八年级数学海伦公式

海伦公式
一、什么是海伦公式？
如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC 的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
图1
像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？
海伦公式：三角形的面积
()()()c
S-
p
=
-
-
p
p
b
p
a
1
其中：a、b、c分别是三角形的三边长，()c
=
+
b
a
p+
2
海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。

此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。

亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。

亚历山大里亚的海伦（希腊语：ἭρωνὁἈλεξανδρ
εύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。

他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。

我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。

“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。

”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，用现代公式表示即为：
〉-+-〈=2
22222)2
(41b a c a c s
能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 四、秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册 五、秦九韶公式的证明
中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 2
1
=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。

如图2，
图2
B
C
在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+a z y b z x c y x 222222
解方程，得
a
b c a y 2222-+=，
a
c b a z 2222-+=
，
22222222222
2
2
)(421
)2(b c a c a a
a b c a c y c x -+-=-+-=-=
又因为a ABC
ah S 21=∆，所以〉-+-〈=2
22222)2
(41b a c a c s 六、海伦公式的证明
那么，海伦公式如何证明呢？
海伦公式：三角形的面积
()()()c p b p a p p S ---=
其中：a 、b 、c 分别是三角形的三边长，()c b a p ++=2
1
证明（1）：由余弦定理可知：b
a c
b a C 2cos 2
22-+= ，由此得出
由 ()c b a p ++=2
1 可得：
p c b a 2=++ ，
()c p c p c c b a c b a -=-=-++=-+2222 ， ()a p a p a c b a c b a -=-=-++=++-2222 ， ()b p b p b c b a c b a -=-=-++=+-2222 ，
因此：
()()()()
()()()
c p b p a p p b
a c
b a
c b a c b a c b a b a C ---=+-++--+++=
221sin
()()
()()()()()()()()
c b a c b a c b a c b a b
a b
a b a c b
a c
b a b a b a b a
c b a c b a b a
b a c
b a b a
c b a C C C
C +-++--+++=
--⋅-+=-+-⋅
-++=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++=-+=-=21
2222222121cos 1cos 1cos 1sin 2
222222222
2
222
2
2
2
由三角形面积公式 C b a S sin 2
1= 即得
()()()c p b p a p p S ---=
上述证明用到了三角函数 C sin 、C cos ，因为初二年级的学生还没有接触三角函数，我们也可以考虑用以下的方法证明。

BT 是
△ABC 的AC 边上的高，点 T 为垂足。

记 c AB =，
b AC =，a BC =，h BT =，d CT =（见上图）。

证明（2）：若 △ABC 是锐角三角形（图3），则由勾股定理有
()()()
⎩⎨⎧=--=-212222
22h
d b c h d a 由（1）式得出 22h a d -= ，带入（2）式 ：
(
)2
2
2
2
2
h h
a b c =--
- 。

展开，即得 (
)2
22
22222h h a b
h a b c =---+- ，由此式解得
()()()()()2
22
222222
444b c b a c b a c b a c b a b c b a b a h -++-++-++=
-+-= ， 类似于证明（1），得出
()()()2
24b c p b p a p p h ---= ，
由于三角形面积 h b S 2
1
=，由上式即得
()()()c p b p a p p S ---=。

若 △ABC 是钝角三角形（图4），不失一般性，设 ο90>∠C ，则由勾股定理有
()()()
⎩⎨⎧=+-=-31222222h
d b c h d a 类似于 △ABC 是锐角三角形的情况，可得
()()()2
24b c p b p a p p h ---=
，
因而亦得 ()()()c p b p a p p S ---=。

若 △ABC 是直角三角形（图4），不失一般性，设 ο90=∠C ，由勾股定理有
222c b a =+ 。

()()()()[]()[]
b a b a
c c b a c
b a
c b a c b a c b a c p b p a p p 2
141
2
2222
222=--⋅-+=
-+⋅+-⋅++-⋅++=
---
故，此时仍有 ()()()c p b p a p p S ---= 。

七、海伦公式的推导
海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如： S=))()((c p b p a p p ---
=))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++ =])(][)[(412222b a c c b a ---+
=)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+ =222222)(441c b a b a -+-
=4442222222224
1c b a c b c a b a ---++
三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内
接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设四条边长分别为d c b a ,,,，且2
d
c b a p +++=,则S 四边形
=))()()((d p c p b p a p ----
现根据猜想进行证明。

证明：如下图，延长DA ，CB 交于点E 。

设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB ～△ECD
∴e a f + = c f e + = d b
， ABCD
EAB S S 四边形∆ = 222
b d b -
解得： e =
2
2)
(b d cd ab b -+ ③ f =22)
(b
d bc ad b -+ ④
由于S 四边形ABCD =2
2
2b b d -S △EAB
将③，④跟b =2222)
(b d b d b -+代入海伦公式公式变形，
得：∴S 四边形ABCD =
22
24b b d -222222)(4f b e b e -+-
=2
2
24b b d -22
222222222222222242222224)]
)()()()()()([()()()(4b d bc ad b b d b d b b d cd ab b b d b d cd ab b -+---+-+---+
=2
2
24b
b d -{}
2
2222222224224
])()()[()()(4)
(bc ad b d cd ab b d cd ab b d b +--++--+-
=)(4122b d -2222222222]}{}{}[{)()(4bc ad b d cd ab b d cd ab +--++--+
=)(41
22b d -)2()()(42222224422222222c b d a b d b d d c b a b d cd ab ---+++--+ =
)(41
22b d -)()([)()(422222222222222c a b d d c d b a b b d cd ab +--+--+--+
=
)(4122b d -])()(4[)(222222222a b d c cd ab b d --+-+-
=4
1)22)(22(22222222c a b d cd ab a b d c cd ab -++-+--+++
=])()][()()[(41
2222c a d b d b c a --+--+
=))()()((41
a c d
b b
c
d a c d b a d c b a -++-++-++-++
=))()()((d p c p b p a p ---- 所以，海伦公式的推广得证。

4。