射影几何中仿射变换解初等几何题

利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。

平行投影
平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。

因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。

解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。

例1 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。

求证：
1=++CF
PF
BE PE AD PD . [2]
C
图1
证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。

P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得，
DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC
P P AD PD '
''=
， 同理 BC C P BE PE ''=，BC
BP CF PF '
=
， 所以
1''''''=++=++BC
BP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。

（梅涅劳斯定理 ）[3]
分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NB
AN
MA CM LC BL 。

其逆命题亦成立 。

N
B
A
L'(L)
A'C B A
M
M
N
A'
L C
图2
（1）证明梅涅劳斯定理成立
由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。

如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则
1''-=⋅⋅=⋅⋅LB
L A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。

（2）证明逆命题成立
证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=⋅⋅NB
AN
MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。

设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=⋅⋅NB
AN
MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。

三角形仿射等价性
因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。

因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。

而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。

例3 在ABC ∆的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4]
D 'C '
D
B
B'
图3
证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ∆对应正C B A '''∆，由仿射性质可知，点D 、P 、
E 、
F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''∆的中线。

在正C B A '''∆中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''，
由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ∆中EF ∥BC .
例4 证明G 为ABC ∆重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ∆∆∆==.[4]
'
C
图4
证明：必要性，
如图4，作仿射变换T'，使得ABC
∆对应正C
B
A'
'
'
∆，G'为正C
B
A'
'
'
∆的重心，则G'也为内心，即G'到三边距离D
G'
'﹑E
G'
'﹑F
G'
'相等，故
C
G
B
C
G
A
B
G
A
S
S
S
'
'
'
∆
'
'
'
∆
'
'
'
∆
=
=，则对应在ABC
∆，
BGC
AGC
AGB
S
S
S
∆
∆
∆
=
=.
充分性，
若
C
G
B
C
G
A
B
G
A
S
S
S
'
'
'
∆
'
'
'
∆
'
'
'
∆
=
=，因为A
C
C
B
B
A''
=
'
='
'，故G'到三边距离D
G'
'、E
G'
'、F
G'
'相等，即G'为正C
B
A'
'
'
∆的内心，从而G'也是重心。

由于平行性是仿射性质，因此，命题对一般三角形也成立。

故G为ABC
∆的重心。

证明有关平行四边形仿射性质的实例
任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形，因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对正方形成立即可。

例5 平行四边形ABCD的一组邻边上有点E，F两个点，且EF∥AC.求证：AED
∆
和CDF
∆面积相等。

[5]
证明：作仿射变换，使平行四边形ABCD对应正方形CD
B
A'
'，则有E对应E'，F对应F'，如图5，
C
B
F'
A'B'
A
D
E
F
E'
图5
在正方形CD B A ''中，由F E ''∥C A '，故
C
A F E C
B F B B A E B ''
'=
'''=''''， 因为C B B A '=''，所以F B E B ''=''，故F C E A '=''， 因⎪⎩
⎪
⎨⎧'=''='∠='∠'=''C B B A B DC B A D F C E A 90'，所以F CD D E A '∆≅''∆， 又由于两个多边形面积之比为仿射不变量，故有1=='
∆'
''∆∆∆F CD D E A CDF AED S S S S ， 所以CDF AED S S ∆∆=.
例6 已知在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 在AD 上，DF AF 2
1
=
，EF 交AC 于G ，求证：AC AG 5
1
=
. [6]
E'
A'
'
B'
图6
证明：如图6，作仿射变换f ，使得，平行四边形ABCD 对应正方形D C B A ''''，则由仿射性质可知，点E 、F 、G 分别对应E '、F '、G '，且E '是D A ''的中点，F D F A ''=
''2
1
. 在正方形D C B A ''''中，取D C ''的中点P '，过B '、D '、P '作F E ''的平行线，分别交C A ''于点H '、M '、N '。

由平面几何知识易证，C A G A ''=
''5
1
， 由于简比是仿射不变量，所以在平行四边形ABCD 中，AC AG 5
1
=. 证明有关梯形仿射性质的实例
任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可。

