高中数学选修2-1课时作业6：3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3 空间向量的数量积运算
一、选择题
1．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a·(b ＋c )的值为
( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－2
[解析]选B.a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＝0.
2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是( )
A.AB →与A ′C ′→
B.AB →与C ′A ′→
C.AB →与A ′D ′→
D.AB →与B ′A ′→
[解析]选B.〈AB →，A ′C ′→〉＝〈AB →，AC →〉＝45°；〈AB →，C ′A ′→〉＝180°－〈AB →，AC →〉＝135°；
〈AB →，A ′D ′→〉＝〈AB →，AD →〉＝90°；〈AB →，B ′A ′→〉＝180°.
3．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．以上都不对
[解析]选D.由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|c |2，由此可得a·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝14
.故[答案]为D. 4．已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[解析]选C.AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0
＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD →|＝1.
∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|
＝12×1＝12.∴a 与b 所成的角是60°. 5．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD
是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
[解析]选B.如图所示，
设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，∴CB →·CD →＝(a －b )·(c －b )＝a ·c －b ·c －a ·b ＋b 2＝b 2＞0.
同理BC →·BD →＞0，DB →·DC →＞0.
∴△BCD 的各内角均为锐角，即△BCD 为锐角三角形．
6．(2011年太原模拟)设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)
＝0，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
[解析]选B.(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴|AB →|＝|AC →|.
所以△ABC 是等腰三角形．
二、填空题
7．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________.
[解析]由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，即a 2＋λb 2＋(λ＋1)a·b ＝0.
∴(32)2＋42·λ＋(λ＋1)·32×4×cos135°＝0.解得λ＝－32
. [答案]－32
8．已知a ，b ，c 两两夹角都是60°，其模都是1，则|a －b ＋2c |＝________.
[解析]∵(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－1＋2－2＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.
[答案] 5
9．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.
[解析]如下图，设AB →＝b ，AC →＝c ，AD →＝d ，则CD →＝d －c ，BD →＝d －b ，BC →＝c －b ，
所以原式＝b ·(d －c )＋d ·(c －b )－c ·(d －b )＝0.
[答案]0
三、解答题
10．已知正四面体OABC 的棱长为1.求：
(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.
解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12
. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →) ＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.
(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝2()OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r ＝12＋12＋12＋21×1×cos60°×3＝ 6.
11．如图，已知E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，试求向量A 1C 1→与DE →所成角
的余弦值．
解：设正方体的棱长为m ，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则
|
a |＝|
b |＝|
c |＝m .a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.
又∵A 1C 1→＝A 1B 1→＋B 1C 1→＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DE →＝DD 1→＋D 1E →＝DD 1→＋12D 1C 1→＝c ＋12
a . ∴A 1C 1→·DE →＝(a ＋
b )·⎝⎛⎭⎫
c ＋12a ＝a·c ＋b·c ＋12a 2＋12a·b ＝12a 2＝12m 2.又∵|A 1C 1→|＝2m ，|DE →|＝52
m . ∴cos 〈A 1C 1→，DE →〉＝A 1C 1→·DE →|A 1C 1→|·|DE →|＝12m 22m ·52
m ＝1010， ∴A 1C 1→与DE →所成角的余弦值为1010
. 12．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为正方形ABCD 和AA 1B 1B 的中心．
(1)求证：AC 1⊥平面A 1BD ；
(2)求D 1M →与CN →夹角的余弦值．
解：(1)证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c .BD →＝b －a ，A 1B →＝a －c ，且a·b
＝a·c ＝b·c ＝0，则有AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝b 2－a 2＋b·c －a·c ＝|b |2－|a |2＝0.
同理，AC 1→·A 1B →＝0.∴AC 1→⊥BD →，AC 1→⊥A 1B →，∴AC 1⊥平面A 1BD .
(2)设正方体的棱长为a ，D 1M →＝D 1D →＋DM →＝－c ＋12(a －b )，CN →＝CB →＋BN →＝－b ＋12
(c －a )， ∴|D 1M →|2＝⎣⎡⎦⎤－c ＋12a －b 2＝a 2＋14a 2＋14a 2＝32
a 2， ∴|D 1M →|＝62a .同理|CN →|＝62a .又D 1M →·CN →＝⎣⎡⎦⎤－c ＋12a －
b ·⎣⎡⎦
⎤－b ＋12c －a ＝－12|c |2－14|a |2＋12|b |2＝－14a 2，∴cos 〈D 1M →，CN →〉＝－14a 262a ·62
a ＝－16.。