋯+1+0=n-1n2，所以1b n+1=2(n+1)n=21n-1n+1，所以S n=21-12+12-13+⋯+1n-1n+1=21-1n+1=2n n+1.2(2024高三下·全国·专题练习)若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1)已知数列{a n}为4，3，1，2，数列{b n}为1，2，6，24，分别判断{a n},{b n}是否为“等比源数列”，并说明理由；(2)已知数列{c n}的通项公式为c n=2n-1+1，判断{c n}是否为“等比源数列”，并说明理由；【答案】(1){a n}是“等比源数列”，{b n}不是“等比源数列”，理由见解析(2){c n}不是“等比源数列”，理由见解析【分析】(1)根据等比中项，结合列举法即可求解，(2)假设是“等比源数列”得c2n=c m c k，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解.【详解】(1){a n }是“等比源数列”，{b n }不是“等比源数列”．{a n }中“1，2，4”构成等比数列，所以{a n }是“等比源数列”；{b n }中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列，所以{b n }不是“等比源数列”．(2){c n }不是“等比源数列”．假设{c n }是“等比源数列”，因为{c n }是单调递增数列，即{c n }中存在的c m ，c n ，c k (m <n <k )三项成等比数列，也就是c 2n =c m c k ，即(2n -1+1)2=(2m -1+1)(2k -1+1)，22n -2+2n =2m +k -2+2m -1+2k -1，两边时除以2m -1得22n -m -1+2n -m +1=2k -1+1+2k -m ，等式左边22n -m -1+2n -m +1为偶数，等式右边2k -1+1+2k -m 为奇数．所以数列{c n }中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得{c n }不是“等比源数列”．3(23-24高二下·吉林四平·阶段练习)在数列a n 中，若存在常数t ，使得a n +1=a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +t (n ∈N *)恒成立，则称数列a n 为“H t 数列”．(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“H 1 数列”；(2)若c n =1+1n，试判断数列c n 是否为“H t 数列”，请说明理由；(3)若数列a n 为“H t 数列”，且a 1=2，数列b n 为等比数列，满足∑ni =1a 2i =a n +1+log 2b n -t 求数列b n 的通项公式和t 的值．【答案】(1)是(2)不是，理由见解析(3)b n =2n +1，t =-1【分析】(1)根据H t 数列的定义判断(2)根据已知条件求出c n +1-c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n 即可判断；(3)根据数列a n 为“H t 数列”，化∑i =1n a 2i =a n +1+log 2b n -t 为∑i =1na 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n ，进而求得∑i =1n +1a 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n a n +1+log 2b n +1，作差有a 2n +1=a n +1-1 a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n +1b n，根据已知条件化为t +1 a n +1-t +log 2q =0，解得t =-1q =2，由此求出b 1=4，即可求出数列b n 的通项公式.【详解】(1)由题意可得2=1+1，3=1×2+1，7=1×2×3+1，43=2×3×7+1，所以1，2，3，7，43是“H 1 数列”；(2)数列c n 不是“H t 数列”，理由如下：c n =1+1n =n +1n (n ∈N *)，则c n +1=n +2n +1(n ∈N *)，又c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n =21⋅32⋅43⋅⋅⋅n +1n=n +1(n ∈N *)，所以c n +1-c 1c 2c 3⋅⋅⋅c n =n +2n +1-n +1 =1n +1-n (n ∈N *)，因为1n +1-n 不是常数，所以数列c n 不是“H t 数列”．