射影几何中仿射变换解初等几何题
解析几何第五章习题及解答
第五章 正交变换和仿射变换习题5.1 1.证明变换的乘法适合结合律，即 123123()().σσσσσσ=证明：设:,1,2,3.i S S i σ→=，显然都是S 的变换，对任给a S ∈，有123123123[()]()[()()][(())],a a a σσσσσσσσσ== 123123123[()]()()[()][(())],a a a σσσσσσσσσ==因此 123123[()]()[()](),a a σσσσσσ= 从而 123123()().σσσσσσ= 2.求出平面上对直线y x =的反射公式。
解：在直角坐标系中，设点(,)P x y 关于直线y x =的对称点是(,)P x y '''，则,P P '的中点在直线y x =上，且PP '与直线垂直，因此有：,22()()0,x x y yx x y y ''++⎧=⎪⎨⎪''-+-=⎩ 得到,,x y y x '=⎧⎨'=⎩即平面上对直线y x =的反射公式：01.10x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.设平面上直线l 的方程0Ax By C ++=，求平面对于直线l 的反射的公式。
解：在直角坐标系中，设点(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点是(,)P x y '''，则,P P '的中点在直线0Ax By C ++=上，且PP '与直线垂直，因此有：0,22()()0,x xy y A B C x x B y y A ''++⎧++=⎪⎨⎪''---=⎩ 解此方程得到平面对于直线l 的反射的公式：222222221[()22],1[2()2].x B A x ABy AC A B y ABx A B y BC A B⎧'=---⎪⎪+⎨⎪'=-+--⎪⎩+4. 设12,l l 是平面上两条平行直线，而12,σσ分别是平面对于直线12,l l 的反射，证明12σσ是一个平移。
高考数学解析几何专题讲义第28讲--仿射变换
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) （其中）与过点
A2,0, B 0,1 的直线有只且只有1个公共点 T
，且
椭圆的离心率 e 3 ． 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（ Ⅱ ） 设 F1, F2 分 别 为 椭 圆 的 焦 点 ， M 为 线 段 AF2 的 中 点 ， 求 证 ：
ATM AF1T ． 解析： （Ⅰ）如下图
当椭圆的内接四边形的面积 2ab 时， 其对应的圆内接四边形的面积就是 2ab 1 2 ，
ab 由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为 2 ，
而这样的内接正方形有无数个，
还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，
故选 D．
【例
4】（2014 年高考全国新课标
1 卷理第
20
题）已知点 A0, 2 ，椭圆 E ：
解析：
在伸缩变换
:
x
y
x a y b
下，椭圆（如下图）变成圆，
（Ⅰ）由伸缩变换性质知 kAB
a b
k
AB
a b
, kOP
a b
kOP
a 2b
，
又在椭圆中 P 为 AB 的中点，则在单位圆中 P 为 AB 的中点，
则 OP
AB ，故 kABkOP
a2 2b2
1，
即 a2 2b2 ，
又因为直线 x y 3 0 过椭圆的右焦点，
bk． a
性质 3：线段 AB 中点 E 变成线段 AB 中点 E ．
性质 4：直线与曲线的位置关系保持不变．
性质 5：直线 AB 上线段成比例，则变成直线 AB 上对应的线段仍成比例．
性质
6：
S
第十五章 仿射变换
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
例5：求椭圆的面积。 分析：椭圆是一个二次曲线，用初等几何和微积分的知识进行推导 比较繁琐。考虑到圆经过仿射变换对应一个椭圆，所以椭圆也可 以通过一个适当的仿射变换对应成一个圆。
解：在直角坐标系下，椭圆
x y 1 a 2 b2
2
2YΒιβλιοθήκη B’ B A O A’ X
第十五章 仿射变换
目录
仿射变换的定义 仿射变换的性质 仿射变换与初等几何的相关联系 仿射变换在初等几何解题中的应用 结束语
一、仿射变换的定义
定义：如果平面上的一个点变换，把共线的任意 三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不 变，称这个点变换为仿射变换。
二、仿射变换的性质
1.仿射变换保持同素性:即仿射变换将点变成点, 直线变成直线. 2.仿射变换保持结合性:即仿射变换保持点与直线 的结合关系. 3.仿射变换将向量变成向量,且保持向量的线性关 系
三、仿射变换与初等几何的相关联系
变换群 几何学
射影群
射影几何
仿射群
仿射几何
正交群
欧式几何
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（一）平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。 因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质， 解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平 行线段之比是仿射不变量。
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
1 2
1 5
D F A
C
G E B
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（四）仿射变换在椭圆中的应用 例4：证明椭圆的外切三角形的顶点与对边上的 切点连线交于一点。 分析：此题是关于线共点的问题，由于椭圆的一 般性以及三角形的一般性，用初等几何比较难 入手，但可以用仿射几何的方法进行转化，变 成特殊的圆，以及正三角形来加以研究。
仿射几何及其在初等几何的应用
仿射几何及其在初等几何的应用冯朝华摘要：数学概念的辨证性质，渗透贯穿在数学各个部分之中，数学概念是研究数学性质的最基本的条件，我们从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射几何在初等几何中的一些应用。
关键字：平行射影 简比 仿射性 仿射量 共线点定义1 对于a 和a ′是平面不平行的两条直线，设l 为平面上一条直线，通过直线a 上的诸点A ，B ，C ，D ，……作l 的平行线，交a ′于A`，B`，C`，D`，……，这样便定义了直线a 到a ′的一个映射。
称为透射仿射(平行射影)，a 上的点为原象点，a ′上的点为象点，l 为平行射影的方向，记这个透射仿射为T ，则写A ′=T(A )。
有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形——平面到平面的透射仿射。
如下图所示，设π与π`为空间中的两个平面，l 是跟这两个平面都不平行的方向(向量)。
平面π上的直线a ，对过直线上的点A 作平行于l 的直线交平面π`于点A`，用同样的方法可作出点B 和点C 的对应点B`，C`。
于是便建立了平面π到π`的对应关系。
称为π到π`依方向l 的透射仿射。
根据初等几何的知识，我们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质： ○1π与π`之间的点建立一一对应关系，即π上的点通过变换成为π`上点；π上的直线变成了π`上的直线；○2若一个点A 在l 上，则A 的对应点A`也应在l 的对应直线l`上； ○3π上平行的两直线变到π`上的两条直线也是平行的。
○4直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C 是π上共线的三点，A`，B`，C`分别是它们的象点，则BCAB C B B A ````。
我们把○1称为透射仿射具有同素性，把满足○2称为透射仿射具有结合性。
而满足○3则称为透射仿射具有平行性。
这是二平面间的透射仿射变换的概念和一些性质，利用此可以建立仿射变换的概念。
射影几何简答题选讲
射影几何简答题选讲June11,2015重要概念一维仿射中心射影、平行射影、简比、仿射对应、仿射坐标二维仿射仿射性质一维射影交比、一维射影对应（变换）、一维射影坐标、一维透视对应、一维对合、简单n点形与简单n线形、完全四点形与完全四线形二维射影二维射影对应（变换）、射影性质对偶对偶图形、对偶变换、对偶命题、对偶原理二次曲线二阶曲线、二级曲线、切线、切点、共轭点、极线与极点、配极原理例子•仿射变换将直线变成直线，将平行直线变成平行直线，将相等的向量变成相等得向量；仿射变换不改变封闭图像的面积之比。
•注意：长度相等的线段经过仿射变换后，其长度不一定相等。
例1.指出下列图形通过仿射变换变成什么图形？正方形、梯形、等边三角形、两个合同的矩形、三角形的重心、三角形的垂心、三角形的内心、圆的中心。
1解.正方形变成平行四边形（注意不一定变成菱形），梯形变梯形，等边三角形变三角形，两个合同的矩形变成两个等积的平行四边形，三角形的重心变成对应三角形的重心，三角形的垂心变成对应三角形所在平面上的一个点，圆的中心变成椭圆的中心。
•对偶是高等几何的重要内容：对偶图形、对偶运算、对偶命题。
例2.写出笛沙格定理及其对偶定理。
解.•笛沙格定理两个三点形对应顶点连线交于一点时，对应边的交点共线。
•对偶定理两个三线形对应边交点共线时，对应顶点的连线交于一点。
注3.这两个定理既互相对偶，又互为逆定理。
例4.写出下列命题的对偶命题：过相异两点(a 1,a 2,a 3)和(b 1,b 2,b 3)的直线方程为 x 1x 2x 3a 1a 2a 3b 1b 2b 3=0,坐标为( a 2a 3b 2b 3 ,a 3a 1b 3b 1 , a 1a 2b 1b 2).解.对偶命题为相异两直线(a 1,a 2,a 3)和(b 1,b 2,b 3)的交点方程为u 1u 2u 3a 1a 2a 3b 1b 2b 3=0，坐标为( a 2a 3b 2b 3 , a 3a 1b 3b 1 , a 1a 2b 1b 2)。
第2章仿射变换作业
第2章 仿射变换作业1．填空（１） 仿射变换把矩形变成_________________．（２） 仿射变换把菱形变成_________________．（３） 仿射变换把平行线变成_________________．（４） 仿射变换把圆变成_________________．（５） 仿射变换把正三角形变成_________________．（６）设线性变换⎩⎨⎧++='++='2222111211a y a x a y a y a x a x ，如果⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211a a a a 是_________矩阵，则这个变换是正交变换．（７）设共线三点)2,0(A ，)0,2(B ，)1,1(C ，则=)(ABC ____，=)(ACB _______． （８）两条相交直线经仿射变换后变成__________________．（９）共点的直线经仿射变换后变成__________________．（10）共线的点经仿射变换后变成_______________．(11) 不共线的点经仿射变换后变成__________________．（12）射影变换把直线变成__________，并保持点与直线的结合关系．（13）射影变换把不共线的点变成_________________．（14）射影变换把四点形变成_________________． （15）仿射变换把三角形的中线变成_________；把中位线变成_______________．（16）仿射变换把两个全等的矩形变成___________________．2．单项选择（１）正方形在仿射变换下变成（ ）． Ａ．正方形 Ｂ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．矩形（２）梯形在仿射变换下变成（ ）．Ａ．梯形 Ｂ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．矩形（３）设点C B A ,,共线，且在仿射变换下分别变成C B A ''',,，则C B A ''',,三点（ ）．Ａ．共线 Ｂ．三角形顶点 Ｃ．可能不共线 Ｄ．可能重合（４）三角形内的一点在仿射变换下变成（ ）． Ａ．三角形外的一点 Ｂ．三角形的顶点Ｃ．三角形内的一点 Ｄ．三角形边上的内点（５） A 、B 、C 、D 为直线上的互异的四点，C 、D 在A 、B 之内，则四点交比（AB ，CD ）（ ）．A ． 大于零B ． 小于零C ． 等于零D ．无穷大（６）在仿射对应下，哪些量不变．（） A ．长度 B ．角度 C ．单比 D ．交比（７）仿射对应是平行射影的充分必要条件为（ ）．A ．象点与原象点的连线平行B ．象点与原象点的连线交于一点C ．不可判定D ． 象点与原象点不平行3．写出将点)0,1(、)1,1(分别变成)0,2(、)0,1(下的正交变换公式．4．求出将点)3,2(变成)1,0(-的平移变换，在这个平移下，抛物线．01882=+--y x y 变成什么曲线？5．求出将点)1,3(变成)3,1(-的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线01882=+--y x y 上．6．求中心在原点，半径分别为３和２并以直线02=-y x 为长轴的椭圆方程．7．平面上是否存在仿射变换，使点)2,1(、)6,3(和)4,2(--分别变成点)1,1(--、)0,0(和)2,2(8． 证明，直线0=++C By Ax 将两点),(111y x P 与),(222y x P 的连线段分成的比是C By Ax C By Ax ++++-2211．。
