高二年级数学第二学期综合练习[最新版]

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高二年级数学第二学期综合练习
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是
2．复数3
)11(i
+=
3．“18a =
”是“对任意的正数x ，21a
x x
+≥”的 条件 4．设集合{}
{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是
5．为得到函数πcos 23y x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 6．已知t 为常数，函数t x x y --=22
在区间[0，3]上的最大值为2，则t=
7．0
20
3sin 702cos 10
--= ． 8．已知实数x,y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|21|i z +-的最大值和
最小值分别是
9．已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛3∈=
⎪⎭⎫
⎝
⎛-
4,2,1024cos πππx x ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛
+32sin πx = 10．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的
最大值为
11．设函数sin ()2cos x
f x x
=+，则()f x 的单调增区间为
12．若函数(1)y f x =-
的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =
13．已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则a 、b 、c 的大小关系由小到大排列为
14．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()
0f x f x x
--<的解集为
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π
（Ⅰ）求f （
8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间。

16．（14分）设全集U ＝R
（1）解关于x 的不等式01|1|>-+-a x （∈a R ） （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合B ＝｛0)3
cos(3)3
sin(|=-
+-
π
ππ
πx x x ｝，若
B A
C U ⋂)(恰有3个元素，求a 的取值范围。

17．（14分）如图，等腰梯形ABCD 的三边,,AB BC CD 分别与函数2
122
y x =-+，[]2,2x ∈-的图象切于点,,P Q R .求梯形ABCD 面积的最小值。

18．（16分）已知函数|
|212)(x x
x f -
=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；
（2）若0)()2(2≥+t mf t f t
对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围。

19．（16分）已知a 是实数，函数())f x x a =
-。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值。

（i ）写出)(a g 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。

20. （16分）设.2)(,ln )(),(2)(--==--
=e
p
qe e g x x f x f x q px x g 且其中（e 为自然对数的底数）
（1）求p 与q 的关系；
（2）若)(x g 在其定义域内为增函数，求p 的取值范围； （3）证明： ①()1f x x ≤-；②)1(412ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n n
n （n ∈N ，n ≥2）
答案：
1．01,23>+-∈∃x x R x 2．－8i
3．充分不必要条件 4．13-<<-a 5．55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛
⎫=+
=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移
5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像 6．1 7．2 8．2
2,
262 9．50
3
724+-
10
11．2π2π2π2π33k k ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭
，（k ∈Z ） 12
．由()
()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==
13．c a b <<
14．由奇函数()f x 可知
()()2()
0f x f x f x x x
--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当
0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，
则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或 15．（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x
＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21
)sin(232ϕωϕωx x ＝2sin(ϕω+x -
6
π
)
因为 f (x )为偶函数，
所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，
因此 sin （-ϕω+x -
6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6
π
),
整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （ϕ-6
π
）＝0.
又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2
π
)=2cos x ω.
由题意得
.
2,2
22　＝ 所以 ωπ
ω
π
⋅
=
故 f (x )=2cos2x . 因为 .24
cos
2)8
(==π
πf
（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个
6
π个单位后，得到)6(π
-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到
原来的4倍，纵坐标不变，得到)6
4(π
π-f 的图象.
).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤
3
2
π
π
-
≤2 k π+ π (k ∈Z),
即 4k π＋≤32π≤x ≤4k π+3
8π
(k ∈Z)时，g (x )单调递减.
因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
++384,324ππππk k (k ∈Z)
16．：(Ⅰ)由|x-1|+a-1＞0得|x-1|＞1-a ．
当a ＞1时，解集是R ；
当a ≤1时，解集是{x|x ＜a 或x ＞2-a}．
(Ⅱ)当a ＞1时，U A=φ；
当a ≤1时，U A={x|a ≤x ≤2-a}．
因sin(πx-)+cos(πx-)
=2[sin(πx-)cos +cos(πx-)sin ]=2sin πx ，
由sin πx=0，得πx=k π(k ∈Z)，即x=k ∈Z ，所以B=Z ．
当(U A)∩B 恰有3个元素时，a 应满足
解得-1＜a ≤0．
17．解：设梯形ABCD 的面积为s ，点P 的坐标为2
1(,2)(02)2
t t t -
+<≤。

由题意得， 点Q 的坐标为(0,2)，直线BC 的方程为2y =。

21
2,2
y x =-+ y x '∴=- |x t y t ='∴=-
∴ 直线AB 的方程为2
1(2)(),2
y t t x t --+=--
即：2
122
y tx t =-++
令0y = 得，2244
,(,0).22t t x A t t
++=∴ 令2y = 得，11
(,2)22
x t B t =
∴ ∴
21142
()222()222t S t t t t
+=⨯+⨯⨯=+42≥
当且仅当2
t t
=
，即t ==(]0,2，
∴ t =
S 有最小值为
∴梯形ABCD 的面积的最小值为
18．（1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x
x x f 21
2)(-=. 由条件可知 22
12=-
x x ，即 012222=-⋅-x
x ， 解得 212±=x .
02>x ，()
21log 2+=∴x . （2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ，
即 ()()
121242--≥-t t m .
0122>-t ， ∴ ()
122+-≥t m . ()
]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，
故m 的取值范围是),5[∞+-. 19．（Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，，
()
f x '==（0x >）． 若0a ≤，则()0f x '>，
()f x 有单调递增区间[0)+∞，．
若0a >，令()0f x '=，得3
a
x =， 当03
a
x <<时，()0f x '<， 当3
a
x >
时，()0f x '>． ()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．
（Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增，
所以()(0)0g a f ==．
若06a <<，()f x 在03a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在23a ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，上单调递增，
所以()3a g a f ⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
若6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减，
所以()(2))g a f a ==-．
综上所述，00()06)6a g a a a a ⎧⎪
⎪=<<⎨-，≤，，
，≥． （ii ）令6()2g a --≤≤． 若0a ≤，无解．
若06a <<，解得36a <≤． 若6a ≥
，解得62a +≤≤ 故a
的取值范围为32a +≤≤ 20．（1）由题意,ln 2)(x x
q
px x g --
= q
p e e e
e q p e q p e q p e
q qe e q pe e q pe e g =∴≠+=+-∴=-+-∴--=--∴--
=,01
,0)1
)((,01)()(,22,2)(而又
（2）由（1）知：x x
p
px x g ln 2)(--
=（x>0） ,22)(2
22x p
x px x x p p x g +-=-+='
令h (x )=p x 2－2x +p.要使g(x )在（0，+∞）为增函数，只需h(x )在（0，+∞）满
足：h(x )≥0恒成立.
即p x 2－2x +p ≥0
22(0,)1
x
p x ≥
+∞+在上恒成立
又22201(0)11x x x x x <
=≤=>++ 所以1p ≥
（3）证明：①即证：ln x －x +1≤0 (x >0)，
设x
x
x x k x x x k -=-='+-=111)(,1ln )(则.
当x ∈（0，1）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数； 当x ∈（1，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数； ∴x =1为k(x )的极大值点， ∴k(x )≤k(1)=0.
即ln x －x +1≤0，∴ln x ≤x －1. ②由①知ln x ≤x －1,又x >0，
x
x x x x 1
11ln .
-=-≤∴
222222*,2,,ln 11.ln 11(1),2n N n x n n n n n n n
∈≥=≤-∴≤-令得
2222222222ln 2ln 3ln 1111(111)23222311111111
[(1)]()][(1)()]
22322334(1)
1111111[1()]223341111[1()]221214(1)
n n n n n n n n n n n n n n n ∴
+++≤-+-++-=--+++<--+++
⨯⨯+=---+-++-+=---+--=
+
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