2020-2021学年遵义市新蒲新区八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年遵义市新蒲新区八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.下列四个图形分别是正三角形、等腰梯形、正方形、圆，它们全部是轴对称图形，其中对称轴
的条数最少的图形是()
A. B. C. D.
2.下列各式运算正确的是()
A. 2a+3b=5ab
B. 5x6+8x6=13x12
C. 8y−3y=5
D. 3ab2−5ab2=−2ab2
3.如图，已知A(，y1)，B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点，动点
P(x,0)在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的
坐标是()
A. (，0)
B. (1,0)
C. (，0)
D. (，0)
4.若分式1
有意义，则x的取值范围是()
x+1
A. x≠0
B. x≠−1
C. x>1
D. x<1
5.若点A(n,m)在第四象限，则点B(m2,−n)()
A. 第四象限
B. 第三象限
C. 第二象限
D. 第一象限
6.要使(x2+ax+2)(2x−1)的结果中不含x2项，则常数a的值为()
C. 1
D. −2
A. 0
B. 1
2
7.工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，∠EOF是一个任
意角，在边OE，OF上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相
同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠EOF
的平分线．要说明射线OP是∠EOF的平分线，应先说明△OPM与△OPN全等，△OPM与△OPN全等的依据是()
A. SSS
B. ASA
C. SAS
D. AAS
8.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米
到达点C，再经过一段斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(B,C,D,E均在同一平面内).已知斜坡CD的坡度(或坡比)i=4：3，且点C到水平面的距离CF为8米，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为()
(参考数据：sn24°=0.41，cos24°=0.91，tan24°=0.45)
A. 21.7米
B. 22.4米
C. 27.4米
D.
28.8米
9.如果把分式中的正数x，y，z都扩大2倍，则分式的值
()
A. 不变
B. 扩大为原来的两倍
C. 缩小为原来的
D. 缩小为原来的
10.如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，将△ABC沿CF折叠，点B落
在AC上的点E处，则AF
FB
等于()
A. 1
2
B. 3
5
C. 5
3
D. 2
11.小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降
低了20%出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了50kg.设这种大米的原价是每千克x元，则根据题意所列的方程是()
A. 100
x +120
20%x
=50 B. 100
x
+120
(1−20%)x
=50
C. 100
20%x +120
x
=50 D. 100
(1−20%)x
+120
x
=50
12.五星红旗是中华人民共和国国旗，旗上的五颗五角星及其相互关系象征
着中国共产党领导下的革命人民大团结.五角星是由五个每个顶角为36°
的等腰三角形组成，既美观又蕴含名数学知识，如图将五角星绕其旋转中心按顺时针旋转一定角度，线段AB恰好与线段CD重合，则该旋转角的度数是()
A. 144°
B. 108°
C. 72°
D. 36°
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.计算：|−√3|−(π−2020)0−√75=______ ．
14.如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是______．
15.已知△ABC关于直线y=1对称，C到AB的距离为2，AB长为6，则点A、点B的坐标分别为______．
16.如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐
标是(2.5,2)，则D点的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分）
17.计算：(2x−y)2−4(y−x)(−x−y)
18.分解因式：
(1)25p2−16q2；
(2)x3−11x2−12x；
(3)(x2+1)2−4x2．
19.解方程：7−9x
2−3x +4x−5
3x−2
=1．
20.阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题(如图
2)．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
(1)如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.若∠B，
∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足______关系时，仍有EF=BE+DF；
(2)如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，
EC=2，求DE的长．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(5,1)，B(5,4)，C(2,5)．
(1)在网格中，作出△ABC 关于x 轴的对称图形△A′B′C′.并写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′(______ ，
