北京市顺义区2024届高三上学期第一次统练数学试题含答案

顺义区2024届高三第一次统练
数学试卷（答案在最后）
考生须知：
1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共10道小题，共40分，第二部分共11道小题，共110分，满分150分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.在复平面内，复数1
1i -对应的点位于（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】A 【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：()()11i 1i 1i 1i 1i 2++==--+，所以复数11i -在复平面内对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在第一象限.故选：A.
2.已知集合{1,0,2}A =-，{
}
2
1B x x =≤，则下列结论正确的是（）
A.
A B
= B.A B ⊆ C.A B B
= D.{1,0}
A B ⋂=-【答案】D 【解析】
【分析】先求集合B ，再根据集合间的关系和运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：{
}{}
2
111B x x x x =≤=-≤≤，
所以,A B 之间没有包含关系，且{1,0}A B ⋂=-，故ABC 错误，D 正确；故选：D.
3.已知()f x 在(0,)+∞上单调递减，且00x >，则下列结论中一定成立的是（）
A.()()001f x f x +>
B.()()001f x f x +<
C.()()001f x f x ->
D.()()
001f x f x -<【答案】B 【解析】
【分析】利用函数的单调性判断即可.
【详解】由00x >得，001x x +>，结合()f x 在(0,)+∞上单调递减，则必有()()001f x f x +<，显然B 正确，A 错误，
而当0(0,1)x ∈时010x -<，不在定义域内，故无法比较，C,D 错误.故选：B
4.已知向量(1,3)a λ=+ ，(2,3)b = ，若a 与a b +
共线，则实数λ=（
）A.2- B.1
- C.1
D.2
【答案】C 【解析】
【分析】先求得a b + 的坐标，再根据向量a 与a b +
共线求解.
【详解】已知向量(1,3)a λ=+ ,(2,3)b = ,所以(3,6)a b λ+=+
，
因为a 与a b + 共线，所以(1)6(3)30λλ+⨯-+⨯=，解得：1λ=.
故选：C
5.已知双曲线2
2
2:1(0)x C y b b
-=>的离心率e <，则b 的取值范围是（
）
A.(0,1)
B.
C.(1,)
+∞ D.)
+∞【答案】A 【解析】
【分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．【详解】由已知可得双曲线的焦点在y 轴上时，1a =，221c b =+，
所以11
==<c e a
212+<b ，由0b >，解得01b <<.
故选：A.
6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若12a =，公差1d =，318k k S S +-=，则k =（）
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】C 【解析】
【分析】先由等差数列的前n 项和公式求得3,k k S S +，将318k k S S +-=转化为关于k 的方程求解.【详解】根据题意：12a =，公差1d =，可知()21132
2
n n n n n
S na d -+=+
=
，所以()
()2
23
3333,2
2
k k k k k k S
S +++++=
=
，所以318k k S S +-=即为：()
()2
23333182
2k k k k ++++-=，解得：3k =.
故选：C
7.已知0a >，0b >，则“1a b +>”是“1
4
ab >”（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】根据基本不等式可知当1
4
ab >时，1a b +>；反之不成立，即可得出结论.【详解】若“1a b +>”，可知当11,6a b ==时，1
4
ab >不成立，即可知充分性不成立；
若14ab >
，可得1a b +≥>=，即可得1a b +>，即必要性成立，因此可得“1a b +>”是“1
4
ab >”的必要不充分条件；故选：B 8.设ln 2
2a =
，ln 66b =，1e
c =，则（）
A.b a c <<
B.a b c <<
C.b c a
<< D.a c b
<<
【答案】A 【解析】
【分析】令()ln x
f x x =
，利用导数求得()f x 的单调性，再转化,,a b c 即可得解.【详解】令()ln x f x x =，则()2
1ln x
f x x -'=，
所以当e x >时，()0f x '<，所以()f x 在()e,+∞上单调递减，因为()ln 2ln 4424a f =
==，()ln 6
66b f ==，()1ln e e e e
c f ===，而64e >>，所以()()()64e f f f <<，即b a c <<.故选：A.