(3)因为数列a n 为“H t 数列”，由∑i =1na 2i =a n +1+log 2b n -t (n ∈N *)，有∑i =1na 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n (n ∈N *)①，所以∑i =1n +1a 2i =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n a n +1+log 2b n +1(n ∈N *)②，两式作差得a 2n +1=a n +1-1 a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n +log 2b n +1b n(n ∈N *)，又因为数列a n 为“H t 数列”，所以a n +1-t =a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n (n ∈N *)，设数列b n 的公比为q ，所以a 2n +1=a n +1-1 a n +1-t +log 2q (n ∈N *)，即t +1 a n +1-t +log 2q =0对∀n ∈N *成立，则t +1=0t +log 2q =0⇒t =-1q =2，又a 1=2，a 21=a 1+log 2b 1，得b 1=4，所以b n =4×2n -1=2n +1，t =-1．4(23-24高二下·四川南充·阶段练习)给定数列a n ，称a n +1-a n 为a n 的差数列(或一阶差数列)，称数列a n +1-a n 的差数列为a n 的二阶差数列，若a n =3n .(1)设a n 的二阶差数列为b n ，求b n 的通项公式.(2)在(1)的条件下，设c n =log 3b n 4+b n ，求c n 的前n 项和为T n 【答案】(1)b n =4⋅3n (2)T n =2⋅3n +1+n 22+n2-6【分析】(1)借助定义计算即可得；(2)借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.【详解】(1)a n +1-a n =3n +1-3n =2⋅3n ，则b n =2⋅3n +1-2⋅3n =4⋅3n ；(2)c n =log 3b n 4+b n =log 34⋅3n 4+4⋅3n =n +4⋅3n ，则T n =121-3n1-3+n n +1 2=2⋅3n +1+n 22+n 2-6.5(2024·安徽池州·模拟预测)定义：若对∀k ∈N *,k ≥2,a k -1+a k +1≤2a k 恒成立，则称数列a n 为“上凸数列”．(1)若a n =n 2-1，判断a n 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若a n 为“上凸数列”，则当m ≥n +2m ,n ∈N * 时，a m +a n ≤a m -1+a n +1．(ⅰ)若数列S n 为a n 的前n 项和，证明：S n ≥n2a 1+a n ；(ⅱ)对于任意正整数序列x 1,x 2,x 3,⋯,x i ,⋯,x n (n 为常数且n ≥2,n ∈N *)，若ni =1x 2i-1 ≥ni =1x i-λ 2-1恒成立，求λ的最小值．【答案】(1)是，证明见解析(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)n -1【分析】(1)构造函数f x =(x +1)2-1-x 2-1,x ≥1，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；(2)(ⅰ)利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令a n =n 2-1，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.【详解】(1)a n 是“上凸数列”，理由如下：因为a n =n 2-1,a n +1-a n =(n +1)2-1-n 2-1，令f x =(x +1)2-1-x 2-1,x ≥1，则fx =x +1(x +1)2-1-xx 2-1=(x +1)3x -1 -x 3x +2(x +1)2-1⋅x 2-1．当x ≥1时，(x +1)3x -1 -x 3x +2 =-2x -1<0，所以(x +1)3x -1 <x 3x +2 ，所以f x <0,f x 在区间1,+∞ 上单调递减，所以f n >f n +1 ,a n +1-a n >a n +2-a n +1，所以a n +2+a n ≤2a n +1，所以a n 是“上凸数列”．(2)(ⅰ)证明：因为a n 是“上凸数列”，由题意可得对任意1≤i ≤n i ∈N * ，a i +a n -i +1≥a i -1+a n -i +2≥a i -2+a n -i +3⋅⋅⋅≥a 2+a n -1≥a 1+a n ，所以2S n =a 1+a n +a 2+a n -1 +⋅⋅⋅+a n -1+a 2 +a n +a 1 ≥n a 1+a n ，所以S n ≥n2a 1+a n ．(ⅱ)解：令a n =n 2-1，由(1)可得当a n =n 2-1时，a n 是“上凸数列”，由题意可知，当m ≥n +2m ,n ∈N * 时，a m +a n ≤a m -1+a n +1．因为ni =1x 2i -1 =x 21-1+x 22-1+x 23-1+⋅⋅⋅+x 2n -1，即∑ni =1x 2i -1=x 21-1+x 22-1+x 23-1+⋅⋅⋅+∑ni =1x i -x 1-x 2-⋯-x n -1 2-1．所以∑n i =1x 2i -1≥x 1-x 1+12-1+x 22-1+⋅⋅⋅+∑n i =1x i-x 1-x 2-⋅⋅⋅-xn -1+x 1-1 2-1≥12-1+x 2-x 2+12+⋯+∑ni =1x i-1-x 2-⋅⋅⋅-xn -1+x 2-1 2-1⋯≥0+0+0+⋯+∑ni =1x i -n +1 2-1≥∑ni =1x i -λ 2-1，当且仅当x 1=x 2=⋅⋅⋅=x n -1时等号成立，所以λ≥n -1．