射影定理模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是．①AD 2＝BD •DC ；②AB 2＝BD •BC ；AC 2＝CD •BC ．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．【例3】．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是9．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC 交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为2．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG•AC＝84，∴CE＝2．故答案为2．【变式6】．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在实战演练BC 的延长线上，且CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AC ，若∠ACD ＝90°，AE ＝4，CF ＝2，求EC 和AC的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：如图，∵CF ＝BE ，CF ＝2，∴BE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∵AE ⊥BC ，∴AE 2＝BE •EC （射影定理），∴EC ＝＝＝8，∴AC ＝＝＝4．1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE ＝，AD ＝4，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故选：C．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4B．2C．D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB＝2，则AP等于（）A．B．C．D．解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂线，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面积公式可得PC＝，∵BC为直径，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故选：B．4．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA•PB；②PC•OC＝OP•CD；③OA2＝OD•OP；④OA（CP﹣CD）＝AP•CD，正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA•PB；②∵OC⊥PC，∴PC•OC＝OP•CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD•OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD•OP；④∵AP•CD＝OC•CP﹣OA•CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP•CD，所以正确的有①，②，③，④，共4个．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝4，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案为．6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG 的延长线交CD于点F．F为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG＝1，则CD的长为2+2，cos∠DEC的值为﹣1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折叠的性质得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，则BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG•BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案为：2+2，﹣1．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC ⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是．解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（﹣，0），由于图象过一、二、三象限，故k＞0，又因为BC⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO•CO，代入数值为：1＝•CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO•DO，代入数值为：k2＝1•DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根据射影定理，EO2＝DO•OF，即（k++）2＝k2•（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO•EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，＝×OC×BD＝BC•DK，∵S△DCB∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值为．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案为：．9．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质得：AF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，设EG＝x，则AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG•AE（射影定理），即42＝2x•3x，解得：x＝（负值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的长为4；（2）当点E，C'，D三点共线时，如图3，由②可知，BC＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．11．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．。
第四章 仿射变换在初等几何证明中的作用_作业
一、必做作业
1．用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题：
1）过的顶点任作一条直线，
与边及中线分别交于点及，求
证．
证明1(初等几何)：过点B作CF∥BH,
并延长AD交HB于点G.
因为CD=DB,易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG;
由平行线分线段成比例，则AE:EG=AF:FB,又EG=2ED,所以AE:2ED=AF:FB,即AE:ED=2AF:FB.
证明2（仿射变换）建立仿射坐标系：A(0，
0),B(b，0)，C(0，c)则D(b/2,c/2),下面设
CF:y=kx+c,分别求E和F的坐标。
因为AB:y=0，
从而得到F(-c/k,0),
2）（梅耐劳斯定理）设
分别在的边
及（或延长线）上，
求证：三点共线的充
要条件是
证明：如图，建立仿射坐标系：
3）已知
中，是边上的中点，是上的任一点，连结
并延长交于，连并延长交
于，求证//．
证明：如图，延长AD 至K 使得
AKC 中，根据平行线分线=AF AE FB EC ，所以FE ∥BC。
用仿射变换解决初等几何中的一些问题
步阐述了仿射几何学对欧氏几何学的指导作用，从而揭示仿射几何学 也有 EF∥BC。
与欧氏几何学的内在联系。
三、共点线或共线点的问题
关键词：仿射变换 仿射性质 初等几何 应用
由于仿射变换保持同素性和结识点之一，而仿射变换则是仿射 将共线点变为共线点，因此，当命
G′、H′，在等腰梯形 A′B′C′D′中易证 E′、F′、G′、H′四点共线，故由仿射性 道：平行四边形经过仿射变换后仍为平行四边形，特殊的可变为正方形;
梯形经过仿射变换后仍为梯形，特殊的可变为等腰梯形。
质可知 E、F、G、H 四点共线。
在初等几何中，但凡仅涉及图形的点线结合性、平行性、简比、多边
二、两条直线平行的问题
［4］李长明，周焕山.初等数学研究［M］.高等教育出版社，1999.1.
由于仿射变换保持两条直线的平行性不变，因此，当命题要证两条
直线平行时可考虑仿射变换。
A
A′
例 ：设 在 △ABC 中 ，AD 是
BC 边上的中线，DE、DF 分别是
∠ADB 和∠ADC 的平分线，DE、 E
起来，将一般问题化为特殊问题来处理，从而使解题的难度大大降低，
解：设椭圆的标准方程为xa22
+
y2 b2
=1（a＞b＞0），如
问题就能轻而易举地得到解决。利用仿射变换的仿射性质，仿射变换可
x′=x
解决以下一些初等几何问题。 一、共线的两线段相等或成定比的问题
右图，将该椭圆经过仿射变换
y′=
a b
后其对 y
y B′
B
A′
O
Ax
由于仿射变换保持共线三点的简比不变，因此，当命题要证共线的 应图形为圆 x′2+y′2=a2，在此仿射变换之下，点
高中数学圆锥曲线系统讲解第31讲《仿射变换》练习及答案
第 1讲 仿射变换知识与方法在椭圆()222210x y a b a b+=>>中，我们运用坐标变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则可以得到圆222x y a ''+=，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.典型例题【例1】设直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A 、B 两点，则AOB 的面积的最大值为_______.【解析】解法1：当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x t =()0a t a t −<<≠且 联立22221x tx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，所以2221222AOBb a t t abSt a −+==≤⋅=，当且仅当222a t t−=，即2t =时取等号，所以()max 2AOB ab S =当直线l 斜率存在时，设其方程为()0y kx m m =+≠，设()11,A x y ，()22,y B x ， 联立22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22222222220a k b x kma x a m a b +++−=，判别式()()()2242222222222222444k m a a k b a m a b a b a k m b ∆=−+−=−+①，所以12AB x x =−=，原点O 到直线l 的距离d =，从而1122AOBSAB d =⋅==2222222222ab a k m b m aba kb −++≤⋅=+ 当且仅当22222a k m b m −+=时取等号，此时22222a k b m +=，代入①知22240a b m ∆=>，故()max 2AOB abS =，综上所述，AOB 的面积的最大值为2ab . 解法2：作变换x x a y y b '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆222x y a ''+=，如图，因为21sin sin 22A OB a SO A O B A O B A O B '''''''''''''=⋅⋅∠=∠， 所以当90A O B '''∠=︒时，A O B S '''∠取得最大值22a ，因为a S S b '=，所以bS S a'=，从而AOB S的最大值为222a b aba ⋅=.【答案】2ab 【例2】已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A 、B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积为_______.【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为14−，其推导方法是设点P 的坐标，运用点P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA 、PB 的斜率之积，得出斜率之积为定值，其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '+=，如图，在圆O '中，显然A B ''是直径，所以P A P B ''''⊥，从而1P A P B k k ''''⋅=−， 又2P A PA k k ''=，2P B PB k k ''=，所以41P A P B PA PB k k k k ''''⋅=⋅=−，故14PA PB k k ⋅=−.【答案】14−【例3】已知过点11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆22:142x y C +=交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为_______.【解析】解法1：如图1，由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=−，而1OM k =，所以12AB k =−，从而直线l 的方程为111222y x ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即2430x y +−=解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '''+=，如图2，在圆O '中，M '仍为A B ''中点，所以O M A B ''''⊥，且122M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线O M ''的斜率为，从而直线A B ''的斜率为2，故直线A B ''的方程为1222y x ⎫''−=−−⎪⎝⎭，即24x y ''+−=，将x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入可得024x −=，即2430x y +−=，所以直线AB 的方程为2430x y +−=【答案】2430x y +−=【例4】已知椭圆22:12x C y +=的A 、B 两点满足直线OA 、OB 的斜率之积为12−，其中O为原点，点P 在射线OA 上，且2OP OA =，若PB 与椭圆交于另一点Q ，则BP BQ=_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图，则O A OA k ''=，O B OB k ''=，由题意，所以21O A O B OA OB k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O A O B ''''⊥，显然O P ''=O B ''=，O Q ''=，所以P B ''==，作O G P B '''⊥于G ，则O P O B O G P B ''''⋅'=''，B G '=O B O Q ''''=，所以G 为B Q ''的中点，从而25B Q B G ''''==，故52B P B Q ''=''，所以在变换前的图形中，52BP BQ =.