9.地铁某换乘站设有编号为12345,,,,S S S S S 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号
12
,S S 23
,S S 34
,S S 45
,S S 15
,S S 疏散乘客时间()
s 120
220
160
140
200
用()(15)k S k μ≤≤表示安全出口k S 的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①()()13S S μμ>；②()()42S S μμ>；③()()53S S μμ>；④()()45S S μμ<．其中，正确说法的个数有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意，列方程组，根据方程组解的值，判断正确的说法.
【详解】设每个出口每秒可疏散的人数为k x （15k ≤≤），由题意，可得方程组：()()()()()12233445
151201000
220100016010001401000
2001000
x x x x x x x x x x ⎧+=⎪
+=⎪⎪
+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎩，
可得：1223344515
25350112545075x x x x x x x x x x ⎧
+=⎪⎪
⎪+=⎪⎪
⎨
+=⎪⎪
⎪+=⎪⎪+=⎩.因为()()12231325500311x x x x x x +-+=-=->，所以()()13S S μμ>，所以①正确；因为()34x x +-()23x x +=43x x -=
25500411->，所以()()42S S μμ>，所以②正确；因为()()4534535025074
x x x x x x +-+=-=->，所以()()53S S μμ>，所以③正确；因为
()()()()()()()
5415343115342312x x x x x x x x x x x x x x x x -=+-++-=+-+++-+255025
504113
=-
+-<，所以()()45S S μμ>，所以④错误.故选：B
10.《九章算术》
中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，M 为底面ABCD
及其内部的一个动点且满足||PM =，则DM BM ⋅
的取值范围是（
）
A.[1-+
B.[1,1-+
C.[11]---
D.[11]
--【答案】D 【解析】
【分析】由已知可求得||1AM =，建立空间坐标系，利用已知设()cos ,sin ,0M θθ，π0,2θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果.
【详解】PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，连接,PM AM
，由||PM =
1AM ==，
四边形ABCD 为矩形，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立如图所示坐标系，
则()()2,0,0,0,2,0B D ，设()cos ,sin ,0M θθ，π0,
2θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()()cos ,sin 2,0,cos 2,sin ,0DM BM θθθθ=-=-
，所以()()cos cos 2sin 2sin DM BM θθθθ⋅=-+-
()
22πcos sin 2sin cos 14θθθθθ⎛
⎫=+-+=-+ ⎪
⎝⎭
因为π0,2θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则ππ3π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则πsin 42θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
所以11DM BM ⎡⎤⋅∈--⎣⎦
.
故选：D
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11.在5
1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中，x 的系数为__________．（用数字作答）
【答案】10【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()552551C C ,0,1,2,3,4,51k k
k k k k
x x k x --⎛⎫-⎭
= ⎝-=⎪，
令521-=k ，可得2k =，
所以x 的系数为()2
2
51C 10-=，
故答案为：10
12.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，
()21x f x =-，则()1f =______.
【答案】1
2
##0.5【解析】
【分析】根据奇函数的定义得到()()11f f =--，代入求解即可.【详解】 函数()y f x =在R 上是奇函数，∴()()f x f x =--，
∴()()()
1111212
f f -=--=--=
.故答案为：
12
.
13.在ABC V 中，tan tan 3
B C ==，1b =，则()tan B C +=__________；a =__________．
【答案】①.
②.