综上所述，λ的最小值为n -1．6(2024·江西南昌·一模)对于各项均不为零的数列c n ，我们定义：数列c n +kc n为数列c n 的“k -比分数列”.已知数列a n ,b n 满足a 1=b 1=1，且a n 的“1-比分数列”与b n 的“2-比分数列”是同一个数列.(1)若b n 是公比为2的等比数列，求数列a n 的前n 项和S n ；(2)若b n 是公差为2的等差数列，求a n .【答案】(1)S n =13×4n -1 ；(2)a n =13×4n 2-1 .【分析】(1)利用已知求出通项公式，再求前n 项和即可.(2)利用累乘法求通项公式即可.【详解】(1)由题意知an +1a n =b n +2b n，因为b 1=1，且b n 是公比为2的等比数列，所以a n +1a n=4，因为a 1=1，所以数列a n 首项为1，公比为4的等比数列，所以S n =1×1-4n 1-4=13×4n -1 ；(2)因为b 1=1，且b n 是公差为2的等差数列，所以b n =2n -1，所以a n +1a n =b n +2b n=2n +32n -1，所以a n a n -1=2n +12n -3,a n -1a n -2=2n -12n -5,⋯⋯,a 2a 1=51，所以a n a 1=2n +1 2n -1 3×1，因为a 1=1，所以a n =13×4n 2-1 .7(2024·黑龙江·二模)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G 型数列”．(1)若数列a n 满足2a n =S n +1，判断a n 是否为“G 型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列a n 为“G 型数列”，a 1=1，数列b n 满足b n =a n +2，n ∈N *，b n 是等比数列，公比为正整数，且不是“G 型数列”，求数列a n 的通项公式．【答案】(1)不是“G 型数列”，理由见解析；(2)a n =3n -2【分析】(1)计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；(2)利用a n 为“G 型数列”和b n 是等比数列，且不是“G 型数列”可求得b n 的公比为3，即可求出数列a n 的通项公式为a n =3n-2.【详解】(1)易知当n =1时，可得2a 1=S 1+1=a 1+1，即a 1=1；而当n =2时，2a 2=S 2+1=a 1+a 2+1，可得a 2=2；此时a 2a 1=21=2<3，不满足“G 型数列”定义，猜想：数列a n 不是“G 型数列”，证明如下：由2a n =S n +1可得，当n ≥2时，2a n -1=S n -1+1，两式相减可得2a n -2a n -1=S n -S n -1=a n ，可得a n =2a n -1，此时从第二项起，每一项与它前一项的比为an a n -1=2<3，因此a n 不是“G 型数列”；(2)设数列b n 的公比为q ，易知q ∈N *，又因为数列b n 不是“G 型数列”，可得q ≤3可得b n +1b n=a n +1+2a n +2=q ，即得a n +1=qa n +2q -2；又数列a n 为“G 型数列”，可得an +1a n =q +2q -2a n>3；易知“G 型数列”为递增数列，因此当n 趋近于正无穷大时，q +2q -2a n趋近于q ，即可得q ≥3；综上可得q =3，即a n +1=3a n +4，可得a n +1+2=3a n +2 ；所以数列a n +2 是以a 1+2=3为首项，公比为3的等比数列；即可得a n +2=3×3n -1=3n ，可得a n =3n -2；所以数列a n 的通项公式为a n =3n -2.8(2015高二·全国·竞赛)设数列a n 满足：①a 1=1；②所有项a n ∈N ∗；③1=a 1<a 2<⋅⋅⋅<a n <a n +1<⋅⋅⋅.设集合A m =n |a n ≤m ,m ∈N ∗ ，将集合A m 中的元素的最大值记为b m .换句话说，b m 是数列a n 中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值.我们称数列b n 为数列a n 的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；(2)设a n =3n -1，求数列a n 的伴随数列b n 的前20之和；(3)若数列a n 的前n 项和S n =n 2+c (其中c 常数)，求数列a n 的伴随数列b m 的前m 项和T m .【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3(2)50(3)T m =m +124，m =2t -1,t ∈N * m m+24，m =2t ,t ∈N *【分析】(1)由数列的新定义直接写出即可；(2)由数列的新定义结合对数的运算求出即可；(3)先由S n 求出a n ，再由数列新定义求出b m ，再分m 为奇数和偶数时分别求出T m .