【答案】52【反思】在椭圆()222210x y a b a b +=>>中，若涉及到了两直线的斜率之积为22b a−，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为1−，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.强化训练1.（★★★★）已知椭圆22:14x C y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是_______.【解析】解法1：如图1，()0,1A ，()2,0B ，所以A 、B 两点到直线MN的距离分别为1d =，2d =y kx =代入2214x y +=化简得：()22144k x +=，解得：x =以MN =AMBN 的面积()122121122k S MN d d ⎛⎫+=⋅+=+====≤=当日仅当14k k =，即12k =时取等号，所以四边形AMBN 的面积的最大值是 解法2：作变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变成圆22:4O x y '''+=，如图2，显然4M N ''=，由图可知A '和B '到直线M N ''的距离之和在A B M N ''''⊥时取得最大值，且最大值为A B ''=A M B N ''''的面积S '的最大值为11422M N A B '''⋅=⨯⨯= 因为2S S '=，所以四边形AMBN的面积的最大值是【答案】2.（★★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则MON 的面积为_______.【解析】解法1：如图1，由图形的对称性，不妨假设M 在第一象限，N 在第二象限， 由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，设()0OM k k k =>，则13ONk k =−，联立2213y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22133k x +=，解得：x =，所以M x =，故M y =M ，同理可得N ⎛⎫ ⎝，所以2MONS⎛⎫== ⎝. 解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:3O x y '''+=，如图2，变换前，由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，变换后，O M OM k ''=，O N ON k ''=，所以31O M O N OM ON k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O M O N ''''⊥，故1322M O N S'''==，又3M O N MONS S'''=，所以MONS=【答案】23.（★★★★）已知椭圆22:12x C y +=上有点2P ⎝⎭，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为_______.【解析】作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '+=，如图1中，作PQ x ⊥轴交椭圆C 于Q ，则在图2中，P Q x '''⊥轴，由题意，在图1中，MPQ NPQ ∠=∠，所以在图2中，M P Q N P Q ''''''∠=∠，所以M Q N Q ''''=，故Q '是M N ''的中点，从而O Q M N ''''⊥，在图1中，由对称性可得2Q ⎛ ⎝⎭，所以在图2中，2Q '⎝⎭，从而O Q k ''=，所以3M N k ''=，又M N MN k ''=，所以6MN k =.4.（★★★★）已知A 、B 、C 是椭圆22:12x E y +=上的三个动点，则ABC 的面积的最大值为_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆E 变成圆22:2O x y '''+=，如图，显然当A B C '''的面积取得最大值时，应有C D A B '''⊥，且C D O D O C ''''=+设(0O D d d '=≤，则C D d '=，A B ''==所以((1122A B C S A B C D d d ''''''=⋅=⨯=+， 从而()()()()23221233A B C S dd ddd ddd '''=−+=−+=++41327344d d d d ⎛⎫++≤⋅= ⎪ ⎪⎝⎭故A B C S'''≤，当且仅当3d d =时取等号，此时，d =，所以A B C '''，又2A B C ABCS S'''=，所以ABC 的面和的最大值为4.2.5.（★★★★）设A 、B 两点在椭圆22:12x C y +=上，且AB 的中点为12Q ⎫⎪⎪⎝⎭，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为_______. 【解析】不难发现A 为上顶点，B 为右顶点，作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图在图2中，22Q ⎛' ⎝⎭，且P A ''和P B ''的中点都在圆O '上，所以点P '在A B ''的中垂线y x ''=上，显然原点O '也在直线y x ''=上，从而直线O P ''的斜率为1，因为O P OP k ''=，所以2OP k =.6.（★★★★）已知直线:20l x +−=与椭圆22:12x C y +=相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l '与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若2PT PA PB λ=⋅，则λ=_______.【解析】解法1：联立222012x x y ⎧+−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，因为l '与直线l 平行，所以可设:l x m '=+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,O x y ，联立20x m x ⎧=+⎪⎨−=⎪⎩解得：)24m y −=，所以)024m y −=，从而0PT y =−=−=，故2238PT m =))10201222344m m PA PB y y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−⋅=−−=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，联立2212x mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：22420y m ++−=①,因为1y 、2y 是方程①的两根，所以()()2212424y m y y y y ++−=−−②， 在②中令)24m y −=可得())))22122222242416444m m m m m y y ⎛⎫−−−−⋅++−=−− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得：))21222448m m m y y ⎛⎫⎛⎫−−−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而238mPA PB ⋅=，所以2PT PA PB =⋅，故1λ=.解法2：作变换联立222012x x y ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以2T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，从而变换后，()1,1T '，直线O T ''和直线A B ''的斜率为1，直线P T ''的斜率为1−， 从而P TP T PT x x P T x x ''−==''−，又由变换过程知P P x x '=，T T x x '=，所以2PT P T =''，同理可得，PA P A ==''，PB P B ==''， 所以2234PT P T ''=，34PA PB P A P B ''''⋅=⋅，从而22PT P T PA PB P A P B ''=''''⋅⋅， 在图2中，由切割线定理，2P T P A P B ''''''=⋅，所以21P T P A P B ''=''''⋅，故21PTPA PB=⋅，因为2PT PA PB λ=⋅，所以21PTPA PBλ==⋅.【答案】1【反思】本题改编自2016年四川高考的解析几何大题，可以看到，运用放射变换，问题可以轻松解决。
部编数学九年级下册专项32相似三角形射影定理综合应用(2种类型)(解析版)含答案
专项32 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型） 一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广 １．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
【类型1：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【变式1-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ）A．4B．4C．4D．【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得：CD＝4，故选：A．【变式1-2】（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为（ ）A．B．C．D．2【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△BDA∽△ADC，∴＝，∵AD＝3，CD＝4，∴＝，解得：BD＝，故选：A．【变式1-3】（2020秋•梁平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA 【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．故选：B．【变式1-4】（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ）A．3B．8C．D．2【答案】A【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．【类型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（ ）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】A【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．∵AC2＝AP•AB，∴＝．∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△CPA．∴∠B＝∠ACP＝45°．故选：A．【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则AC的长为（ ）A．2B．C．5D．2【答案】B【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4＝7，∴，∴AC＝或﹣（舍去），故选：B．【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴AC2＝2×6＝12，∴AC＝2．【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 ．【答案】8【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝ ．【答案】2【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，设BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，∴CD＝2．1.（2022秋•义乌市月考）如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．A．B．C．6D．【答案】B【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝3m；∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠F，∴△EDC∽△CDF，∴＝，即DC2＝ED•FD＝2×3＝6，解得CD＝m．故选：B．2．（2012•麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（ ）A．3B．4C．4D．2【答案】D【解答】解：延长EC交圆于点F，连接DF．则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．则DE＝4．在直角△ADF中，根据射影定理，得EF＝＝4．根据勾股定理，得DF＝＝4，则圆的半径是2．故选：D．3．（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 ．【答案】6【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD2＝CD•BD＝36，∴AD＝6，故答案为：6．4．（2021春•汉阴县期中）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD 交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝ cm．【答案】3【解答】解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x （3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．5．（2022•武汉模拟）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是 ．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．6．（2021秋•滦州市期中）已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长．【解答】解：（1）∵两根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝3．7．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝∠BAC，又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴＝，∴BA2＝BD•BC，∵AB＝4，BC＝8，∴BD＝2．即AC⋅CF＝CB⋅DF．8．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E 在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的长．【解答】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD•AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即＝，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）方法一：∵BC＝CD＝6，而DE＝2CE，∴DE＝4，CE＝2，在Rt△BCE中，BE＝＝2，在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，∵△BOF∽△BED，∴＝，即＝，∴OF＝．方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，∵OG＝OF，∴△OGF为等腰直角三角形，∴∠OGF＝45°，∴G点在BE上，∵BG＝CF＝，∴GF＝，∴OF＝GF＝．。
