河北省武邑县2018届高三数学上学期期中试题理

2018届高三上学期期中考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设R x ∈，i 为虚数单位，且i
x
i -+
+111，则=x （ ） A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
2.设集合}7|{2x x x A <=，}1725|{<<=x x B ，则B A 中整数元素的个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3.已知向量),1(x a =，)4,(x b =，则2-=x 是“a 与b 反向”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也
不必要条件
4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且750=a
B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且7
50=c C.a ，b ，c 依次成公比为
21的等比数列，且750=a D ．a ，b ，c 依次成公比为
21的等比数列，且7
50=a 5.若函数1)1()(2+--=x a e x f x 在（0，1）上递减，则a 取值范围是（ ） A ．),12(2+∞+e B ．),12[2+∞+e C.),1(2+∞+e D ．),1[2+∞+e
6.某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的
体积为212，则该几何体的表面积为（ ）
A ．36
B ．42
C. 48D ．64
7.定义在R 上的奇函数x a x f x x sin 422)(--⋅=-的一个零点所在区间为（ ） A ．)0,(a -
B ．),0(a
C.)3,(a D ．)3,3(+a
8.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+≤-≥-≥+2
303010y x x x y x ，则y x z -=的取值范围为（ ）
A ．[2，6]
B ．（－∞，10] C.[2，10] D ．（－∞，6]
9.在四棱锥ABCD P -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为︒60，给出下面三个命题，1p :若2=AB ，则此四棱锥的侧面积为344+；2p :若E ，F 分别为PC ，AD 的中点，则EF //平面PAB ；3p ：若P ，A ，B ，C ，D 都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.在下列明天中，为真命题的是（ ） A ．32p p ∧
B ．)(21p p ⌝∨ C. 31p p ∧ D ．)(32p p ⌝∧
10.设a ，),1()1,0(+∞∈ b ，定义运算：⎩⎨⎧>≤=Θb a a b
a b b a b
a ,log ,log ，则（ ）
A ．2)84(4)82(8)42(ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ
B ．4)82(2)84()42(8ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ C.)42(84)82(2)84(ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ
D ．4)82(8)42(2)84(ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ
11.设n S 为数列{}n a 的前项n 和，)2(23211≥⋅=---n a a n n n ，且2123a a =.记n T 为数列
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+n n S a 1的前n 项和，若*
∈∀N n ，m T n <，则m 的最小值为（ ） A ．3
1
B ．
2
1 C.
32
D ．1
12.当0≥x 时，)1ln(1
+≥+x a x xe x
恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A ．]1,(-∞
B ．],(e -∞ C.]1
,(e -∞
D ．]0,(-∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设向量a ，b 满足2||=+b a ，5||||22=+b a 则=⋅b a ． 14.函数x x f 44)(-=的值域为 ．
15.若函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的图象相邻的两个对称中心为)0,65(-，)0,6
1
(，将
)(x f 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2
1
，得到)(x g 的图象，则=
)(x g ．
16.如图，在四棱锥ABCD E -中，⊥EC 底面ABCD ，EC EF //，底面ABCD 为矩形，G 为线段AB 的中点，DG CG ⊥，2=CD ，CE DF =，BE 与底面ABCD 所成角为︒45，则四棱锥ABCD E -与三棱锥CDG F -的公共部分的体积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A c a cos 2=，1sin 5=A . （1）求C sin ； （2）求
c
b . 18. 设n S 为数列{}n a 的前项n 和，2n S n =，数列{}n b 满足32a b =，21+=+n n b b . （1）求n a 及n b ；
（2）记><n 表示n 的个位数字，如<6174>=4，求数列⎭⎬⎫⎩⎨
⎧
><⋅><n n
b a 1
的前20项和.
19. 已知向量)1,sin 2(x a =，)1),6
cos(2(π
+=x b ，函数R x b a x f ∈⋅=，)(.