【解析】
【分析】由正切函数定义可求得π
6
B C ==，可得()tan B C +=a =
【详解】由tan tan 3
B C ==
，π0,2B C ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭，可得π6B C ==；
所以可得π
3B C +=
，所以2π3
A =，即()tan
B
C +=
易知1sin 2B =
，sin 2
A =，
由正弦定理可得sin sin A
a b B
=⋅=；
14.已知()sin f x x ω=，若存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使()01f x =-，则正整数ω的一个取值是__________．
【答案】3（答案不唯一）【解析】
【分析】根据三角函数的性质即可得02,2
π
kπk Z x ω=-
+∈，进而可求解.【详解】由()01f x =-可得()00s 2
in 2,1π
k x πk Z x ωω=+=-⇒-∈,
由于0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以不妨0π2x =，3ω=，则02π
x 3ω=，满足()01f x =-，
故答案为：3（答案不唯一）15.已知数列{}n a 满足()
*
1122n n n a a n a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
N ，给出下列四个结论：
①若1a =
{}n a
；
②若1a <，则对任意*n ∈N ，有1n n a a +>；
③若10a >，则存在*
0n ∈N ，当0n n ≥
时，有1
2024
n a ≤
；
④若1a >，则对任意*n ∈N
，有(11
2
n n a a +-≥
-；其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】
【分析】对于①：根据递推公式分析求解即可；对于②④：根据递推公式结合基本不等式分析判断；对于③：
根据递推公式结合基本不等式可知n a ≥，
分1a =
1a ≠两种情况，结合④中结论分析判断.
【详解】对于①：若1a =
211122a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，322122a a a ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，
以此类推可知：n a =
，即数列
，故①正确；
对于②：若10a <<，则(
)21111121222a a a a a ⎛⎫⎡⎤=
+=--+< ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦
，(
)32222121222a a a a a ⎛⎫⎡⎤
=+=--+< ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦
以此类推可知：0n a <<，
则2
1212022n
n n n n n n a a a a a a a +⎛⎫--=+
-=
> ⎪⎝⎭
，即1n n a a +>，故②正确；
对于④：若1a >
2111202a a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭
，3221202a a a ⎛⎫
=+>> ⎪⎝⎭
，
以此类推，可知：0n a >
>，
且(
1
121
222
n n n
n n
a a a
a a
+
⎛⎫
⎛⎫
-=+=-
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
因为
11
222
n
a
-<
，可得(
(
1
11
222
n n n
n
a a a
a
+
⎛⎫
=--<-
⎪
⎪
⎝⎭
，故④错误；
对于③：若10
a>
，可知21
1
120
2
a a
a
⎛⎫
=+≥>
⎪
⎝⎭
，当且仅当
1
a=
32
2
120
2
a a
a
⎛⎫
=+≥>
⎪
⎝⎭
，当且仅当
2
a=
，即
1
a=等号成立，
以此类推，可知：0
n
a≥>
，当且仅当
1
a=
若
1
a=*
n∈N
，可得
1
2024
n
a=≤，显然成立；
若10
a>
，且n a≠，可知当2
n≥
时，0
n
a>>，
由④可知：当2
n≥
时，则(
1
1
2
n n
a a
+
<-，
当3
n≥
时，(
(
(
22
122
111
222
n
n n n
a a a a
-
--
⎛⎫⎛⎫
-<<<⋅⋅⋅<
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
因为
2
a>
，对于(22
1
2
n
a
-
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
结合指数性质可知：
存在*
n∈N且
3
n≥，当
n n≥
时，使得(22
11
22024
n
a
-
⎛⎫
<
⎪
⎝⎭
，
即(
2
2
11
22024
n
n
a a
-
⎛⎫
-<-<
⎪
⎝⎭
；
综上所述：存在*
n∈N，当
n n≥
时，有
1
2024
n
a≤，故③正确；
故选：①②③.
【点睛】关键点睛：对于③：根据④中结论分析可知：当3
n≥
时，(
2
2
1
2
n
n
a a
-
⎛⎫
<-
⎪
⎝⎭
，结合指数性质分析判断.