射影几何在中学几何中的应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)0引言 (2)1 射影几何与中学几何的关系 (2)1.1 射影学的对象 (2)1.2 射影几何与中学几何的密切关系 (2)1.2.1射影几何是中学几何部分内容的理论依据 (2)1.2.2 居高临下，分析和把握中学几何 (3)1.2.3 为中学几何获得命题 (4)1.2.4 可用射影几何的方法去证明中学几何题 (4)2 射影几何对中学的指导意义 (5)2.1 仿射变化的应用 (5)2.1.1 利用平行射影证明几何题 (5)2.1.2 利用特殊仿射像证明几何问题 (6)2.1.3 利用仿射变换保持的同素性,结合性,平行性及不变量证明 (7)2.2 射影变换的应用 (8)2.3 用直尺作图 (10)3 有关某些实际问题 (12)4 综合法与解析法 (12)5结论 (13)参考文献 (15)致谢 (16)射影几何在中学几何中的应用摘要:射影几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它在中学几何中具有非常广泛的应用。
本文通过仿射变换和射影变换理论在中学几何中的应用，阐明了射影几何和中学几何的关系，并利用射影几何的思想方法，解决中学几何中难以解决的问题，用射影几何画出中学几何图形，充分说明射影几何在中学几何中的应用。
关键词：射影几何中学几何仿射射影Abstract:The projective geometry is the use of the transformation of the view of kleindefinition geometry, in this view the Euclidean geometry under as projective geometry son geometry, it has in middle school geometry is widely used. This article through the affine transformation and projective transformation theory in the application of middle school geometry, and expounds the projective geometry and middle school geometry relationship, and use the thinking method of projective geometry, solve the middle school geometry in difficult problem to solve, with projective geometry draw middle school geometry, full explanation projective geometry in middle school geometry of application.Key words: Projective geometry, Middle school geometry, Affine, Projection0引言中学几何是一种比较简单的几何，直观、易懂，而射影几何较抽象、难理解，但射影几何是中学几何的延深课程，二者之间有很深的渊源。
第4章射影变换学习辅导(1)
第4章 射影变换学习辅导(1)学习方法引荐本章内容是在仿射变换的基础上，进一步研究射影变换和在射影变换下的不变问题.首先对点列和线束引入基本射影不变量——交比.即从介绍交比概念，引入共线四点的交比和调和比，共点四线形的交比和调和比.在此基础上讨论两个同类一维基本形的射影对应，射影变换及其特殊情况—对合，主要研究点列到点列的射影对应.在本章内容中，交比是重要的概念，它是射影变换的基本不变量.一维基本形的射影对应（变换）是平面射影几何的基础.作为调和比的几何背景本章还介绍了完全四点形及对偶图形完全四线形的调和性，这两个图形的调和性也是射影几何的重要不变性，它们在射影几何中也具有重要地位. 学习本章时要抓住以下几点：1.点列与线束的交比与调和比；2.完全四点形和完全四线形的调和性质；3.一维基本形的射影对应；4.一维基本形的对合.它们的基本内容包括如下：1.点列与线束的交比和调和比（1）点列的四点的交比.我们知道，单比是仿射变换的基本不变量，但对于中心投影来说，单比不是不变量.这样就发生如何建立中心投影的基本不变量的问题，这个基本不变量就是交比.交比是两个单比的比，它有许多基本性质，见教材中的定理.由这些定理知，共线四点A ，B ，C ，D 共有24种排列，即有24个交比，分为6类，每类的四个交比值相等.当（AB ，CD ）=－1时，CD 调和分割线段AB ，由调和分割的关系是对等的，因此A ，B ，C ，D 称为调和点列.（AB ，CD ）=（CD ，AB ）=－1（2）交比的代数表示设点P 1，P 2，P 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），单比（P 1P 2P ）=μ，则 μμ--=121x x x μμ--=121y y y （1） P 的齐次坐标（21x x μ-，21y y μ-，μ-1），当μ=1时，（1）式无意义.但当μ→1时，可得到P 1，P 2所在直线上的无穷远点.所以（P 1P 2P ∞）=1即一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1，也就是（P 1P 2，P 3P ∞）=（P 1P 2P 3）如果四点P 1，P 2，P 3，P 4中，P 1或P 2为无穷远点，则上式可作为交比的定义. 设四个不同的共线点P 1（A+λ1B ），P 2（A+λ2B ），P 3 (A+λ3B )，P 4 (A+λ4B )，则))(())((),(413242314321λλλλλλλλ----=P P P P 其中λi （i =1，2，3，4）彼此不相等.设四个不同的共线点的三点及其交比k （k ≠1，k ≠0）为已知，则第四点必唯一确定.（3）线束的四直线的交比与调和比与点列的四点的交比类似，线束中四直线的的交比是利用三条直线的单比定义的.（AB ，CD ）=)()(ABD ABC 应该注意，四直线的交比值与直线μ的取法无关.如果线束S 的四直线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点A ，B ，C ，D ，则（AB ，CD ）=（AB ，CD ）由这个结论可以推出与点列交比性质相类似的关于线束交比的性质，因此也可知四条直线所构成的24个交比值分为6类，每类的四个交比值相等.交比经中心投影后不变，即交比为射影性质.2.完全四点形与完全四线形调和性利用完全四点形的性质，可以解决“已知共线三点，求作第四调和点”的作图方法. 设S ，S '是完全四点形ABCD 的一对对边，它们的交点是对边点X ，X 与其它二对边点的连线是l ，l '，图4-1.则必有（SS '，ll '）=－1XS l 'D l S 'M Q CY LA B E图4-1设S ，S '是完全四线形ABCD 的一对对顶点，它们的连线是对顶线x ，x 与其它两对顶线交点T ，T'，图4-2.则（SS '，TT'）=－1.TS yA x DT' CA S '图4-23.一维基本形的射影对应（1）透视对应如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做透视对应，点列和线束叫做透视的.显然，点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关系都具有对称性.交比在透视对应下不变.（2）射影对应两个一维基本图形之间的射影对应的性质：①是一一对应的②A ∧B 则B ∧A③具有传递性，即若A ∧B ，B ∧C ，则A ∧C两个点列间的一一对应是射影对应⇔任何四点的交比与其对应四点的交比相等.已知两个一维图形的三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应.两个点列间的射影对应是透视对应⇔它们底的交点自对应.两个线束间的射影对应是透视对应⇔它们顶点的连线自对应.4.一维基本形的对合对合是射影变换的一种特殊的情况，在对合里每对对应元素的每个元素归入哪个基本形都可以.射影变换成为对合对应的充分必要条件.重点、难点解析1.交比和调和比仿射变换（对应）是对平行射影而言的，单比是仿射几何中最重要的概念，它又是仿射变换的基本不变量.在研究中心射影时，我们引进了无穷远元素.可以证明，在中心射影下，共线三点的单比不是不变量.由此引入交比概念，首先研究共线四点的交比（1）关于交比的定义定义（4.2）把交比定义为两个单比的比，即共线四点A ，B ，C ，D 的交比定义为两个单比（ABC ）和（ABD ）的比，表为(AB ,CD )=)()(ABD ABC . 交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点A ，B ，C ，D 的坐标顺次为A ，B ，A+λ1B ，A+λ2B ，则 (AB ，CD )=21λλ 以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义(AB ，CD )=)()(ABD ABC =ADBC BD AC ⋅⋅，所用坐标的非齐坐标，AC ，BD ，BC ，AD 都指有向线段的代数长度；第二种定义方法(AB ，CD )=21λλ,用齐次坐标.例如，共线四点A （2，1，-1），B （1，-1，1），C （1，0，0），D （1，5，-5），求（AB ，CD ）时，可把A 和B 作为基础点对，则C =A + B ，λ1=1，D = 2A -3B ，λ2 =32-所求交比 21λλ=32- 注意，第二种定义方法采用齐次点坐标，可以不限制这四个点中是否有无穷远点.所以，定义(AB ，CD )=)()(ABD ABC =ADBC BD AC ⋅⋅，还属于欧氏平面上的定义，不能解决无穷远点的问题，在射影平面，应使用(AB ，CD )=21λλ的定义方法. 关于交比的定义，要注意以下问题：① A ，B ，C ，D 四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同；② AC ，BD ，BC ，AD 都是有向线段的代数长，因而交比（AB ，CD ）是个数值.（2）交比的性质由于A ，B ，C ，D 四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值，就可求出其它23个交比值.例如，已知（AB ，CD ）=3，则可知（DC ，BA ）=（BA ，DC ）=（AB ，CD ）=3.而（AC ，BD ）=1－（AB ，CD ）= －2（3）几个特殊的交比共线四点A ，B ，C ，D 中，设A ，B ，C 是固定点，第四点D 沿直线移动.可以证明，点D 在直线上的每个位置都对应一个确定的交比（AB ，CD ）的值.点D 的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D 和D '在两个不同的位置，且有（AB ，CD ）=（AB ，CD '） 则)()()()(D AB ABC ABD ABC '=， 因而（ABD ）=（ABD '）这只有在D = D '时，等式才成立，因此，（AB ，CD ）的每个值，对应点D 的一个确定的位置.当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论.证明如下：设已知三点的坐标是A ＋1λB ，A ＋2λB ，A ＋3λB 则由k =----))(())((41324231λλλλλλλλ （其中k 为定值，且k ≠0，1） 可以求出4λ，确定第四点.因此第四点A ＋4λB 唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况①D 与C 重合时，则有（AB ，CD ）= 1②当D 与B 重合时，则有（AB ，CD ）=（AB ，CB ）=ABBC BB AC ⋅⋅ = 0 ③当D 与A 重合时，（AB ，CD ）=（AB ，CA ）= ∞=⋅⋅AA BC BA AC ④D 为无穷远点时，则有（AB ，CD ）=（AB ，CD ∞）==∞)()(ABD ABC （ABC ） 可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比（ABC ），利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比.（4）点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当（AB ，CD ）=－1时，称为C ，D 调和分割A ，B .或称点偶A ，B 与点偶C ，D 调和共轭.D 叫做A ，B ，C 的第四调和点.应当注意，在调和分割中，两对点的关系是完全对等的.点列中四点A ，B ，C ，D 所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成调和共轭的两对点偶时，（注意排除两点重合和虚点不考虑），那么这六个交比值才有相同的.（5）线束的交比和调和比①由定义知，四直线A ，B ，C ，D 的交比为)()(ABD ABC =ADBC BD AC ⋅⋅，注意这个定义中数目的排列.