【详解】(1)数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，(后面加3算对)(2)由a n =3n -1≤m ，得n ≤1+log 3m m ∈N * ∴当1≤m ≤2,m ∈N *时，b 1=b 2=1 当3≤m ≤8,m ∈N *时，b 3=b 4=⋅⋅⋅=b 8=2 当9≤m ≤20,m ∈N *时，b 9=b 28=⋅⋅⋅=b 20=3 ∴b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 20=1×2+2×6+3×12=50(3)∵a 1=S 1=1+c =1 ∴c =0 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -1∴ a n =2n -1n ∈N *由a n =2n -1≤m 得：n ≤m +12m ∈N *因为使得a n ≤m 成立的n 的最大值为b m ，所以 b 1=b 2=1,b 3=b 4=2,⋅⋅⋅，b 2t -1=b 2t =t ，t ∈N * 当m =2t -1t ∈N * 时：T m =2⋅1+(t -1)2⋅(t -1)+t =t 2=14(m +1)2当m =2t t ∈N * 时：T m =2⋅1+t 2⋅t =t 2+t =14m (m +2)所以T m =m +124，m =2t -1,t ∈N * m m+24，m =2t ,t ∈N *9(23-24高二下·上海闵行·阶段练习)若有穷数列a 1，a 2,⋯,a n ,(n 是正整数)，满足a 1=a n ，a 2=a n -1,⋯,a n =a 1即a i =a n -i +1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1=2，b 4=11，试写出{b n }的每一项；(2)对于确定的正整数m >1，写出所有项数不超过2m 的“对称数列”，使得1,2,22,⋯,2m -1依次是该数列中连续的项；当m =10时，求其中一个“对称数列”前19项的和S 19【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2(2)答案见解析【分析】(1)由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解；(2)由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.【详解】(1)设{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d =2+3d =11，解得d =3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2．(2)若1,2,22,⋯,2m -1依次是该数列中连续的项，且是对称数列，则至少有1+2m -1 =2m -1项，从而所有项数不超过2m 的“对称数列”有：1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1，2m -1,2m -2,⋯,22,2,1,1,2,22,⋯,2m -2,2m -1，1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1，2m -1,2m -2,⋯,22,2,1,2,22,⋯,2m -2,2m -1，共有4个这样的数列(2个2m 项的，2个2m -1项的)；当m =10时，求数列1,2,22,⋯,2m -2,2m -1,2m -2,⋯,22,2,1的前19项，则S 19=1+2+22+⋯+28+29+28+⋯+22+2+1=1-2101-2+1-291-2=210-1+29-1=1534.10(23-24高二下·江西·阶段练习)将数列a n 按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为a n 的一个分群数列，a n 称为这个分群数列的原数列．如a 1,a 2,⋯,a r ，a r +1,a r +2,⋯,a t ，a t +1,a t +2,⋯,a s ⋯，a m +1,a m +2,⋯,a n 是a n 的一个分群数列，其中第k 个括号称为第k 群．已知a n 的通项公式为a n =2n -1．(1)若a n 的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k 群的中间一项为b k ，求数列b n 的通项公式；(2)若a n 的一个分群数列满足第k 群含有k 项，A k 为该分群数列的第k 群所有项构成的数集，设M =m a m ∈A k ,a m +7∈A k +2 ，求集合M 中所有元素的和．【答案】(1)b n =6n -3(2)54【分析】(1)由给定的数列新定义推导通项公式求解即可.(2)根据该数列第k 群含有k 项，求出该分群数列的前7群，从而得到集合M 中的所有元素，求和即可.【详解】(1)由题意知该分群数列第k 群的中间一项为b k =a 3k -1．因为a n =2n -1，所以b k =a 3k -1=23k -1 -1=6k -3，即b n =6n -3．(2)由题意知该分群数列第k 群含有k 项，所以该分群数列前7群为a 1 ，a 2,a 3 ，a 4,a 5,a 6 ，a7,a 8,a 9,a 10 ，a 11,a 12,a 13,a 14,a 15 ，a 16,a 17,a 18,a 19,a 20,a 21 ，a 22,a 23,a 24,a 25,a 26,a 27,a 28 ．又a m∈A k，a m+7∈A k+2，所以k≤5．当k=5时，m=15，当k=4时，m=10或9，当k=3时，m=6或5或4，当k=2时，m=3或2，所以M=2,3,4,5,6,9,10,15，故集合M中所有元素的各为2+3+4+5+6+9+10+15=54．。