例7 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，对角线AC 与BD 交于E 点，腰AB 与CD 交于F 点，求证：M 、N 、E 、F 四点共线。

[7]
B'
C '
N
C
图7
证明：如图7，作仿射变换g ，使梯形ABCD 对应等腰梯形D C B A ''''，则由仿射性质可知，点M 、N 、E 、F 依次对应M '、N '、E '、F '，其中M '、N '分别为D A ''与C B ''的中点。

在等腰梯形D C B A ''''中，由对称性可知，N M ''是对称轴，E '为对称直线C A ''与D B ''的交点，F '为对称直线B A ''与D C ''的交点，因此，E '、F '必在直线N M ''上，
即E '、F '、M '、N '四点共线。

由于结合性是仿射不变量，所以在梯形ABCD 中M 、N 、E 、F 四点共线。

应用仿射变换求与椭圆有关的问题
圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身的定义要比圆复杂，椭圆的性质和定理就很少，解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多。

在初等几何中，有很多有关椭圆的问题，
只能通过解析几何的方法来解决，这就给我们解题带来了不少麻烦。

因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而由仿射变换性质可知，椭圆通过适当的仿射变换可变成圆。

例8 求椭圆122
22=+b
y a x 的面积。

[8]
图8
解：设在笛氏直角坐标系下，椭圆12222=+b y a x 经过仿射变换⎪⎩⎪
⎨⎧='='y b a y x
x ，其中
00
1≠=
∆b
a ，椭圆的仿射图形为222a y x =+. 因为两个封闭图形面积之比为仿射不变量，所以要想利用仿射变换解题，必须构造面积之比。

所以选定椭圆内的OAB ∆，如图9所示，)0,0(O 、),(
b a A 、),0(b B 经过仿射变换，OAB ∆对应图形B A O ''∆，其中 A 与A '重合且),0(b B .
所以
2
2
2
121a a ab S S S S S B A O OAB
π==''∆∆椭圆圆
椭圆即，故ab S π=椭圆. 例9 求椭圆125922=+y x 两点)225,223(A 、)225
,223(-B 和中心的连线以及椭圆
弧''B A 所围成的面积OABO S . [9]
图9
解：如图9，作仿射变换⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧==y 5
4y x 34
x ＇＇
，把椭圆1
5y 3x 2222
=+变成圆2
ˊ22ˊ16x =+y ，相应地把点
)225,223(
A 、)22
5,223(-B 分别变成)22,22(A '、)22,22(-'B ， 在O '中，24''=B A ，又因为224222
'
'sin ==
=
R
B A α，所以4
π
α=， 圆O '中的扇形面积o p op S 21=ππ
α41642212=⨯=⨯⨯R ，
又因
15165434''''=⨯=
OABO
O B A O S S ，所以π4
5
1615''''==O B A O OABO S S . 通过以上例题可以看出，我们不但能够求出圆的扇形面积，也能求出椭圆的扇形面积,
只要给出椭圆上的两点即可，这个结论在初等几何中是没有的。

综上，椭圆的有关仿射性质的问题可转化为圆的问题来解决，为解题或证明带来极大的方便。

例10 平行于平行四边形ABCD 的对角线AC 作一直线与,AB BC 相交于,E F 。

求证：AED CDF S S ∆∆=。

证明：如图1所示，设正方形'''
'
A B C D 经过一个仿射变换T 得到ABCD ,即
正方形''''T
A B C D ABCD −−
→
图1
由于T 保持平行性，结合性，所以
''',,D E E F F D →→→
且
''F E //''
AC
而在正方形''''
A B C D 中
''''''A E D C D F ≅
所以有
'''
'''
A E D C D F S
S
=
因为两三角形的面积之比是仿射不变量，则有
''''''
=
A E D AED CDF
C D F S S S
S
所以 AED CDF S S ∆∆=
德萨格定理的应用
德萨格定理是射影几何的理论基础，它的应用很广，许多定理以它为依据。