②要注意定理4.7：如果线束S 的四线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点A ，B ，C ，D ，则（AB ，CD ）=（AB ，CD ）的证明.在上述定理中，若点S ，A ，B ，C ，D 都是有穷远元素时，或者，当S 为无穷远点或S 为无穷远直线时（即A ，B ，C ，D 都是无穷远点），此定理仍成立.即（AB ，CD ）的值与直线S 的取法无关，所以仍可取（AB ，CD ）=（AB ，CD ） ③定理4.7是一个非常重要的定理，由于定理可以证明“两点列同时截一线束，则此点列上对应四点的交比相等.”还可以推广证明投影于同一点列的两线束的四条对应直线的交比相等.可以知道，此定理使点列和线束的问题沟通了，为研究交比是中心射影下的不变量打下基础，同时点列和线束的问题可以对偶地进行研究.（6）有关交比的作图问题① 有关交比的作图可以根据共线四点的交比的定义，借助初等几何作图来完成，需要用相应例题来理解.② 第四调和点的作图● 用“一角两条边和这个角内外平分线调和共轭”作第四调和点.● 利用相似三角形作第四调和点.（7）利用交比的调和共轭解初等几何问题交比和调和共轭是几何学中的重要概念，它们在几何的研究中有重要的作用，运用这些概念和有关性质，可以解决一些初等几何问题主要在以下三个方面：①角平分线的调和性.②利用交比证明有关圆的问题.③与图有关的调和共轭问题.2.完全四点形和完全四线形的调和性完全四点形和完全四线形是射影几何中的重要图形，由于这两个图形具有调和性，而交比又是射影变换的不变量，所以对完全四点形的性质的研究在射影几何中占有重要地位. 值得注意的是，在前面调和比是用交比来定义的，而交比之定义为单比之比，所以定义调和比此时用了变量概念.对完全四点形的性质的研究，可以使我们完全不用度量概念，而使用下列方法来定义调和比或调和共轭.即“一直线S 上的点偶A ，B 与C ，D ，A ，B 是一个完全四点形的对边点，C ，D 是通过第三个对边点的两条对边与S 的交点，则A ，B 与C ，D 成调和共轭”.这种定义是综合地纯射影的定义，这种定义方法只与直线和直线相交的作图有关，与度量无关.由于完全四点形的调和性是射影性质，所以它的对偶图形完全四线形也有调和性. 学习本单元内容时还应注意以下问题：（1）注意完全四点形与中学所熟悉的四边形的区别.四边形指简单四边形，由顶点依次连接而成，顶点数等于边数，均为4，如图4-3.ABCD 为简单四边形.而完全四点形是平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，如图4-4.完全四点形ABCD 有四个顶点A ，B ，C ，D ，有六条边（即任何两顶点的连线都是边），通过同一顶点的边叫邻边，不通过同一顶点的边叫对边，因此有三对对边：AB 与CD ；AC 与BD ；AD 与BC ，对边交点叫对边点，共三个，即AB ×CD =X ，AC ×BD =Y ，AD ×BC =Z.三个对边点组成对边三点形XYZ.BCD A Y CDX ZA B图4-3 图4-4完全四点形的一对对边被通过这两个边交点的对边三点形的两边调和分割.完全四线形的一对对顶点被连接这两个点的对角三角形的两边调和分割.（2）利用完全四点形的调和性作第四调和点我们知道，一直线l上的点偶P1，P2，Q1，Q2成为调和共轭的充要条件是：“P1和P2是一个完全四点形的对边点，Q1和Q2是通过第三个对边点的两条对边与l的交点”，根据这个道理，可以通过完全四点形的作图来作第四调和点.如图4-5，已知直线l上有三点P1，P2，P3，求作点P4，使（P1P2，P3P4）=-1.作法如下：过P1P2若任作一直线交于点A，在P2A上任取一点B，连B P3，过P1A于点C，再连P2C，P1B，交于点D.连AD与L交于P4，则P4为所求第四调和点.ACBDlP1P4P2P3图4-5应当指出，以上作图是只用一根直尺完成的.而且过P1，P2的直线是任意作的，但P4点是唯一的，这由笛沙格定理保证.在图4-5中，根据定理，若P4为P1P2中点，则P为l上无穷远点，于是利用直尺可以作出CB// P1P2，反之，如果知道CB// P1P2，也可以用一根直尺求P1P2中点.（3）应用完全四点形的调和性解初等几何问题.利用完全四点形的调和性，可以比较简捷地解决一些初等几何中的共点和共线问题.例如，三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.3.一维基本形的射影对应（1）什么叫一维基本形基本形，指以点、直线、平面为元素所形成的某些无穷集合，一维基本形指点列和线束.什么叫一维呢？关于维的概念，要注意几何学的维与空间的维是有区别的.几何学中的维数，指几何元素活动的自由度，也就是几何元素的坐标或参数必不可少的数目，这个数就是几何学的维数.此如平面内的点和直线应该有两个坐标，但在点列中以A，B为基点的任一点坐标可以表为A，B的坐标的线性组合，即C = A + λB，其中λ为参数，所以点列中的点可以用一个独立参数表示（对于线束也有类似结论）.也就是说，点列的每个点（或线束中的每一直线）都可以用一个独立参数表示，点列和线束就叫一维图形.点列和线束就是一维几何研究的对象.关于空间的维数，是指把直线，平面或空间都看成四点构成，空间的维数是点活动的自由度，所以直线叫一维空间.平面叫二维空间，我们生活的空间叫三维空间.由于几何学研究的元素不限于点，所以几何学中的维与所处空间的维不同.比如，平面上的直线几何应该叫二维几何学，这是由于把直线看作基本元素，平面上决定直线需要两个比值，即必不可少的参数为2.（2）一维基本形的透视对应与射影对应的关系①在前几章所讨论的透视仿射对应是对平行射影而言，本章所论的透视对应则对中心投影而言，透视对应包括点列和线束之间的透视对应；点列与点列之间的透视对应.在定义中可以将点列换成线束，或把线束换成点列.所以点列与线束的透视对应具有对称性.由透视对应的定义还可以看出，透视对应保持四元素的交比不变.但透视关系不满足传递性.需要注意，透视对应一定是射影对应，但射影不一定成透视对应，因此，透视对应与射影对应是特殊与一般的关系.②射影对应必是一一对应，且具有传递性、对称性、反身性，即具有等价关系.③透视对应在什么条件下才成为射影对应呢？由定理知，两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们的底的交点自对应也就是它们的公共元素自对应.两个点列成射影对应时，把它们的公共点看作是第一个点列的点时，它在第二个点列上的对应点，一般情况下不是它本身，只有当两个点列成透视对应时，其公共元素才自对应.④应该注意，如果一维射影对应使无穷远点对应无穷远点，则该对应一定是仿射对应，要证明这个结论，只需证明这种对应保持单比不变.由于射影对应保持交比不变.所以，仿射对应可看作特殊的射影对应.4.一维基本形的对合（1）关于对合概念对合对应是重要的，特殊的射影变换.在两个重叠的射影对应的一维基本形中，第一个基本形的元素P 对应第二个基本形的元素P'，但如果把P'看作第一个基本形的元素，那么它在第二个基本形里不一定对应P.但如果这个对应为对合对应，则根据对合定义“在两个重叠而且射影对应的一维基本形里，如果对于任何元素，无论看作属于第一个基本形或第二基本形，它的对应元素是一样的，那么这种非恒等的射影变换叫做对合（对应）”.那么P'就一定对应P.若两个重叠一维基形成射影对应，可假设两个重叠点列成射影对应，在什么条件下才成为对合呢？实际上只要有一对对应元素符合对合条件，则这种射影变换一定是对合.（2）对合的代数表示和确定对合是特殊的射影变换，从对合的代数表示，也可以看出射影变换成为对合的条件，即在射影变换式0=+'++'d c b a λλλλ，0≠-bc ad 中，若是对合，则有B = C ，反之也成立.上式说明射影变换范围比对合大.我们知道，三对对应元素决定唯一一个射影变换，如果是对合，则只要有不重合的两对对应点便可决定唯一一个对合对应.判定一个射影变换是否为对合对应，也可用如下事实：对合对应存在两个二重元素，射影变换是对合的充要条件是任何一对对应元素与两个二重元素调和共轭.例如，求由两个二重点1，2所确定的对合方程，可有两种解法.解法1 设对合方程为0)(=+'++'d b a λλλλ将1，2代入，得A +2B +D = 04A +4B +D = 0代入对合方程，得2λλ'-3（λ+λ'）+ 4 = 0解法2 利用（12，x x '）= -1其中x ，x '为一对对合点的坐标 则12121-=-'-'--x x x x 即2xx '－3（x+x '）+ 4 = 0典型例题例1 填空题（1）两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件为 .（2）两点列间射影对应由 对对应点唯一确定.（3）共线四点的交比是 不变量.（4）两个点列经过中心投影， 不变.（5）不重合的 对应元素，可以确定唯一一个对合对应.解 （1）由定理知，两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件是：两个线束的公共线自对应.（2）已知射影对应被其三对对应点所唯一确定，因此两个点列间的三对对应点可以决定唯一一个射影对应.（3）共线四点的交比是射影不变量.（4）两个点列经过中心投影，交比不变.（5）不重合的两对对应元素，可以确定唯一一个对合对应.例2 单选题（1）若（AB ,CD ）=r ，则（DB ，AC ）=（ ）A .r 1B .r-11 C .r r -1 D .r 11- （2）设A ，B ，A +λ1B ，A +λ2B 是四条不同的有穷远共点直线l 1，l 2，l 3，l 4的齐次坐标，则（l 1l 2，l 3l 4）=（ ）A .λ1B .λ2C .21λλ D .λ1λ2 （3）设1，2，3，4是四个不同的共线点，如果（12，34）=（23，41）则（13，24）=（ ）A .－1B .1C .0D .∞解 由交比的运算定理，（1）选D ；（2）选C （3）选A例3 求证P 1（3，1），P 2（7，5）与P 3（6，4），P 4（9，7）成调和共轭.分析 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明解法1(P 1P 2，P 3P 4)=))(())((14232413x x x x x x x x ----=)76)(39()79)(36(----=-1 解法2 将P 1，P 2，P 3，P 4写成齐次坐标，则P 1（3，1，1），P 2（7，5，1），P 3（6，4，1），P 4（9，7，1）可以写作P 3（24，16，4），P 4（-18，-14，-2）于是 P 3 =P 1 +3P 2 P 4 =P 1 -3P 2∴(P 1P 2，P 3P 4)=33-=-1 例4 求证：一角的两条边与这个角的内外角平分线调和共轭.证法1 利用共点直线成调和共轭的定义进行证明.如图4-6所示，角的两边为A ，B ，其内外角平分线分别为l 1，l 2(AB ，l 1l 2)=)()(21abl abl （ABl 1）=1（ABl 2）= -1∴ (AB ，l 1l 2) = -1A B图4-6证法2 用代数法设取原点在三角形SAB 内部，A ×B 分别在A ，B 直线上.设SA 的法线方程为0=α，设SB 的法线方程为0=β，为了求内角分线l 1和外角分线l 2方程，利用角平分线的几何特性，设P （x ，y ）为角平分线l 1上的任一点，则它们到A ，B 的距离相离，即α=β或βα=或βα-=取l 1为βα=即0=-βα，即11=λl 2为βα-=即0=+βα，即12-=λ∴( AB ，l 1l 2)=121-=λλ 证法3 根据定理，如图4-7，若用直线l 1 // l 2求截角的两边A ，B 分别交A ，B 于A ，B ，交l 1于T 1，交l 2于T ∞，则由l 1和l 2互相垂直，可知S T 1⊥l 1，又l 1为角平分线，由初等几何定理，可知△SAB 为等腰三角形，且有A T 1=T 1B ，即T 1为AB 中点，根据定理知(AB ，T 1T ∞)=-1(AB ，l 1l 2 )=-1SA T 1 Bl A l 1 B图4-7例5 若A ，B ，C ，D 为共线四点，且（AB ，CD ）=-1，CD 中点为O ，求证O C 2=O A ·O B 证明 (AB ，CD )=1-=⋅⋅ADBC BD AC 即AC ·BD +BC ·AD = 0把AC ，BD ，BC ，AD 都以0为原点表示，则有（O C -O A ）（O D -O B ）+（O D -O A ）（O C -O B ）= 0整理得 2（O A ·O B +O C ·O D ）=(O A +O B )(O C +O D )而 O D =-O C∴ 2(O A ·O B -O C 2)=(O A +O B )(O D -O C )=0即 O C 2=O A ·O B例6 设三直线 1111c y b x a p ++=2222c y b x a p ++=3333c y b x a p ++=求证以p 1= 0，p 2= 0，p 3= 0为三边的三角形的重心由方程312212311312332)()()(p b a b a p b a b a p b a b a -=-=-给出.3B O p 3 C图4-8分析 如图4-8，ΔABC 三边AB ，AC ，BC 的方程分别为p 1= 0，p 2= 0，p 3= 0.设BC 边上中线A O 的方程q 3=0.过A 点作BC 的平行线l 3，则l 3的斜率为333b a k l -=. 由于l 3过p 1和p 2的交点A ，所以l 3可由p 1和p 2线性表示，即l 3的方程为0)(222111=+++++c y b x a c y b x a λl 3的斜率为2121b b a a λλ++-∴ 332121b a b b a a -=++-λλ 32321313b a a b b a a b --=λ ∴ l 3的方程为023********=--+p b a a b b a a b p 由于l 3与BC 平行，所以l 3与BC 交于无穷远点L ∞，又D 为BC 中点，（BC ，D L ∞）= -1两条直线截同一线束，所得对应四点的交比不变，可得（p 1p 2，q 3l 3）=-1∴ q 3的方程为023********=--+p b a a b a b b a p 同理q 1的方程为03131321212=--+p b a a b a b b a p 则q 1与q 3的交点为312212131313232)()()(p b a b a p b a a b p b a a b -=-=- 例7 已知A ，B ，C 三直线交于点P ，试用直尺作出第四条直线和它们成调和共轭. 作法：如图4-9. A ，B ，C 三直线交于点P ，任作不通过P 点的直线l ，l 与直线A ，B ，C 分别交于A ，B ，C 三点，在P A 上任取一点M ，连B M 交P C 于N.连A N 交P B 于K ，连MK 交l 于P ，则有（AB ，CD ）=-1.连P D ，即为所求第四调和线D ，即（AB ，CD ）= -1PM B C DA N KlA CB D如图4-9例8 已知三点形ABC 及平面上一点P （P 不在ABC 的任一边上）.A P ，B P ，C P 与对边交于A '，B '，C '，且BC 与B 'C '交于A 1，CA 与C 'A '交于B 1，AB 与A 'B '交于C 1. 