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.已知函数
π
()sin2
6
f x x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
．
（1）求()
f x的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数2()()2cos h x f x x =-，求()h x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值．
【答案】（1）π，πππ,π,Z
36k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）0【解析】
【分析】（1）直接利用定义求最小正周期和单调递增区间即可.（2）利用导数求函数最值即可.【小问1详解】
设()f x 的最小正周期为T ，显然2ππ2
T =
=，令πππ
2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，解得
πππ,π,Z 36x k k k ⎡⎤
∈-++∈⎢⎥⎣⎦
.
【小问2详解】
由已知得2
2
π()()2cos sin 22cos 6h x f x x x x ⎛
⎫=-=+
- ⎪⎝
⎭，π()2sin 23h x x ⎛=+'⎫ ⎪⎝⎭
，
当π0,2⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦x 时，令()0h x '<，ππ,32x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，令()0h x '>，π0,3x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，
故()h x 在π0,
3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在ππ,32⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递减，则()h x 最大值是π
()03
h =.
17.某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下：
路口
路口一路口二路口三
遇到红灯的概率
14
1312
遇到红灯停留的时
间
3分钟2分钟1分钟
假设在各路口是否遇到红灯相互独立．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率；
（3）假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计
5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．
（结论不要求证明）
【答案】（1）
14（2）16
（3）增加
【解析】
【分析】（1）易知这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，计算可得结果；
（2）分别求出遇到不同红灯个数时满足题意的概率，由加法公式即可得出结果；
（3）利用期望值定义分别求出红灯时间调整前后红灯停留的总时间平均值，即可得出变化情况是增加的.
【小问1详解】
根据题意可知，这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，因此到第三个路口时首次遇到红灯的概率1111114324
P ⎛⎫⎛⎫=-
⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】
依题意，若仅遇到一个红灯，停留的总时间不会不大于3分钟；
若遇到两个红灯，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到红灯满足题意，此时的概率为11111111114324328
P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若遇到三个红灯，此时的概率为2111143224
P =⨯⨯=；所以因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率为1216
P P P =+=
【小问3详解】根据题意可知，红灯时间没有调整前红灯停留的总时间的取值10,1,2,3,4,5,6ξ=；
则()11111643224
P ξ==⨯⨯=，()111115143224P ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()111114143212P ξ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()11111115311143243224
P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()111112114328P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111111114324
P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1111101114324
P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；可得()111151112365432102424122484412
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；时间都变为2分钟后因红灯停留的总时间的取值20,2,4,6ξ=；
()21111643224
P ξ==⨯⨯=，()2111111111141114324324324P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211111111111211111143243243224
P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2111101114324
P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；可得()2111111364202442446
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=显然()()21E E ξξ>；
所以调整后总时间的变化情况，是“增加”的．
18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为BC ，11A B 的中点，111112A B AC A A ===．
（1）求证：//EF 平面11AA C C ；
（2）若111A A A B ⊥，平面11AA C C ⊥平面11A B BA ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求EF 与平面1A BC 所成角的正弦值．
条件①：111A A A C ⊥；条件②）：111A A B C ⊥；条件③）：AB AC ⊥．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】（1）证明见解析
（2）1515【解析】
【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
取AC 中点M ,连接1,,
ME A M 由于,E M 分别为,BC AC 的中点，所以1//,2
EM AB EM AB =
,又111//,2A F AB A F AB =,所以11//,A F EM A F EM =,因此四边形1A MEF 为平行四边形，
故11//,A M EF A M ⊂平面11AA C C ,EF ⊄平面11AA C C ,
故//EF 平面11AA C C
【小问2详解】
由于平面11AA C C ⊥平面11A B BA ，且交线为1A A ，又111A A A B ⊥，11A B ⊂平面11A B BA ，所以11A B ⊥平面11AA C C ，
11AC ⊂平面11AA
C C ，故11A B ⊥11A C 若选①：111A A A C ⊥；
因此111,A A AC ，11A B 两两垂直，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
()()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,2,1,2,1,1,0,0A B B A C E F ,故()()112,2,0,0,2,2A B A C == ,
设平面1A BC 法向量为 =s s ，
则11220,220A B m x y A C m y z ⋅=+=⋅=+= ，
取1x =，则()1,1,1m =-
，()
0,2,1EF =-- ,
设EF 与平面1A BC 所成角为θ，则15sin cos ,1515EF m EF m EF m
θ⋅=== ，若选择条件②）：111A A B C ⊥；111A A B C ⊥，111A A A B ⊥，111111111,,B C A B B B C A B ⋂=⊂平面111,
A B C 所以1A A ⊥平面111,A B C 11AC ⊂平面111,A
B C 故111A A A C ⊥，因此111,A A AC ，11A B 两两垂直，
以下与选择①相同.