定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形。

平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性。

德萨格定理 如果两个三点形对应顶点连线交于一点，则对应边的交点在同一直线上。

德萨格定理的逆定理 如果两个三点形对应边的交点在同一直线上，则对应顶点的连线交于一点。

定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点，且对应边的交点共线，则两三点形构成透视关系。

对应顶点连线的交点叫做透视中心，对应边交点所在的直线叫做透视轴。

例11 如图2所示，过三角形ABC 的三个顶点，任作三条直线,,AD BE CF ，分别与对边交于,,,F E D 且CF BE AD ,,共点.求证：若EF BC X ⋂=
, FD CA Y ⋂=,
DE AB Z ⋂=,则Z Y X ,,三点共线。

证明 在三点形ABC 和DEF 中，因为对应顶点的连线CF BE AD ,,共点。

有德萨格定理知，其对应边的交点共线，即有Z Y X ,,共线。

图2
点列中四点的交比
定义1 共线四点,,,A B C D 的交比定义为两个单比()ABC 与()ABD 的比，记为
()
(,)()
ABC AB CD ABD =
其中A ，B 两点称为基点，C ，D 两点称为分点。

根据交比的定义有()(,)()AC
ABC AC BD
BC AB CD AD ABD BC AD BD
⋅===
⋅ 不相同的共线四点的交比与点的排列顺序有密切的关系。

定理1 两基点与分点交换，交比的值不变。

即 (,)(,)CD AB AB CD =
定理2 只有两基点交换或只有两分点交换，交比的值与原来的交比值互为倒数。

即 1
(,)(,)(,)
BA CD AB DC AB CD ==
定理3 交换(,)AB CD 中间两字母顺序或交换两端字母顺序所得的交比值与原来交比值和为常数1，即
(,)(,)1(,)AC BD DB CA AB CD ==- 定理 4 一直线上的无穷远点分其上的任何亮点的单比等于1.
定理 5 已知两个不同的普通点(),(),()A a B b P a tb +为直线AB 上一点，且
()ABP λ=，则
3
3
b t
a λ=- 。

推论 1 若共线四点为12(),(),(),()A a B
b C a t b D a t b =+，则 1
2
(,)t AB CD t =
其中
1212()0t t t t -≠
推论 2 若共线四点,,,A B C D 的坐标分别为1234,,,a t b a t b a t b a t b ++++， 则
13242314()()
(,)()()
t t t t AB CD t t t t --=
--
其中1234,,,t t t t 互不相等。

在共线四点的交比中，交比值为-1的情况十分重要，若(,)1AB CD =-，则称,C D 调和分离,A B ，或称,A B 与,C D 调和共轭。

交比值-1叫做调和比。

例12设(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1)A B D -为共线三点，且(,)2AB CD =,求点C 的坐标。

解 设 12,C A t B D A t B =+=+
代入坐标可得
21t =
由1
2
(,)2t AB CD t =
=得 12t =
所以2C A B =+,即点C 坐标为(3,1,3)-
线束中四条直线的交比的应用
定义 1 若,,,a b c d 为线束S 中的四条直线，则
),sin(),sin()
,sin(),sin()()(),(d a c b d b c a abd abc cd ab =
=
叫做,,,a b c d 的交比，其中,a b 叫基线，,c d 叫做分线。

定理1 若线束S 中的四条直线,,,a b c d 被任意一直线s 截于,,,A B C D 四点，则 (,)(,)AB CD ab cd =
与点列交比像是，可以得到线束交比的性质，共点四直线的交比也有24个交比值，分为六类，每类中四个交比值相等.
定理2 若12,,,a b a t b a t b ++为四条不同的普通共点直线(1,2,3,4)i l i =的齐次坐标，则
1
12342
(,)t l l l l t =
1212()0t t t t -≠
定理3 交比经中心射影后不变，即交比为射影性质。

例13 ABC ∆中ABC ∠的内、外角分线,AM AN 交BC 于,M N 。

求证：BM BN MC CN =.。

证明 如图3，记直线,,,AB AC AM AN ，分别为,,,a b c d 则
1
),sin(),sin(),sin(),sin(),(-=⋅⋅=d a c b d b c a cd ab 由定理1得
(,)(,)ab cd BC MN = 所以
1),(-=⋅⋅=BN CM CN BM MN BC 即
CN BN MC BM = 得证。