______ )，B′(______ ，______ )，C′(______ ，______ ).
(2)在x 轴上求作一点P ，使PA +PC 的值最小.并求出△ABC 的面积．
22. 如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ．
(1)已知∠A =30°，求∠ACB 的度数；
(2)已知∠A =40°，求∠ACB 的度数；
(3)已知∠A =x°，求∠ACB 的度数；
(4)请你根据解题结果归纳出一个结论．
23. 计算：
(1)(x −y)2−y(y −2x)；
(2)(a −a−16a+9)÷a 2−16a+9．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A(0,−2a)、C(−2a,0)在坐标轴上，点B(4a,2a)
在第一象限，把线段AB 平移，使点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，连接AC 、BD ．
(1)用含a 的式子表示点D 坐标：D(______，______)；
(2)点P 由D 出发沿线段DC 向终点C 匀速运动，点P 的横、纵坐标每秒都减少a 个单位长度，作PM 垂直
x 轴于点M ，作BE 垂直x 轴于点E ，点N 从点E 出发沿x 轴负方向运动，速度为每秒a 个单位长度，P 、N 两点同时出发，同时停止运动．当O 为MN 中点时，PM =1，求B 点坐标；
ON时，求△PND的面积．(3)在(2)的条件下，连接PN、DN，在整个运动过程中，当OM=1
3
参考答案及解析
1.答案：B
解析：解：A、正三角形有三条对称轴；
B、等腰梯形有一条对称轴；
C、正方形有四条对称轴；
D、圆有无数条对称轴．
故选：B．
根据对称轴的概念，确定每个图形的所有对称轴．
掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
2.答案：D
解析：解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B、5x6+8x6=13x6，原合并同类项错误，故选项B不符合题意；
C、8y−3y=5y，原合并同类项错误，故选项C不符合题意；
D、3ab2−5ab2=−2ab2，原合并同类项正确，故选项D符合题意；
故选：D．
根据合并同类项的法则把系数相加即可．
本题考查了合并同类项．解题的关键是掌握合并同类项法则的运用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
3.答案：D
解析：
本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP−BP|< AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA−PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
解：∵把A(12,y 1)，B(2,y 2)代入反比例函数y =1x 得：y 1=2，y 2=12，
∴A(12,2)，B(2,12)，
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP −BP|<AB ，
∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA −PB =AB ，
即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，
设直线AB 的解析式是y =kx +b ，
把A 、B 的坐标代入得：{2=12k +b 12=2k +b ， 解得：k =−1，b =52，
∴直线AB 的解析式是y =−x +52，
当y =0时，x =52，
即P(52,0)，
故选D ． 4.答案：B
解析：解：由题意，得
x +1≠0，
解得x ≠−1，
故选：B ．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
5.答案：A
解析：解：∵点A(n,m)在第四象限，
∴n >0，m <0，
∴m 2>0，−n <0，
∴点B(m2,−n)在第四象限．
故选：A．
根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数表示出m、n，再根据各象限内点的坐标特征解答．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．6.答案：B
解析：解：原式=(x2+ax+2)(2x−1)
=2x3−x2+2ax2−ax+4x−2
=2x3+(2a−1)x2+(4−a)x−2，
∵(x2+ax+2)(2x−1)的结果中不含x2项，
∴常数a的值为：a=1
2
．
故选：B．
直接利用多项式乘以多项式进而得出a的值求出答案．
此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握多项式乘法运算是解题关键．
7.答案：A
解析：解：∵移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，
∴PM=PN，
∵在△PMO和△PNO中
{OM=ON OP=OP PM=PN
，
∴△PMO≌△PNO(SSS)，
∴∠POM=∠PON，
即OP是∠EOF的平分线，
故选：A．
根据全等三角形的判定定理得出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8.答案：A
解析：解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，
在Rt△CDF中，∵CF
DF =4
3
，CF=8，
∴DF=6，
∵四边形BMFC是矩形，
∴BM=CF=8，BC=MF=20，EM=MF+DF+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°=AM
EM
，
∴0.45=8+AB
66
，
∴AB=21.7(米)，
故选：A．
作BM⊥ED交ED的延长线于M，首先在Rt△CDF中，求出DF，再根据tan24°=AM
EM
，构建方程即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9.答案：C
解析：
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.依题意分别用2x、2y，2z去代换原分式中的x、y和z，利用分式的基本性质化简即可．
解：分别用2x、2y，2z去代换原分式中的x、y和z，得
2x−2×2y+2z 2x⋅2y⋅2z =x−2y+z
4xyz
=，即新分式缩小为原来的1
4
．
故选C．10.答案：C
解析：解：∵四边形ABCD 是矩形，AD =3，AB =4，
∴AC =5．
∵△CEF 是△CBF 翻折而成，
∴CE =BC =3，
