线段的垂直平分线文档 (2)

线段的垂直平分线
知识要点详解
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相
等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝
BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段
的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于
点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交
于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，
若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+
∠EAF=180°，求证DE=DF．
2.如图,在四边形ABCD中,AD‖BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求证：AE⊥BE
3.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC+AD，AE平分∠BAD交CD于点E．
求证：BE⊥AE．
4.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．
5.已知：如图，四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，
∠A+∠C=180°，
求证：AD=CD．
A B O E C D
6.如图，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补， 求证：AD ＝CD.
7. 如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于______________。

8.已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF
9.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .
10.已知：如图,AB=AC,DB=DC,点E在AD上.求证：EB=FC
11.已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC
求证：点O在BC的垂直平分线
求证：AO⊥B C.
13. 如图7，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
△ACE的周长为50，求BC边的长.。