概率统计随机过程习题

习题一
1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二
1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t
2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程
()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三
1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有
[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+
3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且
[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+
4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有
()()()b a
X t dt X b X a '=-⎰
5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有
[()()]()()b b b
a
a
a
X t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰
⎰⎰
()()(),b c b
a
a
c
aX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤
6. 求随机微分方程
()()()[0,]
(0)0
X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨
=⎩
的()X t 数学期望[()]E X t 。

式中,()a Y t >为平稳过程[()]0E Y t λ=>
习题四
1. 考虑一个具有随机相位的余弦波，它由如下定义的随机过程描述：
()cos()X t t λθ=+，其中λ是常数，θ服从(,)ππ-上的均匀分布，证明X (t )是宽
平稳过程。

2. 考虑一个具有随机振幅的正弦波，它由如下定义的随机过程描述
()2sin 2X t Axos t t πβπ=+
其中，A 、B 为两个随机变量，且满足()()0,()()1E A E B D A D B ====，
()0E AB =，度X (t )为宽平稳过程。

3. 设随机过程(),X t Y Y =是方差不为零的随机变量，试讨论其各态历经性。

4. 设X (t )是雷达的发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号是
111,(),aX t a ττ<-是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声，记噪声为
()N t ，于是接收机收到的全信号为1()()()Y t aX t N t τ=-+。

①若X (t )和Y (t )是联合平稳，求互相关函数()XY R τ。

②在①的条件下，假如N (t )的均值为零，且X (t )是相互独立，求()XY R τ（这是利用互相关函数从全信号中检测小信号的接收法）。

5. 设有随机过程()cos ()X t A t ωθ=+，其中A 是具有瑞利分布的随机变量，其概率密度为
2
22
0()200
a a e a t a a σσ
⎧->⎪=⎨⎪⎩
≤
是在（0, 2π）上具有均匀分布且与A 相互独立的随机变量，ω是一个常数，
问X (t )是否是宽平稳过程。

习题五
1. 已知平稳过程()X t 的谱密度为2
42
()32
X G ωωωω=++，求()X t 的均方值2[()]E X t 。

2. 已知平稳过程()X t 的自相关函数为
||()4cos cos X R e ττπτπτ-=+
求()X G ω。

3. 如下图的系统中，若()X t 为平稳过程，证明()Y t 的功率谱是
()2()(1cos )Y X G G t ωωω=+
习题3 图
4. 已知平稳过程()X t 的谱密度为
8()20(1)10
()10
X G ωδωωω⎧
+-⎪
=⎨⎪⎩≤其它
求()X R τ。

5. 设()sin()X t A t ωϕ=+和()sin()Y t B t ωϕα+-为两个平稳过程，其中，A 、B 、αω与为常数，(0,2)ϕπ是在上服从均匀分布的随机变量。

求
()()XY XY R R ττ和。

6. 已知平稳过程()()XY X t R τ和。

00/()0
XY a jb G ωωωωωωω⎧+<⎪=⎨
⎪⎩≥
其中a , b ，0ω实常数，求互相关函数()XY R τ。

习题六
1. 若系统输入为白噪声，其自相关函数为
)(2
)(0
τδτN R X =
式中0N 是正实常数，求系统输出的均方值。

2. 理想白噪声过程)(t X ，其自相关函数)(2
)(0
τδτN R X =
，通过一个冲激中央委员应为)(t h 的线性系统，求系统响应与互相关函数的关系。

3. 设白噪声)(t X ，有2
)(0N G X =
ω，通过传输函数为ωωωj a j H +=)(的微分电路，
α为实常数，求电路输出自相关函数。

4. 白噪声)(t N 通过传输函数为ω
ααωj H +=
)(的RC 积分电路，如下图所示，α为
实常数，求电路输出的自相关函数。

习题4图
5. 某线性系统具有功率传输函数为2
2
11)(⎪⎭
⎫
⎝⎛∆+=
ωωωH ，式中ω∆是半功率带宽，
求系统的噪声带宽。

习题七
1. 设岩性这个随机变量只能取砂岩（用1E 代表）、灰岩（用2E 代表）两种状态，对于某地层剖面观测记录的一次实现为1112111E E E E E E E 111211122E E E E E E E E E ，试写出它的转移概率矩阵。

2. 设有四个状态},,,{4321a a a a 的马氏链，它的一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02
10
2
121021002102
1210210P 试画出其状态传递图。

3. 设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：1E 、2E ，经计算得一阶转移概率矩阵为
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=41.059
.021.079.0)1(P 求证该链具有遍历性，并求出极限分布。

4. 设有四个状态}11,10,01,00{的马氏链，它的一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=535
20
0004341313200002121
)
1(P 试画出它的状态传递图。