若选择条件③）：AB AC ⊥．
因为1111//,//C AB A B AC A ，所以由1111A B AC ⊥可以推出AB AC ⊥，
此时推不出111A A A C ⊥.此时三棱柱不唯一，故不可选择作为已知条件，19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭32a b =．（1）求椭圆E 的方程；
（2）设斜率为12
的直线l 与E 交于A ，B 两点（异于点P ），直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求||||PM PN
的值．
【答案】（1）22
143
x y +=（2）1
【解析】
【分析】（1
）根据2b =，把点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入，即可求出椭圆方程．（2）设直线l 的方程为12
y x m =+，代入椭圆方程，得2230x mx m ++-=，所以12x x m +=-，2123x x m =-，计算直线PA 的斜率与直线PB 的斜率的和，即可根据对称求解.
【小问1详解】
2b =，设所求椭圆方程为22
22314x y b b
+=，把点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入，得23b =，24a =，∴椭圆方程为22143
x y +=．【小问2详解】
设直线l 的方程为12
y x m =+，代入椭圆方程，整理得2230x mx m ++-=，
设1,1,2,2，
12x x m ∴+=-，2123x x m =-，()22Δ430m m =-->，所以22m -<<,
直线PA 直线斜率为113
21PA y k x -=-，直线PB 直线斜率为223
21PB
y k x -=-，则121221121233(23)(1)(23)(1)22112(1)(1)PA PB y y y x y x k k x x x x -
---+--+=+=----1221(23)(1)(23)(1)
y x y x --+--
1221(23)(1)(23)(1)
x m x x m x =+--++--12122(24)()64x x m x x m
=+-++-22(3)(24)()640
m m m m =-+--+-=所以，0PA PB k k +=，即直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，
故直线PA 与直线PB 关于32y =
对称，因此||||PM PN =．故||1||
PM PN =【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
20.已知函数2()ln(1)(1)
m f x x x =+--，其中R m ∈．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
（2）若()f x 在(2,)+∞上存在极值，求实数m 的取值范围：
（3）写出()f x 的零点个数．（直接写出结论即可）
【答案】（1）3
y x =-+（2）12
m >（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）分类讨论即可结合极值的定义求解，
（3）构造函数()2
ln g t t t =-，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解交点个数求解.
