向量的数量积与向量积

2 2 x y
2
z
b +b +b
2 x y
z
(二)、两向量的向量积 二、 1、定义 、
c = a × b，它的模为 | c |=| a || b | sinθ
c 的方向既垂直于 又垂直于b，指向符合右手系 a .
2、向量积的坐标计算式
a × b = (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
a⊥b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0
1 a 例 已知 = i + j , b = i + k,求a ⋅ b,cos(a, b)及ab.
解
a ⋅ b = {1,1,0} ⋅ {1,0,1} = 1 + 0 + 0 = 1,
1 a⋅b = cos(a, b) = 2 + 12 + 02 12 + 02 + 12 a⋅b 1 1 = 2 1 2 . ab = a cos(a, b) = 2 ⋅ = 2 2
= (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
向量积还可用三阶行列式表示
i bx
按第一行展开就得到
j by
k az bz
a ×b = ax ay
a × b = (aybz − az by )i + (az bx − axbz ) j + (axby − aybx )k
仅就下图所示的情形给出证明， 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c;
2、数量积的坐标计算式
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk,则
a ⋅ b = (axi + ay j + azk) ⋅ (bxi + by j + bzk)
由上式可推出
ax ay az b , b , b 全不为零 a// b ⇐⇒ = = x y z bx by bz
(
)
例如， 例如， 根据向量积的定义，可知 根据向量积的定义，
5 例 设a = 2i + j − k, b = i − j + 2k,求a × b.
解
i j k
a ×b = 2 1 −1 1 −1 2
x y z
a × b = (a i + a j + a k) ×(b i + b j + b k)
x y z x y z
= axbxi × i + axbyi × j + axbzi × k + a ybx j × i + a yby j × j + a ybz j × k + azbxk × i + azbyk × j + azbzk × k
(3) a × a = 0.
向量积符合下列运算规律： 向量积符合下列运算规律：
(1) a × b = −b × a.
(2) 分配律： × (b + c ) = a × b + a × c. a (3) 若λ 是数：λa)× b = a ×(λb) = λ(a × b). (
2、向量积的坐标计算式 设 a = a i + a j + a k, b = bxi + by j + bzk,则
∴cosθ = 0,
π
规定: 零向量与任何向量都垂直. 规定: 零向量与任何向量都垂直.
数量积符合下列运算规律： 数量积符合下列运算规律：
交换律： （1）交换律： 结合律： （2）结合律： （3）分配律： 分配律： 为数： （4）若 为数： 若 为数： 、 为数：
( . 证明 仅证 3),其它由定义可证
3、两非零向量夹角余弦的坐标表示式 、
a⋅ b a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒cosθ = , | a || b |
cosθ =
a b +a b +a b
x x y y z
z 2 2
a +a +a
2 2 x y
2
z
b +b +b
2 x y
z
两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两非零向量垂直的充要条件为
c 的方向既垂直于 又垂直于b，指向符合右手系 a .
向量积也称为“叉积” 外积” 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明： 关于向量积的说明：
(1) i × j = k, j × k = i , k × i = j .
(2) a// b ⇐⇒ a ×b = 0. (a ≠ 0, b ≠ 0)
三、小结
(一)、向量的数量积 一、 1、定义 、
a ⋅ b =| a || b | cos(a,b)
2、数量积的坐标计算式 、
a ⋅ b = axbx + a yby + azbz .
3、两非零向量夹角余弦的坐标表示式 、
cosθ =
a b +a b +a b
x x y y z
z 2 2
a +a +a
定义
ab =| a | cosθ .
∴a ⋅ b =| b | ⋅ab
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和 另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.
关于数量积的说明： 关于数量积的说明：
(1) a ⋅ a =| a | . 证明 ∵θ = 0, ∴a ⋅ a =| a || a | cosθ =| a | .
ABC
i j k AB× AC = 2 2 2 = 4i − 6 j + 2k 1 2 4
1 1 2 ∴S∆ABC = 4i − 6 j + 2k = 4 + (−6)2 + 22 = 14 2 2
解
i j k c = a × b = 4 5 3 = −i + 2 j − 2k, 2 2 1
和
证明
2 2
, 所以 i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1.
(2) a ⋅ b = 0 ⇐⇒a ⊥ b.
(a ≠ 0, b ≠ 0)
证明 (⇒) ∵a ⋅ b = 0, 由于 a ≠ 0 , | b |≠ 0, ⇒
2 , 因此 i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0.
θ = , ∴a ⊥ b. 2 π (⇐) ∵a ⊥ b, θ = , ∴cosθ = 0, ∴a ⋅ b = 0. ⇐
= axbxi ⋅ i + axbyi ⋅ j + axbzi ⋅ k + a ybx j ⋅ i + a yby j ⋅ j + a ybz j ⋅ k + azbxk ⋅ i + azbyk ⋅ j + azbzk ⋅ k
= axbx + a yby + azbz .
即两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和. 即两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和.
(2 B 所作的功； AB 沿直线移动到 (3,1,2).求(1)力F所作的功力 ＝ i − 3 j + 4k作用于一质点上，质点 A(1,2,−1) 2 F 2 作用于一质点上， 由
解
=
19 22 + (− 3) + 42 22 + (− 1) + 32
2 2
向量的数量积与向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
一、两向量的数量积
1、数量积的定义及其性质
实例 一物体在常力 的作用下沿直线从点 移动 F M1
到点M2，以s 表示位移，则力 所作的功为 表示位移， F
W =| F | ⋅ | s | ⋅cosθ .
( 其中 为F 与s 的夹角 ) θ
定义
≈ 0.9429.
3 xy a 例 求在 坐标面上与向量 = −4i + 3 j + 7k垂直的 . 单位向量
解
例4 解
i = j = k = 1,
所以
二、两向量的向量积
1、向量积的定义与性质
实例
L的支点， F 设O为一根杠杆 的支点，有一力 作用于这
θ P点处， F F 杠杆上 点处，力 与OP的夹角为 ，力 对支点
起点相同的两向量与b正方向之间不超过 a π的夹角 叫向量 与b的夹角 记作 , a ,
θ
这样， W 这样， = F ⋅ S ⋅ cos( F, S ).
a
定义
两个向量a 与b 的数量积a ⋅ b 为
a ⋅ b =| a | ⋅ | b | ⋅cos(a, b)
数量积也称为“点积” 内积” 数量积也称为“点积”、“内积”.
= i − 5 j − 3k.
6 A 例 已知∆ABC 的三个顶点为 (1,2,3) , B(3,4,5)和 C(2,4,7)，求∆ABC 的面积.
三角形ABC 的面积为 1 1 S∆ = AB AC sinA = AB× AC × 2 2 由于 AB = {2,2,2}, AC = {1,2,4}, 所以 解
O的力矩是一向量 ，它的模 M
| M |=| OQ || F |
F
θ
=| OP || F | sinθ
L
M的方向垂直于 与F所决定 OP 的平面， 法则 的平面，指向符合右手
O
P Q
定义 两个向量a 与b 的向量积记为 c = a × b，