新高一暑假数学预习讲义：第10讲 对数函数

第9讲 对数函数
一、 对数函数
1. 对数函数的概念：一般地，我们把函数 叫做对数函数．
2. 对数函数的图象与性质：
01a <<
1a >
图象
定义域 值域
性质
（1）函数图象过定点
，即当1x =时，
．
（2）在(0)+∞，上是 函数
（2）在(0)+∞，上是 函数
（3）当1x >时，y
0； 当01x <<时，y
0． （3）当1x >时，y
0； 当01x <<时，y
0．
二、 指数函数与对数函数的关系
1．反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，
而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为反函数．
函数()y f x =的反函数通常用1()y f x -=表示． 2．指数函数x y a =与对数函数log a y x =图象关于 对称．
【例1】 下列函数是对数函数的是( )
A ．3log (1)y x =+
B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠
C ．y lnx =
D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且
【例2】 函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1
()8
f 等于( )
A ．3
B ．3-
C ．3log 6-
D ．3log 8-
【例1】 求下列函数的定义域：
（1）()()34log 11
x
f x x x -=
++-； （2）21log (45)y x =--．
【例3】 （1）设{}
{}22|1,|(1)A x y x B y y lg x ==-==-，则(A B = )
A ．{(1,1)}-
B ．{(0,1)}
C ．[1-，0]
D ．[0，1]
（2）函数(21)log 32x y x -=-的定义域是( ) A ．2
(,1)
(1,)3
+∞ B ．1
(,1)
(1,)2
+∞ C ．2(3，)+∞ D ．1
(2
，)+∞
【例2】 ,,a b c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是
A ．c ＞a ＞b
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
【例3】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，
43，310，1
5
，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）．
A ．2，43，15，3
10
B ．2，
43，310，15 C ．15，310，4
3
，2
D ．43，2，310，15
y =log b x y =log c x
y =log a x
1
y
x 1
y
x
【例4】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）．
A B C
D
【例5】 已知32()log f x x =,则(8)f 的值等于（ ）．
A ．1
B ．2
C ．8
D ．12
【例6】 若
23
log 1
a <，则a 的取值范围是
A ．2
03
a <<
B ．23
a >
C ．
2
13
a << D ．2
03
a <<
或a ＞1 【例7】 函数2
12
log (617)y x x =-+的值域是（ ）．
A ．R
B ．[8,)+∞
C ．(,3]-∞-
D ．[3,)+∞
【例8】 比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5l o g 0.
8． 【例9】 若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）．
A ． 1 m n >>
B ．1n m >>
C ．01n m <<<
D ．01m n <<<
【例10】 已知
1112
2
2
log log log b a c
<<，则（ ）
A ．222b a c >>
B ．222a b c >>
C ．222c b a >>
D ．222c a b >>
【例11】 下列大小关系正确的是（ ）．
A ．30.440.43log 0.3<<
B ．30.440.4log 0.33<<
C ．30.44log 0.30.43<<
D ．0.434log 0.330.4<<
【例12】 下面结论中，不正确的是
A ．若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数
B ．函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称
C ．2log a y x =与2log a y x =表示同一函数
D ．若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >>
【例13】 若log 3log 3m n <，求m 和n 的关系．
x
y
1 1
o
x
y o 1 1
o
y x
1
1 o
y x
1
1
【例14】 下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是（ ）
A ．(,1]-∞
B ．41,3⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C ．3[0,)2
D ．[1,2)
【例15】 设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 ． 【例16】 函数22114
4
(log )log 5y x x =-+ 在24x 剟时的值域为 ．
【例17】 已知函数2()(2)f x lg x =+，则满足不等式(21)f x f -<（3）的x 的取值范围为 ．
【例18】 （1）若函数22log (45)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围( )
A ．5(0,)4
B ．[0，5)4
C ．[0，5]4
D ．(-∞，5
0)(4
⋃，)+∞
（2）已知函数2()(2)f x lg ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，1] B ．[0，1] C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ D ．(1,)+∞
【例19】 已知函数2()log f x x =的定义域是[2，16]．设2()(2)[()]g x f x f x =-．
（1）求函数()g x 的解析式及定义域； （2）求函数()g x 的最值．
课后作业
【练1】 方程3log 24x =的解是（
） A ．1
9
B ．
3
3
C ．3
D ．9 【练2】 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（
）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
【练3】 设函数(
)221,0
()log 1,0x
x f x x x ⎧-≤⎪=⎨
+>⎪⎩ 如果()01f x <，求0x 的取值范围．
【练4】 若2
()lg(1)
f x x =
-，则()f x 的定义域是（
）
A ．(1)+∞，
B ．(01)(1)+∞，，
C ．(1)(10)-∞--，
，
D ．(0)(01)-∞，
， 【练5】 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A ．21
()1
x f x x -=-与()1g x x =+
B ．2()f x x =与()g x x =
C ．()f x x =与2()log 2x g x =
D ．()2lg f x x =与2()lg g x x =
【练6】 图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，
l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（
）
A ．01a b d c <<<<<
B ．01b a c d <<<<<
C ．01d c a b <<<<<
D ．01c d a b <<<<<
【练7】 函数22log (2)y x =+的值域是
【练8】 已知函数()(2)(2)f x lg x lg x =++-．
（1）求函数()f x 的定义域；
（2）若不等式()f x m >有解，求实数m 的取值范围．
x
y
O
y=log a x
y=log b x
y=log c x
y=log d x。