【小问1详解】
当1m =时，21()ln(1)(1)f x x x =+--，则()321(1)1
f x x x -=+--'，故()2211f =-+=-'，()21f =，
()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为()12y x -=--，即3
y x =-+【小问2详解】
()233212(1)(1)1(1)
m m x f x x x x --+-=+--'=-，当0m ≤时，()()0,f x f x '≥在(2,)+∞单调递增，此时无极值点，
当0m >时，令()2
32(1)01(1)
m x f x x x -+-==⇒='-或1x =，
要使得()f x 在(2,)+∞上存在极值，则需要12x =+>，解得12
m >，【小问3详解】令22()ln(1)0(1)ln(1)(1)
m f x x m x x x =+-=⇒=----，令10t x =->，则2ln m t t =-，
记()2
ln g t t t =-，则()()2ln 2ln 1g t t t t t t =--=-+'，当1
2e t ->时，()()0,g t g t '<单调递减，1
20e t -<<时，()()0,g t g t '>单调递增，且121e 2e g -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1t <时，()0g t >，而当t →+∞时，()g t ∞→-，作出()g t 的大致图象如下：故当12e m >
时，无零点，当12e
m =或0m ≤时，一个零点，当102e m <<
时，两个零点，
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
21.给定正整数3n ≥，设集合{}12,,,n A a a a = ．若对任意i ，{1,2,,}j n ∈⋯，i j a a +，i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称集合A 具有性质P ．
（1）分别判断集合{}1,2,3与{}1,0,1,2-是否具有性质P ；
（2）若集合{1,,}A a b =具有性质P ，求a b +的值；
（3）若具有性质P 的集合B 中包含6个元素，且1B ∈，求集合B ．
【答案】（1）集合{}1,2,3不具有性质P ，集合{}1,0,1,2-具有性质P
（2）1
-（3）{}1132,1,0,1,2,3,1,,0,,1,222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭，2112,,0,,,13333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，{}3,2,1,0,1,2---或
311,1,,0,,12
22⎧⎫---⎨⎬⎩⎭【解析】
【分析】（1）根据性质P 的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质P 的定义，首先确定{}01,,a b ∈，再讨论1b +是否属于集合{}1,0,b ，即可确定b 的取值，即可求解；
（3）首先确定集合B 中有0，并且有正数和负数，然后根据性质P 讨论集合中元素的关系，即可求解.
【小问1详解】
集合{}1,2,3中的{}3361,2,3+=∉，{}3301,2,3-=∉，
所以集合{}1,2,3不具有性质P ，
集合{}1,0,1,2-中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合{}1,0,1,2-，
所以集合{}1,0,1,2-具有性质P ；
【小问2详解】
若集合{1,,}A a b =具有性质P ，记{}max 1,,m a b =，则1m ≥，
令i j a a m ==，则{}21,,m a b ∉，从而必有{}01,,a b ∈，
不妨设0a =，则{}1,0,A b =，0b ≠且1b ≠，
令1i a =，j a b =，则{}{}1,11,0,b b b +-⋂≠∅，且{}{}1,11,0,b b b +-⋂≠∅，0b ≠且1b ≠，以下分类讨论：
1）当{}11,0,b b +∈时，若101b b +=⇒=-，此时，{}1,0,1A =-满足性质P ；若110b b +=⇒=，舍；若1b b +=，无解；
2）当{}11,0,b b +∉时，则{}{}1,11,0,b b b --⊆，注意0b ≠且1b ≠，可知b 无解；经检验{}1,0,1A =-符合题意，
综上1a b +=-；
【小问3详解】
首先容易知道集合B 中有0，有正数也有负数，
不妨设{}1112,,...,,0,,,...,k k l B b b b a a a -=---，其中5k l +=，110...,0...l k a a b b <<<<<<，根据题意{}{}1111,...,,,...,l l l k k a a a a b b b ----⊆---，
且{}{}1112112,,...,,,...k k l b b b b b b a a a ----⊆，从而()(),2,3k l =或()3,2，
1）当()(),3,2k l =时，{}{}313212,,b b b b a a --=，
并且{}{}313212312,,b b b b b b b b b -+-+=--⇒=+，{}211221,2a a a a a a -∈⇒=，由上可得()()()()2131322111,,,2,b b b b b b a a a a =--==，并且31213b b b a =+=，综上可知{}111113,2,,0,,2B a a a a a =---；
2）当()(),2,3k l =时，同理可得{}111112,,0,,2,3B a a a a a =--，
据此，当B 中有包含6个元素，且1B ∈时，符合条件的集合B 有5个，
分别是{}1132,1,0,1,2,3,1,,0,,1,222⎧
⎫----⎨⎬⎩⎭，2112,,0,,,13333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭
，{}3,2,1,0,1,2---或
311,1,,0,,12
22⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质P 的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.。