∴AE =5−3=2，
又△AEF∽△ABC ， ∴AE AB =AF AC ， 解得：AF =23，
∴BF =AB −AF =5
2，
故AF FB =53．
故选C ．
先根据矩形及翻折变换的性质得出AC 、AE 的长，再根据△AEF∽△ABC ，求出AF 的长，从而求出FB 的长，得出答案．
本题考查了翻折变换及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 11.答案：B
解析：解：设这种大米的原价是每千克x 元，
根据题意，得
100x +120(1−20%)x =50， 故选：B ．
设这种大米的原价是每千克x 元，根据两次一共购买了50kg 列出方程，求解即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 12.答案：A
解析：解：如图，∵五角星为轴对称图形，
∴∠OBD =12×36°=18°，∠ODB =1
2×36°=18°，
∴∠BOD =180°−18°−18°=144°，
∵将五角星绕其旋转中心按顺时针旋转一定角度，线段AB 恰好与线段CD 重
合，
∴∠BOD 为旋转角，
即旋转角为144°．
故选：A．
×36°=18°，再利用三角形内角和计算出如图，利用五角星为轴对称图形得到∠OBD=ODB=1
2
∠BOD=144°，然后利用旋转的性质可判断旋转角为144°．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
13.答案：−4√3−1
解析：解：|−√3|−(π−2020)0−√75
=√3−1−5√3
=−4√3−1．
故答案为：−4√3−1．
首先计算零指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．14.答案：140°
解析：解：该正九边形内角和=180°×(9−2)=1260°，
=140°．
则每个内角的度数=1260°
9
故答案为：140°．
先根据多边形内角和定理：180°⋅(n−2)求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理：180°⋅(n−2)，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
15.答案：(2,−2)，(2,4)
解析：解：由题可知：可得A、B的连线与y=1垂直，且两点到直线y=1的距离相等
∵AB=6
∴A、B两点的纵坐标分别为−2和4
又∵C到AB的距离为2
∴A、B两点的横坐标都为2
∴A、B两点的坐标分别为(2,−2)(2,4)．
根据题意，可得A、B的连线与y=1垂直，且两点到直线y=1的距离相等，又AB=6，从而可以得出A、B两点的纵坐标；又C到AB的距离为2，从而可以得出A、B两点的横坐标．
本题考查了坐标与图形的变化−对称；解决此类题应认真观察，找着特点是解答问题的关键．16.答案：(5−2√3,0)
解析：解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是(2.5,−2)，
∴C的坐标为(2.5,2)，
∴CH=2，CE=4，
∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC=4，
∴AH=2√3，
∵OH=2.5，
∴AO=DH=2√3−5
，
2
)=5−2√3
∴OD=2√3−2(2√3−5
2
∴D点的坐标是(5−2√3,0)，
故答案为：(5−2√3,0)．
设CE和x轴交于H，由对称性可知CE=4，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=4，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．17.答案：解：(2x−y)2−4(y−x)(−x−y)
=4x2−4xy+y2+4(y2−x2)
=5y2−4xy．
解析：直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，正确应用公式是解题关键．
18.答案：解：(1)原式=(5p+4q)(5p−4q)；
(2)原式=x(x2−11x−12)=x(x−12)(x+1)；
(3)原式=(x2+1+2x)(x2+1−2x)
=(x+1)2(x−1)2．
解析：(1)直接利用平方差公式进行分解即可；
(2)首先提公因式y，再利用十字相乘法进行二次分解即可；
(3)首先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
19.答案：解：方程整理得：9x−7
3x−2+4x−5
3x−2
=1，
去分母得：9x−7+4x−5=3x−2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
解析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.答案：(1)∠B+∠D=180°；
(2)如图，
∵AB=AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．
∠B=∠ACG，
BD=CG，
AD=AG
∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°．
即∠ECG=90°．
∴EC2+CG2=EG2．
在△AEG与△AED中，
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°−∠EAD=45°=∠EAD．
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED.
∴DE=EG．
又∵CG=BD，
∴BD2+EC2=DE2．
∴DE=√5．
解析：
解：(1)∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
如图，
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
{AE=AG
∠FAE=∠FAG AF=AF
，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
故答案为：∠B+∠D=180°；
(2)见答案．
(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证得△AFE≌△AFG，由∠B+∠D= 180°时，得出EF=BE+DF，
(2)把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．通过证明△AEG≌△AED得到：DE= EG.结合
CG=BD，利用勾股定理推知BD2+EC2=DE2.则易求DE=√5．
此题主要考查了正方形的性质，基本几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF.此题是一道综合题，注意理解解题的思路，把方法进一步推广得出结论．