（1）若2=
a ，)0,(π-∈x ，求x ；
（2）求)(x f 在)2
,
0[π
上的值域；
（3）将)(x f 的图象向左平移
6
π
个单位得到)(x g 的图象，设x x x g x h 2)1()(2-+-=，判
断)(x h 的图象是否关于直线1=x 对称，请说明理由.
20. 如图,在三棱锥ACD P -中,3=,⊥PB 底面ACD ，AD BC ⊥，10=AC ，
5=PC ，且10
2cos =
∠ACP . （1）若E 为AC 上一点，且AC EF ⊥，证明：平面⊥PBE 平面PAC . （2）求二面角D PC A --的余弦值
.
21. 已知函数a x x x f +-=3)(3
的图象与x 轴相切，且切点在x 轴的正半轴上. （1）求曲线)(x f y =与y 轴，直线1=x 及x 轴围成图形的面积S ；
（2）若函数mx x f x g +=)()(在),3(a -上的极小值不大于1-m ，求m 的取值范围. 22. 已知函数x x f ln )(=，)1()1()(--+=x f x f x F .
（1）当*
∈N x 时，比较∑=n
i i F 1
)2(3
与31)12(313-+n 的大小； （2）设)1
)(()()(21
e
a a e x x g x f ax -
≤-=+-，若函数)(x g 在),0(+∞上的最小值为2
1
ae -
，求a 的值.
试卷答案
一、选择题
1-5:BBCDB 6-10:CCDAB 11、12：AA 二、填空题 13. 21-
14. )2,0[ 15. )62sin(ππ-x 16.9
2 三、解答题
17.解：（1）A c a cos 2= ，A C A cos sin 2sin =∴，0sin 2tan >=∴C A .
1sin 5=A ，A C A cos sin 2sin =∴，21tan =
∴A ，从而4
1
sin =C . （2）A C sin 5
1
41sin =<=
，C ∴为锐角，415cos =C ， 203
5524
15241551sin cos cos sin )sin(sin +=
⨯+⨯=+=+=∴C A C A C A B ， 5
3
552sin sin +==∴C B c b . 18. 解：（1）当2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ， 由于111==S a 也满足12-=n a n ，则12-=n a n .
532==a b ，21=-+n n b b ，31=∴b ，是首项为3，公差为2的等差数列，12+=∴n b n .
（2）12-=n a n ，{n
a ∴的前5项依次为1，3,5,7,9.
12+=n b n ，{}n b ∴的前5项依次为3,5,7,9，1.
易知，数列{n
a 与{n
的周期均为5，
⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧><⋅><∴n n b a 1的前20项和为)191
971751531311(4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 9
20
)919821(4]91)917171515131311(21[4=+⨯⨯=+-+-+-+-⨯⨯=.
19. 解：（1）21sin 42=+=x a ，41sin 2=
∴x ，2
1
sin ±=x . 又)0,(π-∈x ，
6
π
-
=∴x 或6
5π
-
. （2）1)sin 2
1
cos 23(
sin 41)6
cos(sin 4)(+-=++
=x x x x x x f π
)6
2sin(21)2cos 1(2sin 31sin 22sin 32π
+=+--=+-=x x x x x .
)2,0[π∈x ,]67,6[62πππ∈+∴x ,]1,2
1
()62sin(-∈+∴πx ,
故)(x f 在)2
,
0[π
上的值域为]2,1(-.
（3）x x x f x 2cos 2)2
2sin(2)6()(g =+=+
=π
π
，1)1()22cos()(2--+-=∴x x x h .
)(1)1()22cos(1)1()22cos()2(22x h x x x x x h =--+-=--+-=- ， )(x h ∴的图象关于直线1=x 对称.
20. （1）证明：由⊥PB 底面ACD ，得AC PB ⊥. 又AC BE ⊥，B PB BE = ，故⊥AC 平面PBE .
⊂∴AC 平面PAC ，平面⊥PBE 平面PAC .