如图4-10.求证：（1）（BC ，AA '）= -1，（CA ，B 1B '）= -1（2）A 1，B 1，C 1三点共线.证明（1）由完全四点形C 'AB 'P 的调和性，可知（BC ，A 1A '）= -1又（B ，C ，A 1，A '）∧（A ，C ，B '，B 1）∴（CA ，B 1B '）=（AC ，B 'B 1）=（BC ，A 1A '）= -1（2）由三点形ABC 和A 'B 'C '的对应点连线共点P ，由笛沙格定理可知，对应边交点A 1，B 1，C 1共线.PC '图4-10例9 巴卜斯命题：设A 1，B 1，C 1与A 2，B 2，C 2为同一平面内两直线上的两组共线点，B 1C 2与B 2C 1交于L ，C 1A 2与C 2A 1交于M ，A 1B 2与A 2B 1交于N.如图4-11.求证L ，M ，N 共线.证明A 1B 1N D C 1M ELA 2B 2C 2 O图4-11∵（B 1，D ，N ，A 2）∧（O ，C 2，B 2，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）∴（B 1，D ，N ，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）由于两点列底的交点B 1自对应，有（B 1，D ，N ，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）因此DC 2，NL ，A 2E 三直线共点M.即L ，M ，N 共线. □例10 如果三角形中一个角平分线过对边中点，那么这个三角形是等腰三角形. 证明 如图4-12，由于M 为AB 中点，C N ∞为外角平分线，则有（AB ，C N ∞）= -1∴（AB M ）= -1，（AB N ∞）= 1即 1-=BMAM 1=MB AM 而 1==BCAC MB AM 从而，AC =BC .□C N ∞A MB N ∞图4-12自测练习1.填空题（1）两点列间的射影对应是透视对应的充分必要条件是 .（2）共线四点的调和比为 .（3）四个共线点A ，B ，C ，D ，如果（AB ，CD ）=r ，则（DA ，BC ）= .（4）一维基本形的射影变换的不变元素的个数 .（5）射影变换有 对对应元素满足对合对应的要求，则一定是对合.2.单选题（1）A ，B ，C ，D 为共线四点，且（CD ，BA ）= k ，则（BD ，AC ）=（ ）.A .k 1 B .k 11- C .kk -1 D .k （2）（ ）对不同的对应元素，确定唯一一个射影对应.A .1B .2C .3D .4（3）两个一维基本形成射影对应，则对应四元素的交比（ ）.A .相等B .不等C .1D .-1（4）线束S 的四直线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点A ，B ，C ，D ，若（AB ，CD ）=k ，则（AB ，CD ）=（ ）A .k1 B .1-k C .k 11-D .k 3.A ，B ，C ，D 为共线四点，如图4-13所示，相邻两点距离相等，计算这四点形成的各交比值.A B C D· · · ·图4-134.设A ，B ，C ，D ，E 为直线上五点，求证：（AB ，CD ）·(AB ，DE )·(AB ，EC ) = 15.已知点A =（1，1，1），B =（1，-1，1），C =（1，O ，1）且（AB ，CD ）= 2，求C 点坐标.6.若直线l 1，l 2，l 3，l 4的方程为（1）012=+-y x ，023=-+y x ，07=-y x ，015=-x（2）0=-y x ，02=+y x ，0=+y x ，03=-y x求（l 1l 2，l 3l 4）.7.设P 1，P 2分别是坐标轴上的无穷远点，P 3是斜率为1的直线上的无穷远点，又（P 1P 2，P 3P 4）= m ，求P 4的坐标.8.设A ，B ，C ，D ，E 为共线五点，且（AD ，BC ）=-1，（CE ，AB ）=-1.求证4AC ·ED =3AD ·EC .9.设ΔABC 的三条高线为AD ，BE ，CF 交于M 点，EF 和CB 交于点G .求证（BC ，DG ）=-1.当AB =AC 时，还可以得到什么结果？10.设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XZ 分别交AC ，BD 于L ，M ，不用笛沙格定理证明YZ ，B L ，C M 共点（图4-14）.LZM图4-1411.求以下重叠一维基本形的射影变换自对应点的参数（坐标）.（1）066=+'+-'x x x x（2）01=+'+x x12.求两对对应元素，其参数211→，20→所确定的对合对应.参考答案1.（1）它们的底自对应，（2）1，（3）1-r r ， （4）不能大于2，（5）一对2.（1）B ，（2）C ，（3）A ，（4）D3.34，43，31-，3-，41，44.用交比定义证明即可.5.由A =（1，1，1），B =（1，-1，1）则D =（1，0，1）=A +B ，于是λ2=1设C =A +λ1B ，由（AB ，CD ）=21λλ=2可知λ1=2， 所以C =A +2B =（3，-1，3）6.（1）l 1，l 2，l 3，l 4与x 轴的交点分别为211-=x ，322=x ，03=x ，514=x ∴ （l 1l 2，l 3l 4）=21 （2）l 1，l 2，l 3，l 4都过原点∴ （l 1l 2，l 3l 4）=-57.设P 1，P 2，P 3，P 4分别是直线上l 1，l 2，l 3，l 4上的无穷远点，其中l 1：x = 0l 2：y = 0l 3：y = x ，即x -y = 0l 4：x +λy = 0则（l 1l 2，l 3l 4）=（P 1P 2，P 3P 4）= m以l 1，l 2为基线.由l 3：x -y = 0，得λ1=-1l 4：x +λy = 0，得λ2=λ∵（l 1l 2，l 3l 4）= m ∴21λλ=λ1-= m 代入l 4的方程中得y=mx∴P 4点的坐标为（1，m ，0）.8.证明 设A ，B ，C 的坐标分别为A ，B ，A +B ，设D 为A +λ1B ，E 为A +λ2B ， 由（AD ，BC ）=-1，可知（AB ，DC ）=1-（-1）=2又（CE ，AB ）=-1，可知（AB ，CE ）=-1则λ1=2，λ2=-1∴（CD ，AE ）=43 （CD ，AE ）=CE DA DE CA ⋅⋅=43 即4AC ·ED =3AD ·EC .□9.如图，由完全四点AF M E 的调和性，可知（BC ，DG ）=-1当AB =AC 时，D 为BC 中点，所以G 为BC 直线上的无穷远点，因此EF ∥CB10.证明 由四点形ABCD ，根据定理，可知在AC 边上的四点A ，C ，Y ，L 调和分割即（AC ，XL ）=-1.在四点形Y B ZL 中，L B 与YZ 交于N ，MN 与YL 交于C ，由定理可得（AC '，YL ）=-1 ∴点C 应与点C '重合，即YZ ，B L ，C M 共点.□11.（1）0652=+-λλλ1=3，λ2=2（2）012=+'+λλ0120=+'++'λλλλ01112='++'⋅λλλλ 自对应元素为λ=λ'，将其代入上式得两自对应元素为λ1=∞，λ2=31-. 12.设0)(=+'++'d b a λλλλ为所求对合对应，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0202321d b d b a 所以 A : B : D =1 : 1 : -2即 02=-'++'λλλλ为所确定的对合对应.[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
仿射变换
第2章 仿射变换2．1 平行射影 知识点解析平行射影：对应点之间的连线互相平行．平行射影与方向有关，方向变了，就得出了另外的透视仿射． 仿射对应：有限次平行射影的复合就是一个仿射对应． 仿射变换：平面π到自身的仿射对应，称为仿射变换．平行射影把点映成点，把直线映成直线，这叫做平行射影的保持同素性． 点与线的结合性质在平行射影下保持不变．仿射对应也保持同素性与结合性．即，仿射对应把点映成点，把直线映成直线．若A 在a 上，则A '在a '上．注意：仿射对应不一定是平行射影，即，原象点与象点之间的连线不一定平行，反过来，平行射影一定是仿射对应．解题指导 练习２－１１． 试举例说明在一般仿射对应下，二直线上的对应点的连线不一定是平行的． 解 设1T 为1a 到2a 的平行射影，2T 为2a 到3a 的平行射影，取3a 为1A 到2A 的延长线，取2A 与3A 重合，显 然，在1a 到3a 的仿射对应3112:a a T T →下，直线1a 和3a 上 的对应点的连线31A A 和31B B 不平行．２．在仿射对应下，若对应点之间连线相互平行，试问仿射对应是不是平行射影？ 解 由平行射影定义，对应点之间的连线平行于已知直线l ，即与方向l 平行，又因为对应点之间的连线平行，所以，对应点之间的连线都平行于方向l ，因此，是平行射影．３．在仿射对应下，圆的象是什么？ 解 椭圆．２．２ 仿射不变性与不变量1A 2A 3A 1a 2a 3a 1B2B 3B 题图第1经过平行射影不改变的性质和数，叫做仿射不变性质和仿射不变量． 经过仿射对应，它们也是不变的． 同素性和结合性都是仿射不变性质． 仿射对应把共点的线变成共点的线． 仿射对应把共线的点变成共线的点．定理２．１ 二直线间的平行性是仿射不变性质．即，两条平行直线经过仿射对应后仍然是平行直线．推论２．２ 平行四边形在仿射对应下还是平行四边形．即，平行四边形经过仿射对应后仍然是平行四边形．定义２．１ 简比（单比）．BCACABC =）（ 有向线段的数量之比． （１） 当C 在A ，B 之间时，0)(<ABC ； （２） 当C 在A ，B 之外时，0)(>ABC ； （３） 当A C =时，0)(=ABC ； （４） 当B C =时，∞=)(ABC ．定理２．３ 共线三点的简比是仿射不变量．即，共线三点的简比在仿射对应下不变．定理２．４ 两条平行线段的比是仿射不变量．即，两条平行线段的比在仿射对应下不变．定理２．５ 直线上两条线段的比是仿射不变量．即直线上两条线段的比在仿射对应下不变．注意：一般地，任意两条线段的比，不是仿射不变量．即，如果两条线段不平行，则它们的比在仿射对应下会改变．定理２．７ 在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数．即，任意两个三角形面积之比是仿射不变量．推论２．８ 任意两个多边形面积之比是仿射不变量．因此，任意两个图形面积之比是仿射不变量．A B C图定义1.2补充题 证明定理２．５ 直线上两条线段的比是仿射不变量．证明 如图，DC D A CD AD ''''=， 其中 CD CD BC AB CD AD ++=11+''''+=++=D C C B CD AB CD BC CD AB 1+''''+''''=''''+''+''=''''D C C B D C B A D C D C C B B A D C D A所以D C B A CD AB ''''=． 练习２－２１．证明：三角形的重心具有仿射不变性．解 因为共线三点的简比具有仿射不变性，所以，仿射对应把三角形中点变成中点；同素性和结合性都是仿射不变性质，仿射对应把共点的线变成共点的线，仿射对应把共线的点变成共线的点，所以，仿射对应把三角形的重心变成三角形重心．２．证明：平行四边形的重心具有仿射不变性． 解 同第１题．３．证明：梯形在仿射对应下仍为梯形．解 因为二直线的平行性是仿射不变性，所以，仿射对应把梯形的上下底变成梯形的上下底，因此，梯形在仿射变换下仍然变成梯形．４．证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量．解 将多边形划分成n 个三角形1S ，Λ,2S ，n S ，对应的划分得到对应的三角形1S '，Λ,2S '，n S '，由定理２．７，在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数．即，任意两个三角形面积之比是仿射不变量，所以有k S S S S S S nn ='=='='Λ2211，于是)(212121n n n S S S k S k S k S k S S S '++'+'='++'+'=+++ΛΛΛ 即k S S S S S S n n='++'+'+++ΛΛ2121A B C DA 'B 'C 'D '补充题图所以，任意两个多边形面积之比是仿射不变量．５．已知平面上的一条定直线l ，P 为平面上的任意一点，P 点的对应点P '是点P 关于直线l 的对称点，这种变换称为反射变换，定直线叫做它的轴．试证明：反射变换是仿射变换．解 因为平面上关于反射轴的对称点是唯一确定的，反射变换是平面到自身内的一一对应，所以，由仿射变换的定义，反射变换是仿射变换．２．３ 仿射变换的代数表达式知识点解析定理2．9 在仿射坐标系下，设共线三点A ，B ，C 的坐标为),(11y x ，),(22y x ，),(33y x ，则三点的交比为23132313)(y y y y x x x x BC AC ABC --=--==定理2．１０ 不共线的三对对应点决定唯一一个仿射变换．（见习题２－３第４题）． 解题指导 练习２－３１．在仿射坐标系下，证明直线的方程是一次方程． 证明 ［关键］ 利用仿射变换的式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211［技巧］设直线方程b x k y '+'='，将仿射变换代入． 这时，得b y a x a a k y a x a b '+++=++)(12112221 整理得122212222111ka a b b ka x ka a a ka y -'+-+--=可见，仍为直线方程，即一次方程．２．求使三点)0,0(，)1,1(，)1,1(-的对应点分别为)3,2(，)5,2(，)7,3(-的仿射变换式．解 ［关键］ 将每对对应点分别代入仿射变换公式⎩⎨⎧++='++='y a x a b y ya x a a x 22211211 ［注意］ 仿射变换把点),(y x 变成),(y x ''时，有⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211 将每对对应点分别代入仿射变换公式⎩⎨⎧++='++='y a x a b y ya x a a x 22211211 得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=++=++===2221121122211211735232a a b a a a a a b a a a b a解得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-====6214213222122111a a a a b a代入仿射变换式，得所求的仿射变换式⎪⎩⎪⎨⎧+-='-+='yx y yx x 64321212３．