河北武邑中学高三年级下学期第一次质量检测试题.docx

河北武邑中学2015-2016学年高三年级下学期第一次质量检测试题
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知a 为实数，若复数2
(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则3
1a i i ++的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -
2.已知集合{2,cos }3a A π
=，1{lg83lg5,,1}2B =+，且A B B =，则实数a 的值为（ ）
A ．2log 3
B ．2log 3或-1
C ．2log 3或0
D ．0
4.函数27()log f x x x
=-的零点包含于区间（ ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,)+∞
5.执行右边的程序框图，如果输入4a =，那么输出的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6.下列说明正确的是（ ）
A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则2
1a ≤”
B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件
C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x <成立
D ．
“t a n 3α≠”必要不充分条件是“3a π
≠”
7.已知平面向量,,a b c 满足：a c ⊥，2b c ∙=-，||2c =，c a b λ=+，则实数λ的值为（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．2
D ．4
8.若正数,a b 满足111a b +=，则1911
a b +--的最小值为（ ） A ．1 B ．6 C ．9 D ．16
9.已知点P 的坐标(,)x y 满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
，过点P 的直线l 与圆22:16C x y +=相交于,A B 两点，则||
AB 的最小值为（ ）
A ．26
B ．27
C ．42
D ．43
10.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若33a b c b a +=，sin 23sin C B =，则t a n A =
（ ） A ．3 B ．33- C ．33
D ．3-
11.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．25π
B ．294
π C ．29π D ．116π
12.定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x
+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）
A ．233
B ．-3
C ．1
D ．3 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x ≥时，3
()8f x x =-，则关于x 的不等式(2)0f x ->的解集为 .
14.已知2
0(cos )a x dx π=-⎰，则91()2ax ax
+展开式中，3x 项的系数为 . 15.埃及数学家发现一个独特现象：除
23
用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数（分子为1的分数）和的形式. 例如2115315
=+，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11315+. 形如2(5,7,9,11)n n =的分数的分解：2115315=+，2117428=+，2119545=+，按此规律211= . 16.已知函数2()(2)1f x x =--+，函数()2sin()sin()()663g x x x a a R πππ
=++∈，若存在12,[1,4]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，*212()5,n n n a a a n N +++=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令(1)(1)n n n b a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18. （本小题满分12分）在某项娱乐活动的海选过程中，评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在(40,60)内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛.
（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数；
（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如下表：
假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手的成绩分别为（单位：分）45,52,58，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为边长为6的等比三角形，点1A 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的中心.
（1）求证：1BC BB ⊥；
（2）若1AA 与底面ABC 所成角为0
60，P 为1CC 的中点，求直线1BB 与平面1AB P 所成角的正弦值.
20. （本小题满分12分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为12,F F ，离心率为22，直线l 与椭圆相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足12||||42AF AF +=，O 为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设向量11(,)x y m b a =，22(,)x y n b a =，且0m n ∙=，试证明AOB ∆的面积为定值. 21. （本小题满分12分）
设函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--在x e =处的切线与y 轴相交于点(0,2)e -.
（1）求a 的值；
（2）函数()f x 能否在1x =处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由；
（3）当12x <<时，试比较21x -与11ln ln(2)
x x --大小. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，等腰ABC ∆的一条腰及底边中线分别与圆O 相交于点,A D 和,E F ，圆O 的切线GF 与直线CE 相交于点G .
（1）证明：GF CE ⊥；
（2）4BA BD =，3BF BE =，求:GF CE .
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ=+，点(22,)4
R π. （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|5||3|f x x x =-+-.
（1）求函数()f x 的最小值m ；
（2）若正实数,a b 满足
113a b +=，求证：2212m a b
+≥.
参考答案
一、选择题
DCBCA DBBAB CD
二、填空题
13. {|04}x x x <>或 14. 212-
15. 11666+ 16. 9[,1]2
- 三、解答题
17．解：（1）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
所以42911()a q a q =，解得1a q =.
又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q +=，
n 为偶数时，1
(2)[1(2)]22(11111)1(2)3
n n n S +----+=-+-+-++=--， n 为奇数时，11(2)[1(2)]2225(1111)11(2)33
n n n n S ++---++=-++-+=--=---， ∴1122()325()3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩
为偶数为奇数， 或11
(1)[1(1)](2)[1(2)]1(1)2(2)1(1)1(2)23
n n n n n S ++------------=+=+---- 7(1)(2)623
n n
--=-++. 18.解：（1）因为10(0.010.020.05)1a ⨯+++=，所以0.04a =.
平均数10(650.01750.04850.02950.03)82x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯=
由图可知可视为两个矩形面积之和为0.5k ，则中位数为80.
（2）根据题意知，成绩在(40,50]，(50,60)内选手分别有1名和2名，
随机变量X 的取值为0,1,2,3.
2111(0)()2318
P x ==⨯=， 212111125(1)()2323318
P x C ==⨯+⨯⨯=， 122112124(2)+()233239
P x C ==⨯⨯⨯=， 2122(3)()239
P x ==⨯=.
542112318996
EX =+⨯+⨯=. 19.解：（1）点1A 在底面ABC ∆的射影为O ，连接1A O ，取BC 的中点E ，连接AE ，
∵1A O ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1A O BC ⊥.