（2）解：1310
2
25215cos 22
2
2
=⨯
⨯-=∠⋅⋅-+=ACP PC AC PC AC AP ，
13=∴AP ，则⎪⎩⎪
⎨⎧===⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+2
1313510222222PB BC AB PB AB PB BC BC AB ，，
， 以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz B -， 则）
，（0,3-0A ，)0,0,1(C ，)2,0,0(P ，)0,1,0(D ， )2,0,1(-=，)031(，，=，)011(，，-=.
设),,(111z y x =是平面PCD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
CD m ，即⎩⎨⎧=+=-03021111y x z x
令61=x ，得)3,2,6(-=n
设),,(222z y x =是平面PCD 的法向量，则
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
，即，⎩⎨
⎧=+-=-0022222y x z x 令22=x ，得)1,2,2(=
.
21
11
7311=⨯=
=
∴ 由图可知，二面角D PC A --为钝角，故二面角D PC A --的余弦值为21
11-
.
21. 解：（1）33)(2
-=x x f ＇ ，0)(=∴x f ＇得1±=x ， 由题意可得02)1(=-=a f ，解得2=a .
故23)(3
+-=x x x f ，4
3
22341)22341()(10
241
=+-=+-==
⎰
x x x dx x f S . （2）2)3(23)(33+-+=++-=x m x mx x x x f ，33)(2-+=m x x g ＇ 当03≥-m 时，)(x g 无极值；
当03<-m ，即3<m 时，令0)(<x g ＇得3
333m
x m -<
<--
； 令0)(>x g ＇得33m x --
<或.3
3m
x -> )(x g ∴在3
3m
x -=
处取得极小值， 当
23
3≥-m
，即9-≤m ，)(x g 在（-3,2）上无极小值， 故当39<<-m 时，)(x g 在（-3,2）上有极小值 且极小值为12)33
3(33)33(
-≤+-+--=-m m m
m m g ， 即
33
33)3(2-≤--m m
m .
3<m ，2333≥-∴
m ，4
15
-≤∴m . 又39<<-m ，故]4
15
,9(-
-∈m . 22. 解：（1）)12ln()121
2573513ln()2()6()4()2()2(3
1
+=-+⨯⨯⨯⨯=++++=∑
=n n n n F F F F i F n
i ，
构造函数)3)(1(3
1ln 3)(3
≥--=x x x x h ，x x x x x h 3233)('-=-=，
当3≥x 时，0)('<x h ，)(x h ∴在),3[+∞上单调递减. 03
1
93ln 3)3()(<+
-=≤∴h x h ， 故当)(12*∈+=N n n x 时，0]1)12[(31
)12ln(33<-+-+n n ，
即]1)12[(31)12ln(33-+<+n n ，即31
)12(31)2(331
-+<∑
=n i F n
i .
（2）由题得x ax xe x g ax ln )(1--=-，则)1
)(1(1)('111x
e ax x a axe e x g ax ax ax -+=--+=---， 由011=-
-x e ax 得到x x a ln 1-=，设x x x p ln 1)(-=，2
2
ln )('x
x x p -=. 当2e x >时，0)('>x p ；当20e x <<时，0)('<x p .
从而)(x p 在),0(2e 上递减，在),(2+∞e 上递增.2
2min 1)()(e e p x p -
==∴.
当21
e
a -≤时，x x a ln 1-≤，即011≤--x e ax （或x xe x e
ax ax 1111-=---，设1)(1-=-ax xe x p ，证明0)(≤x p 亦可得到01
1≤--x
e ax ）.
在)1
,0(a -上，01>+ax ，0)('≤x g ，)(x g 递减；
在),1
(+∞-a 上，01<+ax ，0)('≥x g ，)(x g 递增.
22min 1
)1ln(11)1()(ae a ae a g x g -=--+-=-=∴，
1)1ln(=-∴a ，解得e
a 1
-=.。