利用仿射变换的表达式证明：直线上三点的简比是仿射不变量． 证明 ［关键］ 利用仿射变换的式⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211设三点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 在仿射变换下分别变成),(11y x A '''，),(22y x B '''，),(33y x C '''，代入仿射变换式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211 得322321322222121221211312311321221121121111y a x a b y y a x a b y y a x a b y y a x a a x y a x a a x y a x a a x ++='++='++='++='++='++='于是)()()()(23122311131213112313y y a x x a y y a x x a x x x x -+--+-='-''-' （*） 由定理２．９，k x x x x y y y y =--=--23132313即，)(2313y y k y y -=-，)(2313x x k x x -=-，代入（*）式得k y y a x x a y y k a x x k a x x x x =-+--+-='-''-')()()()(23122311231223112313同理k y y a x x a y y k a x x k a y y y y =-+--+-='-''-')()()()(23222321232223212313所以23132313x x x x y y y y '-''-'='-''-'即，直线上三点的简比是仿射不变量．４．利用解析方法证明：不共线的三对对应点决定一个仿射变换．证明 ［关键］ 利用仿射变换的式⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211设不共线的三点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 在仿射变换下分别变成),(11y x A '''，),(22y x B '''，),(33y x C '''，代入仿射变换式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y y a x a a x 22211211 得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++='++='++='++='++='++='322321331231132222212212211212212111121111y a x a b y y a x a a x y a x a b y y a x a a x ya x ab y y a x a a x 注意：三对对应点的坐标为已知数，a ，b ，11a ，12a ，21a ，22a 为未知数，写成矩阵形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡''''''2221121133332222111133221110000011000000110000001a a b a a a y x y x y x y x y x y x y x y x y x 记作AX b =计算得212131312)])(())([(y y x x y y x x A ------= 这里0≠A ，因为如果0=A ，则0))(())((12131312=-----y y x x y y x x即12131213x x x x y y y y --=--这时),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 三点共线，与已知这三点不共线矛盾． 所以0≠A ．于是，方程组AX b =有唯一解．即，不共线三对对应点决定一个仿射变换．５．利用仿射变换导出椭圆12222=+by a x 的面积公式． 解 仿射变换把圆变成椭圆． 如图．由推论２．８，任意两个 图形面积的比是仿射不变量，有C B A ABCS S S S '''∆∆=椭圆圆b a rr S r ⋅⋅⋅⋅=2212212椭圆π于是ab S π=椭圆．２．４ 仿射变换的特例知识点解析 １． 平移变换把点),(y x P 平移到点),(y x Q ''，坐标关系式为⎩⎨⎧+='+='b y y ax x 平移变换保持线段的长度不变． ２．旋转变换以原点)0,0(O 为旋转中心，旋转角为θ，点),(y x P 旋转后变成),(y x P '''，坐标关系题图第5式为⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos A满足I A A A A ='='，即，A 为正交矩阵． ３． 反射变换在平面上取一定直线l ，使平面上的点P 对应到它关于直线l 的对称点P '，这样的变换叫做反射变换．直线l 上的点都是自对称点，称为反射变换的不动点． 直线l 称为反射对称轴． 坐标关系式为⎩⎨⎧-='='yy xx４．位似变换在平面上取一定点O 和一个非０常数k ，使O 对应自己，其它的点P 对应P '，三点O ，P ，P '在一条直线上，简比为k P OP =')(，⎩⎨⎧='='kyy kxx位似变换把直线变成与之平行的直线，把图形变成相似形． 解题指导 练习２－４１．求把点)3,0(变为点)4,2(-的平移变换，并将平移变换作用于曲线06432=--+y x x ．解 ［关键］ 将)3,0(P 和)4,2(-'P 代入平移变换公式⎩⎨⎧+='+='by y ax x ．得⎩⎨⎧+=+=-ba3402解得⎩⎨⎧=-=12b a于是，所求的平移变换为⎩⎨⎧+='-='12y y x x将平移变换作用于曲线06432=--+y x x ，就是将变换⎩⎨⎧+='-='12y y x x 的x ，y 解出来代入06432=--+y x x ，代入得08472=+'-'+'y x x２．求把点)3,2(-变为点)3,2(-的旋转变换，并将旋转变换作用于曲线06432=--+y x x ．解 把)3,2(-P 和)3,2(-'P 代入旋转变换公式⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x得⎩⎨⎧+-=---=θθθθcos 3sin 23sin 3cos 22解得0sin =θ， 1cos -=θ 再代入旋转变换公式得⎩⎨⎧-='-='y y xx将这个变换作用于曲线06432=--+y x x ，就是将变换⎩⎨⎧-='-='yy xx 的x ，y 解出来代入06432=--+y x x ，代入得06432=-'+'-'y x x３．求中心在原点，半轴分别为1和２并以直线025=-y x 为对称轴的椭圆方程． 解 1=a ，2=b ，中心在原点的椭圆方程为1422=+y x对称轴为025=-y x ，即x y 52=，这时，25tan ==θk于是292tan 11cos 2=+=θθ，295cos 1sin 2=-=θθ，所以，旋转方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-='292295295292y x y y x x于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='+'=292295295292y x y y x x 代入1422=+y x ，得0116601044122=-''+'+'y x y x ．４．证明：位似变换把直线变成直线．证明 ［关键］设直线b ax y +=，从位似变换⎩⎨⎧='='ky y kx x 中解出x ，y 代入直线b ax y +=内．代入得kb x a y +'='显然仍为一条直线．５．证明：位似变换把直线变成与自己平行的直线．证明 由第４题结果可知，位似变换把直线b ax y +=变成直线kb x a y +'='，因为斜率都为a ，所以二者平行．。
用射影几何方法处理中学几何作图题
摘要本文对射影几中完全四点形的调和性质、不可到达点、二次曲线的射影理论进行了归纳整理，并从中学几与射影几之间的本质联系出发，把射影几的理论应用于中学几的作图问题中，解决用初等法不易解决的中学几作图问题，以达到化难为易，拓广解题思路的目的，从而发挥射影几对中学几的指导作用。
关键词：射影几；调和性质；不可到达点；二次曲线AbstractIn this paper,we have consolidated the complete quadrangle's harmomic property,point of infinity,and projective theory of a conic,and linked the nature of the elementaru geometry and projective geometry, focused on the application of the theory of the projective geometry in the issue of mapping in elementary geometry.Thus achieved to make the difficult problem easy, and developed the broad problem solving mentality,and further more,obtained certain promotion of elementary geometry proposition,by this we can supplyment and consummate the elementary geometry content.Key word:projective geometry;hamomic property;point of infinity;tangence of a conic第一章射影几对中学几的指导作用射影几作为一门几课程，有着自身特殊的作用，它对中学几的教学研究有具体的指导意义。
仿射变换的性质及其在解初等几何中的应用
仿射变换的性质及其在解初等几何问题中的应用摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过度到射影变换的重要桥梁，本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用。
关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何Abstract : Affine transformation , namely parallc l projection , is an important transformation in geometry . It is the bridge from the motion converting to the projective transformation . This article will start with the concept of affine transform , to understand the geometry of affine geometry rescarch by affine transformation incariant properties and constant relationship between the number after the deformed shape and positional relationship , and discussed some applications of affine transformation in elementary geometry.Key words : affine transformation ; affine invariance ; elementary geometry1 仿射变换的基本概念及相关性质1.1 仿射变换的概念几何对象在绘制以前，需要经过一系列的变换。
巧用仿射变换解决高考中解析几何问题
＝ ｅ２，且 ｅ１＝ （１，０），ｅ２ ＝ （０，１），由 已知得ＣＰ ＝ 精 心设 计和 讲评从 而使 学生 的解题达 到举 一反 三 的 （ ，０）＋（０，Ｙ）＝ （ ，Ｙ），可得 ＝３Ａ，Ｙ＝４—４Ａ， 效 果．，
—
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＝ ÷，．’．Ｉ Ａ Ｉ·Ｉ Ｂｃ Ｉ＝１５，．。．Ｉ ＡＢ Ｉ＝５，Ｉ ＡＣ Ｉ＝
３，Ｉ ｃ ｌ＝４，由又 Ｐ为线段 Ａ 上的点，且ｃＰ＝÷
以先根 据条 件 得 到 ＲｔＡＡＢＣ特 征 ，然 后 再 考 虑 利 用 三 点共 线条 件建 立 ，Ｙ之 间关 系找 到 基本 不 等 式 ， 转化 为 Ａ的二 次 函数求 解．
， ＝ × （一２ｎｍ）＝＿２，又因 ＝号，
十 ＝ ０．
ｙ，： ，所 以 ｋｅ，Ａ，： ， ： ．．·． 后船
若 直 线 Ｚ 与 圆 ＋ｙ“ ＝ １的交 点‘有 两个 ，则
解法 １：在ＲｔＡＡＢＣ中，由Ａ ·ＡＣ＝９得 Ｉ ＡＢ Ｉ． Ｉ ＢＣ Ｉ ｃｏｓＡ ＝９，由面积 为 ６，得 ｌ ＡＢ １．Ｉ ＢＣ ｌ ｓｉｎＡ ＝
：１２，由以上 两 式解得 ｔａｎＡ ＝ 亍４ 所以ｓｉｎＡ＝ｉ４， ．
ｃｏｓＡ＝÷，所以ｌＩ ＡＢ Ｉ·ｌ ｃ Ｉ＝１５，所以Ｉ Ａ Ｉ＝５，
学 ），２０１７（７）：７—１０．
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巧 用 仿 射 变 换解 决 高 考 中解 析 几何 问题
陕西安康 学院数学与统计 学院 （７２５０００） 王子怡 赵临龙 （指 导教 师）
《高等几何》复习大纲、样题及答案全
《高等几何》复习大纲、样题及答案全《高等几何》复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。
熟练掌握单比的定义和坐标表示。
2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。
3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。
二、考试容1.单比的定义和求法。
2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。
3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。
射影平面一、要求1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。
2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。
3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。
4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。