又∵AE BC ⊥，1
AE AO O =，∴BC ⊥平面1A OA ， ∵1AA ⊂平面1A OA ，∴1BC A A ⊥，
∵11//AA BB ，∴1BC BB ⊥.
（2）由（1）知1,,AO AO BC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵1A O ⊥平面ABC ，∴1A AO ∠为1A A 底面ABC ∆所成的角.
∵6AB =，∴36233
AO =⨯=，3OE =，0160A AO ∠=，16A O =， 所以(23,0,0)A ，(3,3,0)B -，(3,3,0)C --，1(0,0,6)A ，
111(23,0,6)AA BB CC ===-，(33,3,0)AC =--，(33,3,0)AB =-，
11(43,3,3)2
AP AC CC =+=--，11(53,3,6)AB AB BB =+=-， 设平面1PAB 的一个法向量(,,)n x y z =，由10AP n AB n ∙=∙=，
得4333053360
x y z x y z ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩，得(3,1,3)n =-.
139|cos ,|13n BB <>=，直线1BB 与平面1AB
P 所成角的正弦值3913.
20.解：（1）由122||||42a AF AF =+=，得22a =， 又∵椭圆的离心率为
22，∴22c a =，即2a c =， ∴2c =，∴222844b a c =-=-=，
∴椭圆方程为22
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y x +=. （2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，
则22280
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，222(2)280k x kmx m ⇒+++-=， 由题意知：222244(2)(8)0k m k m ∆=-+->，即228(48)0k m -+>， ∴12222km x x k -+=+，212282m x x k -=+， 由0m n ∙=，得12120x x y y b b a a ∙+∙=，∴1212048
x x y y +=， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++
2222
2222822(4)222m km m k k km m k k k ---=∙+∙+=+++ ∴222
2284022m m k k k
--+=++，∴2224k m +=，
2222
1228(48)||1||12k m AB k x x k k -+=+-=+∙+ O 到直线AB 的距离为2||
1m d k =+， ∴222222||2(48)||2(288)1||22222
AOB m k m m m m S AB d m k
∆-+--+=∙===+. 当AB x ⊥轴时：1212,x x y y ==-，则
22112211048048
x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由对称性设10x >，∴1122x y ⎧=⎪⎨=±⎪⎩，所以有(2,2)A ，(2,2)B -，2d =， ∴11||422222
AOB S AB d ∆=∙=⨯⨯=， ∴AOB ∆的面积为定值22.
21.解：（1）'
1()ln 1f x x a x =++-，以题意得'()(2)()0
f e e f e e --=-， 即11(1)(2)(11)e a e e e a e
+----=++-，解得2a =. （2）因为'1()ln 1f x x x =+-，记1()ln 1g x x x =+-，则'21()x g x x -=， ①当1x >时，'()0g x >，所以()g x 在(1,)+∞是增函数，所以()(1)0g x g >=，所以'
()0f x >， ②当01x <<时，'()0g x <，所以()g x 在(0,1)是减函数，所以()(1)0g x g >=，所以'()0f x >， 由①②，得()f x 在(0,)+∞上是增函数. （3）当12x <<时，2111ln ln(2)
x x x >---，证明如下： 由（2）得()f x 在(1,)+∞是增函数，所以，1x >时，()(1)0f x f >=，即(1)ln 2(1)x x x +>-， 所以11ln 2(1)x x x +<-，①因为12x <<，所以021x <-<，112x
>-，
所以11132112(1)
ln 2(1)22x x x x x
+--<=----，即13ln(2)2(1)x x x --<--，②， ①＋②得：11132ln ln(2)2(1)2(1)1
x x x x x x x +--<+=----. 22.解：（1）连AE ，因为090AFE ∠=，
所以AE 为圆O 的直径，连OF ，
则FG OF ⊥，且//OF CE ，故FG CE ⊥.
（2）由BD BA BE BF ∙=∙，得1143
BA BA BF BF ∙=∙， 即2234BA BF =，32BF BA =，则060BAF ∠=，12
AF BA =. 设BE t =，则2EF t =，3AF CF t ==， 故222237
FG EF CF EF CF CE CE EF CF ∙∙===+
.
23.（1）由于cos ,sin x y ρθρθ==，
则：曲线C 的方程为2
2312sin ρθ=+，转化成2213x y +=. 点R 的极坐标转化成直角坐标为：(2,2)R .
（2）设(3cos ,sin )P θθ，
根据题意，得到(2,sin )Q θ， 则：||23cos PQ θ=-，||2sin QR θ=-，
所以||||42sin()3PQ QR πθ+=-+
， 当6π
θ=时，min (||||)2PQ QR +=，
矩形的最小周长为4，点31(,)22
P .
24.（1）∵()|5||3||5(3)|2f x x x x x =-+-≥---=， 当且仅当[3,5]x ∈时取最小值2，∴2m =. （2）∵22222121121(
)[1()](1)322a b a b ++≥⨯+⨯=， ∴222123()(3)2
a b +⨯≥， ∴22122a b
+≥. （2）方法2：113a b
=-， 22222212123233(3)3(1)22a b b b b b b
+=-+-+=-+≥.。