21.答案：5−15−42−5
解析：解：(1)△ABC关于x轴对称的△A′B′C′如图所示．
A′(5,−1)，B′(5,−4)，C′(2,−5)．
故答案为：A′(5,−1)，B′(5,−4)，C′(2,−5)．
(2)作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′交x轴于P，此时PA+PC最短，点P即为所求．
△ABC的面积为4×3−1
2×1×3−1
2
×4×3=4.5．
(1)分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A′、B′、C′即可．
(2)利用割补法求解可得，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′交x轴于P，此时PA+PC最短．PA+PC 的最小值=AC′．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称−最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的概念，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
22.答案：解：(1)∵在△ABC中，CD是AB上的中线，且DA=DC，∠A=30°
∴∠ACD=30°
∵∠CDB是△ACD的外角
∴∠CDB=60°
∵DB=CD
∴∠DCB=∠B=60°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=30°+60°=90°；
(2)若∠A=40°，同(1)，可知∠ACD=40°，∠CDB=40°+40°=80°
∠DCB=1
2(180°−∠CDB)=1
2
(180°−80°)=50°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=40°+50°=90°；
(3)若∠A=x°，同(1)，可知∠ACD=x°，∠CDB=x°+x°=2x°
∠DCB=1
2(180°−∠CDB)=1
2
(180°−2x°)=90°−x°，故∠ACB=∠ACD+∠DCB=x°+90°−
x°=90°；
(4)三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．解析：(1)(2)(3)利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出答案；(4)三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．此题考查的是等腰三角形及直角三角形的性质．
23.答案：解：(1)原式=x2+y2−2xy−y2+2xy
=x2；
(2)原式=a2+9a−a+16
a+9÷a2−16
a+9
=
(a+4)2
a+9
⋅
a+9
(a+4)(a−4)
=a+4
a−4
．
解析：(1)运用完全平方公式和乘法分配律计算；
(2)先计算括号里的，然后计算除法．
本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．24.答案：2a4a
解析：解：(1)过点B作BE⊥x轴于E，过D作DG⊥y轴于G，延长GD交EB延长线于F，如图1所示：
则四边形OEFG 是矩形，
∴GF =OE ，
由平移的性质得：CD//AB ，CD =AB ，
∴四边形ABDC 是平行四边形，
∵点A(0,−2a)，C(−2a,0)，B(4a,2a)，
∴OA =OC =BE =2a ，GF =OE =4a ，
∴∠OAC =45°，
在△OAH 和△EBH 中，{∠AOH =∠BEH =90°
∠AHO =∠BHE OA =EB
，
∴△OAH≌△EBH(AAS)，
∴OH =EH =2a ，
∴OH =OA =BE =EH ，
∴△OAH 和△EBH 是等腰直角三角形，
∴∠OAH =∠HBE =45°，
∴∠BAC =90°，
∴四边形ABDC 是矩形，
∴∠ABD =90°，BD =AC =√2OA =2√2a ，
∴∠FBD =180°−90°−45°=45°，
∴△BDF 是等腰直角三角形，
∴BF =DF =√22BD =2a ，
∴EF =BF +BE =4a ，DG =GF −DF =2a ，
∴D(2a,4a)；
故答案为：2a ，4a ；
(2)如图2所示：
由题意得：P(2a−at,4a−at)，M(2a−at,0)，N(4a−at,0)，∵O为MN中点，
∴OM=ON，
∴−(2a−at)=4a−at，
解得：t=3，
则PM=4a−3a=a，
又∵PM=1，
∴a=1，
∴B(4,2)；
(3)由(2)得：a=1，
分两种情况讨论：
①当M、N都在原点右侧时，如图3所示：
ON，
∵OM=1
3
∴2−t=1
(4−t)，
3
∴t=1，
此时PM =3，N(3,0)，C(−2,0)，D(2,4)，
∴ON =3，OC =2，
∴CN =5，
∴S △PND =S △CND −S △PCN =12×5×4−12×5×3=52
； ②当M 在原点左侧且N 在原点右侧时，如图4所示：
若OM =13ON ，则t −2=13(4−t)，
∴t =52
， 此时PM =32，CN =6−52=72，
则S △PND =S △CND −S △PCN =12×72×4−12×72×32=
358； 综上所述，△PND 的面积为52或358．
(1)过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过D 作DG ⊥y 轴于G ，延长GD 交EB 延长线于F ，则四边形OEFG 是矩形，则GF =OE ，证出四边形ABDC 是平行四边形，由题意得OA =OC =BE =2a ，GF =OE =4a ，则∠OAC =45°，证△OAH≌△EBH(AAS)，则OH =EH =2a ，证四边形ABDC 是矩形，则∠ABD =90°，
BD =AC =√2OA =2√2a ，
证出△BDF 是等腰直角三角形，则BF =DF =√22BD =2a ，得EF =BF +BE =4a ，DG =GF −DF =2a ，即可得出答案；
(2)由题意得：P(2a −at,4a −at)，M(2a −at,0)，N(4a −at,0)，由OM =ON ，得−(2a −at)=4a −at ，解得t =3，求出a =1，进而得出答案；
(3)分两种情况讨论：①当M 、N 都在原点右侧时，如图3所示：求出t =1，
S △PND =S △CND −S △PCN ，由三角形面积公式计算即可；
②当M在原点左侧且N在原点右侧时，求出t=5
，则S△PND=S△CND−S△PCN，由三角形面积公式计
2
算即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积、平移的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键．。