5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。
二、考核容1.中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。
2.笛萨格（Desargues）定理应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。
3.齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。
4.线坐标线坐标的计算及其应用。
5.对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。
射影变换与射影坐标一、要求1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。
2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。
3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。
4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。
5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。
二、考试容1.交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。
2.完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。
3.一维基本形的射影对应一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。
4.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。
6.射影坐标一维射影坐标、二维射影坐标。
立体几何中的射影
立体几何中的射影、截面和展折浙江省诸暨中学 邵跃才 311800近几年，高考立体几何试题紧紧围绕空间想象能力和逻辑思维能力进行考查，在控制难度的基础上，加大了空间想象能力的考查，主要是考查学生的识图、构图能力，空间概念和空间想象能力，这类题目立意形式多样，但多数是以空间图形的射影、截面和展折为知识和能力的结合点，考查学生的空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
下面结合近几年各地高考和模考中的经典例题予以分类解析，以飨读者。
一、射影例 1 如图1，一间民房的屋顶有三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。
记三种盖法的屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3，若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（ ） A ． P 3＞P 2＞P 1B ．P 3＞P 2＝P 1C ．P 3＝P 2＞P 1D ．P 3＝P 2＝P 1图1分析 设这间民房的地面面积为S 0，则有αααcos P cos P cos P S 3210===，所以 P 3＝P 2＝P 1，故选D 。
本题要从屋顶的实际情景中透过日常生活中常见的现象，抽象出斜面在水平面上的射影的本质特征，反映了数学来源于社会现实，又为社会实践服务的基本事实。
例2 如图2，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是_____________。
（要求：把可能的图的序号都．填上）分析 从俯视、正视和侧视三种方式观察平行四边形BFD 1E 在正方体各个面上的投影，可知图②③正确。
例3正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图2①②③图形面积的取值范围是_________。
分析 如图3，设正四面体ABCD 在平面α上的射影构成的图形面积为S ，因为AB//平面α，从运动的观点看，当CD//平面α时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为21；若CD或其延长线与平面α相交时，则当CD ⊥平面α时，射影面积为最小，最小值为42（证明略），所以]21,42[∈S . 例4 如图4，在一面南北方向的长方形墙ABHG 上用AC=3m ，BC=4m ，AB=5m 的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将AB 放在墙上）。
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利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。
平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。
因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。
解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。
例1 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。
求证：1=++CFPFBE PE AD PD . [2]C图1证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。
P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得，DC DP BD D P AD PD '''==，所以BCP P AD PD '''=， 同理 BC C P BE PE ''=，BCBP CF PF '=， 所以1''''''=++=++BCBP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。
（梅涅劳斯定理 ）[3]分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 。
其逆命题亦成立 。
NBAL'(L)A'C B AMMNA'L C图2（1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。
如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则1''-=⋅⋅=⋅⋅LBL A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。
（2）证明逆命题成立证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。
设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=⋅⋅NBANMA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。
三角形仿射等价性因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。
因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。
而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。
例3 在ABC ∆的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4]D 'C 'DBB'图3证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ∆对应正C B A '''∆，由仿射性质可知，点D 、P 、E 、F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''∆的中线。
在正C B A '''∆中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''，由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ∆中EF ∥BC .例4 证明G 为ABC ∆重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ∆∆∆==.[4]'C图4证明：必要性，如图4，作仿射变换T'，使得ABC∆对应正CBA'''∆，G'为正CBA'''∆的重心，则G'也为内心，即G'到三边距离DG''﹑EG''﹑FG''相等，故CGBCGABGASSS'''∆'''∆'''∆==，则对应在ABC∆，BGCAGCAGBSSS∆∆∆==.充分性，若CGBCGABGASSS'''∆'''∆'''∆==，因为ACCBBA''='=''，故G'到三边距离DG''、EG''、FG''相等，即G'为正CBA'''∆的内心，从而G'也是重心。
由于平行性是仿射性质，因此，命题对一般三角形也成立。
故G为ABC∆的重心。
证明有关平行四边形仿射性质的实例任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形，因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对正方形成立即可。
例5 平行四边形ABCD的一组邻边上有点E，F两个点，且EF∥AC.求证：AED∆和CDF∆面积相等。
[5]证明：作仿射变换，使平行四边形ABCD对应正方形CDBA''，则有E对应E'，F对应F'，如图5，CBF'A'B'ADEFE'图5在正方形CD B A ''中，由F E ''∥C A '，故CA F E CB F B B A E B '''='''=''''， 因为C B B A '=''，所以F B E B ''=''，故F C E A '=''， 因⎪⎩⎪⎨⎧'=''='∠='∠'=''C B B A B DC B A D F C E A 90'，所以F CD D E A '∆≅''∆， 又由于两个多边形面积之比为仿射不变量，故有1=='∆'''∆∆∆F CD D E A CDF AED S S S S ， 所以CDF AED S S ∆∆=.例6 已知在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 在AD 上，DF AF 21=，EF 交AC 于G ，求证：AC AG 51=. [6]E'A''B'图6证明：如图6，作仿射变换f ，使得，平行四边形ABCD 对应正方形D C B A ''''，则由仿射性质可知，点E 、F 、G 分别对应E '、F '、G '，且E '是D A ''的中点，F D F A ''=''21. 在正方形D C B A ''''中，取D C ''的中点P '，过B '、D '、P '作F E ''的平行线，分别交C A ''于点H '、M '、N '。
由平面几何知识易证，C A G A ''=''51， 由于简比是仿射不变量，所以在平行四边形ABCD 中，AC AG 51=. 证明有关梯形仿射性质的实例任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可。
例7 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，对角线AC 与BD 交于E 点，腰AB 与CD 交于F 点，求证：M 、N 、E 、F 四点共线。
[7]B'C 'NC图7证明：如图7，作仿射变换g ，使梯形ABCD 对应等腰梯形D C B A ''''，则由仿射性质可知，点M 、N 、E 、F 依次对应M '、N '、E '、F '，其中M '、N '分别为D A ''与C B ''的中点。
在等腰梯形D C B A ''''中，由对称性可知，N M ''是对称轴，E '为对称直线C A ''与D B ''的交点，F '为对称直线B A ''与D C ''的交点，因此，E '、F '必在直线N M ''上，即E '、F '、M '、N '四点共线。
由于结合性是仿射不变量，所以在梯形ABCD 中M 、N 、E 、F 四点共线。
应用仿射变换求与椭圆有关的问题圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身的定义要比圆复杂，椭圆的性质和定理就很少，解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多。
在初等几何中，有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的方法来解决，这就给我们解题带来了不少麻烦。
因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而由仿射变换性质可知，椭圆通过适当的仿射变换可变成圆。
例8 求椭圆12222=+by a x 的面积。
[8]图8解：设在笛氏直角坐标系下，椭圆12222=+b y a x 经过仿射变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y b a y xx ，其中001≠=∆ba ，椭圆的仿射图形为222a y x =+. 因为两个封闭图形面积之比为仿射不变量，所以要想利用仿射变换解题，必须构造面积之比。
所以选定椭圆内的OAB ∆，如图9所示，)0,0(O 、),(b a A 、),0(b B 经过仿射变换，OAB ∆对应图形B A O ''∆，其中 A 与A '重合且),0(b B .所以222121a a ab S S S S S B A O OABπ==''∆∆椭圆圆椭圆即，故ab S π=椭圆. 例9 求椭圆125922=+y x 两点)225,223(A 、)225,223(-B 和中心的连线以及椭圆弧''B A 所围成的面积OABO S . [9]图9解：如图9，作仿射变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y 54y x 34x ＇＇，把椭圆15y 3x 2222=+变成圆2ˊ22ˊ16x =+y ，相应地把点)225,223(A 、)225,223(-B 分别变成)22,22(A '、)22,22(-'B ， 在O '中，24''=B A ，又因为224222''sin ===RB A α，所以4πα=， 圆O '中的扇形面积o p op S 21=ππα41642212=⨯=⨯⨯R ，又因15165434''''=⨯=OABOO B A O S S ，所以π451615''''==O B A O OABO S S . 通过以上例题可以看出，我们不但能够求出圆的扇形面积，也能求出椭圆的扇形面积,只要给出椭圆上的两点即可，这个结论在初等几何中是没有的。