高考真题19年理科数学

高考真题19年理科数学
2019年高考数学理科试卷涵盖了数学基础知识的各个方面，考查了
学生的思维能力和解决问题的能力。

在这篇文章中，我们将详细解析2019年高考数学理科试题，希望能帮助大家更好地理解数学知识，提
高解题能力。

首先，让我们来看一道选择题：
1.已知集合$A=(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 4$，集合$B=(x,y)|x=-1$或者
$y=2$.
则集合$A\cap B$的图象为
(A)直线
(B)圆的一部分
(C)圆心和一个点
(D)圆和直线
解析：首先我们要确定集合$A$和集合$B$的几何形状，集合$A$是
平面上满足$x^{2}+y^{2}\leq 4$的点的集合，是一个单位圆，而集合
$B$是平面上$x=-1$或者$y=2$的点的集合，分别是一条直线和一个点。

那么集合$A\cap B$即为同时属于集合$A$和集合$B$的点的集合，即单
位圆与$x=-1$直线在$(-1,2)$点处的交集，为一个点，因此选项(C)圆心
和一个点是正确答案。

接下来我们来看一道计算题：
2.已知数列$\{a_{n}\}$的通项式为$a_{n}=(-1)^{n-1}(n+1)$，则数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=-1^{S_{n}}$为
(A)$\frac{n(n+3)}{4}$
(B)$\frac{n(n+1)}{4}$
(C)$\frac{n(n+3)}{2}$
(D)$\frac{n(n+1)}{2}$
解析：首先我们来计算数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$，其通
项式为$a_{n}=(-1)^{n-1}(n+1)$，则前$n$项和为
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=\sum_{n=1}^{n}a_{n}=\sum_{n= 1}^{n}(-1)^{n-1}(n+1)$。

将其拆分为奇数项和偶数项相加，得到
$S_{n}=-1^{n}+2-1^{n-1}+3-1^{n}+4+...+(-1)^{n-2}(n-
1)+n=2+4+...+(n+2)$。

简化得
$S_{n}=2+4+6+...+2n=\frac{2(n+1)n}{2}=n(n+1)$，选项(B)
$\frac{n(n+1)}{4}$是正确答案。

最后，我们来看一道证明题：
3.已知函数$f(x)=e^{x}-e^{-x}$，且在区间$[0,+\infty]$上单调递增，求$f(x_{1})f(x_{2})$的最小值，其中$x_{1},x_{2}\in [0,+\infty]$。

解析：首先我们根据函数$f(x)$的性质可知$f'(x)=e^{x}+e^{-x}>0$，即$f(x)$在$[0,+\infty]$上单调递增。

根据柯西-施瓦茨不等式可知
$(f(x_{1})f(x_{2}))^{2}\leq f(x_{1})^{2}+f(x_{2})^{2}$。

又因为
$f(x_{1})^{2}+f(x_{2})^{2}=(e^{x_{1}}-e^{-x_{1}})^{2}+(e^{x_{2}}-
e^{-x_{2}})^{2}=2(e^{x_{1}+x_{2}}+e^{x_{1}-x_{2}}+e^{x_{2}-
x_{1}})$。

再由$f(x)$的性质$f'(x)=e^{x}+e^{-x}>0$可知$f(x)>0$。

因此，$(f(x_{1})f(x_{2}))^{2}\leq
f(x_{1})^{2}+f(x_{2})^{2}=2(e^{x_{1}+x_{2}}+e^{x_{1}-
x_{2}}+e^{x_{2}-x_{1}})$。

当$x_{1}=x_{2}$时，
$(f(x_{1})f(x_{2}))^{2}=2(e^{2x}+e^{x})$。

当$x_{1}=x_{2}$时，
$(f(x_{1})f(x_{2}))^{2}$取得最小值。

因此，$f(x_{1})f(x_{2})$的最小
值为$\sqrt{2(e^{2x}+e^{x})}$。

通过以上解析，我们了解了2019年高考数学理科试卷中的一些题目，希望大家通过这些题目的分析和解答，能够更好地掌握数学知识，提升解题能力，为高考取得优异成绩做好充分准备。

祝愿大家在高考
中取得理想的成绩！。