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第四节数列求和A组基础题组1.数列{a n}的通项公式是a n=n+n+1,前n项和为9,则n等于( ) A.9 B.99 C.10 D.1002.已知数列{a n}满足a n+1=12+a n-a n2,且a1=12,则该数列的前2 016项的和等于( )A.1 509B.3 018C.1 512D.2 0163.在数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,那么S100的值为( )A.2 500B.2 600C.2 700D.2 8004.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-6n,则{|a n|}的前n项和T n=( )A.6n-n2B.n2-6n+18C.6n-n2(1≤n≤3)n2-6n+18(n>3)D.6n-n2(1≤n≤3)n2-6n(n>3)5.设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .6.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n= .7.对于数列{a n},定义数列{a n+1-a n}为数列{a n}的“差数列”,若a1=2,{a n}的“差数列”的通项为2n,则数列{a n}的前n项和S n= .8.(2017北京朝阳期中)已知数列{a n}(n∈N*)是公差不为0的等差数列,若a1=1,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)若b n=1a n·a n+1,求数列{b n}的前n项和S n.9.(2016北京,15,13分)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.B组提升题组10.在数列{a n}中,a n=2n-12,若{a n}的前n项和S n=32164,则n=( )A.3B.4C.5D.611.在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1+(-1)n a n=cos(n+1)π,记S n为数列{a n}的前n项和,则S2 015= .12.在数列{a n}中,a2=4,a3=15,若S n为{a n}的前n项和,且数列{a n+n}是等比数列,则S n= .13.(2017北京海淀二模)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,S n为其前n项和,且4S n=(a n+1)2.(1)求a1,a2的值及{a n}的通项公式;(2)求数列 S n-72a n的最小值.14.(2016北京朝阳一模)已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-n,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.15.(2018北京东城期末)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且a1=b1=2,a3+a5=22,b2b4=b6.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n-b n,求数列{c n}的前n项和.答案精解精析A组基础题组1.B ∵a n=n+n+1=-n,∴S n=a1+a2+…+a n=(n+1-n)+(n-n-1)+…+(3-2)+(2-1)=n+1-1, 令n+1-1=9,得n=99,故选B.2.C 因为a1=12,a n+1=12+a n-a n2,所以a2=1,从而a3=12,a4=1,……,可得a n=12,n=2k-1(k∈N*),1,n=2k(k∈N*),故数列的前2 016项的和S2 016=1 008×1+12=1 512.3.B 当n为奇数时,a n+2-a n=0⇒a n=1,当n为偶数时,a n+2-a n=2⇒a n=n,故a n=1(n为奇数),n(n为偶数),于是S100=50+(2+100)×502=2 600.4.C 由S n=n2-6n知{a n}是等差数列,且首项为-5,公差为2. ∴a n=-5+(n-1)×2=2n-7,∴n≤3时,a n<0;n>3时,a n>0,易得T n=6n-n2(1≤n≤3), n2-6n+18(n>3).5.答案1;121解析由a n+1=2S n+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=2S n+1,即S n+1=3S n+1,则S n+1+12=3 S n+12,又S1+12=32,∴ S n+12是首项为32,公比为3的等比数列,∴S n+12=32×3n-1,即S n=3n-12,∴S5=35-12=121.6.答案-1n解析∵a n+1=S n+1-S n,a n+1=S n S n+1,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴1S n是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.7.