专题11 导数与定积分(解析版)2016-2020年高考数学(理)真题命题轨迹

第三章 导数
专题11 导数与定积分
考点1 导数的几何意义
1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数()43
2f x x x =-的图像在点(
)()
1,1f 处的切线方程为
（ ） A ．21y x =
-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 【答案】B 【解析】
()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程
为()121y x +=--，即21y x =-+，故选B ．
2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数10】若直线l 与曲线y 和圆221
5
x y +=
相切，则l 的方程为（ ） A ．21y x =+ B ．122y x =+ C ．1
12
y x =+ D ．1122y x =+
【答案】D
【解析】解法一：由与圆相切，故圆心到直线的距离为圆半径，符合条件的只有A ，D ，将答案A 的直线方程带入，无解；将答案AD 的直线方程带入()0,0r =
y 210x =y =
，有一解．故选D ．
解法二：设直线l
在曲线y =
(0x ，则00x >
，函数y =
y '=
，则
直线l
的斜率k =
，设直线l
的方程为)0y x x =-
，即00x x -+=，由于直线l 与圆2
2
15x y +=相切，
=，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015
x =-（舍），
则直线l 的方程为210x y -+=，即11
22
y x =
+，故选D ． 3. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -=，1b =-
【答案】D
【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．
4. 【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =
【答案】D
【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.
5. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线2
3()e x
y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=
【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==， 则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．
10x -=1x =
6. 【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】y =2x
【解析】∵y ′=2x+1，∴在点（0,0）处切线的斜率为k =2
0+1=2，则所求的切线方程为y =2x .
7. 【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线()1e x
y ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．
【答案】−3
【解析】()e 1e x
x
y a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以a =−3.
8. 【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =--
【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，
所以1
()3f x x
'=
-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 9. 【2018年高考北京理数】设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ． （Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅰ）若()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）（
1
2
，+∞）． 【解析】（Ⅰ）因为()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ，所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1）］e x +［ax 2–（4a +1）x +4a +3］e x =［ax 2–（2a +1）x +2］e x ．f ′(1)=(1–a )e ．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1．此时f (1)=3e≠0．所以a 的值为1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x ． 若a >
12，则当x ∈(1
a
，2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0． 所以f (x )在x =2处取得极小值． 若a ≤
12，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤1
2
x –1<0， 所以f ′(x )>0．
所以2不是f (x )的极小值点．
综上可知，a 的取值范围是（
1
2
，+∞）． 10. 【2018年高考天津理数】已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中a >1. （I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；
（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明
122ln ln ()ln a
x g x a
+=-
； （III ）证明当1e
e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y
f x =的切线，也是曲线()y
g x =的切线.
【答案】（I ）函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞；（II ）见解析；（III ）见解析. 【解析】（I ）由已知，()ln x h x a x a =-，有()ln ln x h x a a a '=-. 令()0h x '=，解得x =0.
由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：
所以函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.
（II ）由()ln x
f x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x
a a .
由1()ln g x x a '=
，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21
ln x a
. 因为这两条切线平行，故有121
ln ln x
a a x a
=
，即122(ln )1x x a a =.
两边取以a 为底的对数，得21log 2log ln 0a a x x a ++=，所以122ln ln ()ln a
x g x a
+=-. （III ）曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线l 1：111ln ()x x y a a a x x -=⋅-. 曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线l 2：2221
log ()ln a y x x x x a
-=
-. 要证明当1e
e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y
f x =的切线，也是曲线()y
g x =的切线，只需证明当1e
e
a ≥
时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1与l 2重合.
即只需证明当1e e a ≥时，方程组1
112
12
1ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
①②
有解．
由①得122
1(ln )x x a a =
，代入②，得11
11
12ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a -+++=. ③ 因此，只需证明当1
e
e a ≥时，关于x 1的方程③存在实数解.
设函数12ln ln ()ln ln ln x
x
a u x a xa a x a a
=-+++，即要证明当1
e e a ≥时，函数()y u x =存在零点. 2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，
2
1
(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦
，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值0()u x .
因为1e
e a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln x
x a a a u x a x a a x x a a x a a a
+=-++
+=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.
由（I ）可得1ln x
a x a ≥+，
当1
ln x a
>
时， 有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a
≤+-+++=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <．
因此，当1e
e a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.
所以，当1
e
e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y
f x =的切线，也是曲线()y
g x =的切线.。