答案2n+1-2解析 由题意知a n+1-a n =2n,∴当n≥2时,a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 =2-2n 1-2+2=2n -2+2=2n,又a 1=2满足上式,∴a n =2n(n∈N *), ∴S n =2-2n +11-2=2n+1-2.8.解析 (1)设{a n }的公差为d(d≠0), 因为a 2,a 4,a 8成等比数列,所以a 42=a 2·a 8.即(a 1+3d)2=(a 1+d)·(a 1+7d), 即d 2=a 1d.又a 1=1,且d≠0,所以d=1. 所以a n =a 1+(n-1)d=1+(n-1)=n. (2)由(1)知b n =1a n ·a n +1=1n (n +1)=1n -1n +1.所以S n =1-12+12-13+…+1n -1n +1,即S n =1-1n +1=nn +1.9.解析 (1)等比数列{b n }的公比q=b3b 2=93=3,所以b 1=b2q =1,b 4=b 3q=27. 设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2. 所以a n =2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知,a n =2n-1,b n =3n-1. 因此c n =a n +b n =2n-1+3n-1. 从而数列{c n }的前n 项和 S n =1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1=n (1+2n -1)2+1-3n1-3=n 2+3n -12.B 组 提升题组10.D 由a n =2n -12n=1-12n 得S n =n- 12+122+…+12n=n- 1-12n ,S n =32164=n- 1-12n ,将各选项中的值代入验证得n=6.11.答案 -1 006解析 由a1=1,a n+1+(-1)na n =cos(n+1)π,得a 2=a 1+cos 2π=1+1=2,a 3=-a 2+cos 3π=-2-1=-3, a 4=a 3+cos 4π=-3+1=-2,a 5=-a 4+cos 5π=2-1=1,……,由此可知,数列{a n }是以4为周期的周期数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=-2,所以S 2 015=503×(a 1+a 2+a 3+a 4)+a 2 013+a 2014+a 2 015=503×(-2)+a 1+a 2+a 3=-1 006.12.答案 3n-n 2+n 2-1解析 ∵{a n +n}是等比数列, ∴数列{a n +n}的公比q=a 3+3a 2+2=15+34+2=186=3,则{a n +n}的通项为a n +n=(a 2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1, 则a n =2·3n-1-n, ∴S n =2(1-3n )1-3-n (1+n )2=3n-n 2+n 2-1.13.解析 (1)因为4S n =(a n +1)2, 所以,当n=1时,4a 1=(a 1+1)2,∴a 1=1,所以,当n=2时,4(1+a 2)=(a 2+1)2,解得a 2=-1或a 2=3, 因为{a n }是各项均为正数的等差数列,所以a 2=3, 所以{a n }的公差d=a 2-a 1=2,所以{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)d=2n-1. (2)因为4S n =(a n +1)2, 所以S n =(2n -1+1)24=n 2,所以S n -72a n =n 2-72(2n-1)=n 2-7n+72= n -72 2-354. 所以,当n=3或n=4时,S n -72a n 取得最小值-172.故数列 S n -72a n 的最小值为-172.14.解析 (1)S n =2n 2-n,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3. 当n=1时,a 1=S 1=1,又4×1-3=1,∴a 1=1满足上式, 所以数列{a n }的通项公式为a n =4n-3,n ∈N *. (2)由(1)可得b n =(-1)na n =(-1)n(4n-3),当n 为偶数时,T n =-1+5-9+13-17+…+(4n-3)=4×n2=2n.当n 为奇数时,n+1为偶数, T n =T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1. 综上,T n =2n ,n 为偶数,-2n +1,n 为奇数.15.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q. 因为a 3+a 5=2a 4=22,所以a 4=11=2+3d, 解得d=3.又因为b 2b 4=b 1b 5=b 6=qb 5,所以q=b 1=2. 所以a n =3n-1,b n =2n,n ∈N *. (2)由(1)知,a n =3n-1,b n =2n,n ∈N *. 因此c n =a n -b n =3n-1-2n, 数列{a n }的前n 项和为n (2+3n -1)2=3n 2+n2,数列{b n }的前n 项和为2(1-2n )1-2=2n+1-2.所以,数列{c n }的前n 项和为3n 2+n 2-2n+1+2,n ∈N *.。