数学人教A版选修2-2优化课件：第一章 1.7 1.7.2 定积分在物理中的应用
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0
∴活塞克服气体压力做 80ln 2 J 功. …………………………………………………12 分
[反思提升] 解决实际应用问题时，要注意函数表达式，求出后，一定要根 据实际意义，确定值域，否则，结论会不正确．
[随堂训练]
1．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后至停车时
(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，
位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点
运动时所经过的实际路径的长度，路程只有
大小，没有方向，是个标量(或数量)．
(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
[解析] 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1＝Fcos 30°. 在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2＝Fcos 45°. 由变力做功公式得
的位移为( )
A．405
B．540
C．810
D．945
解析：由 v(t)＝0，得 t＝30，
∴位移 s＝30 (27－0.9t)dt 0
＝(27t－0.45t2)030 ＝405.
答案：A
2．若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，现在要使弹簧伸长 10 cm，则力所做的功为( )
答案：B
3．一物体在力 F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移的单位：m)作用下沿与力 F(x)
相同的方向由 x＝5 m 直线运动到 x＝10 m 处，作用力 F(x)所做的功 W 为( )
A．925 J
B．850 J
C．825 J
D．800 J
解析：W＝10F(x)dx＝∫150(3x2－2x＋5)dx 5
答案：C
2．一质点运动的速度与时间的关系为 v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则它在[1,2]
时间内的位移为( )
A.167
B.134
C.163
D.161
解析：质点在[1,2]时间内的位移为2(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)21 ＝167. 1
答案：A
3．一物体在力 F(x)＝2x＋4(单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝5 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为________． 解析：由变力做功的计算可得力 F(x)所做的功 W＝5(2x＋4)dx＝(x2＋4x)50 ＝45(J)．
＝ 83(1 250＋1 000)＋ 82(2 800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
怎样求变力所做的功？ (1)首先要明确变力的函数式 F(x)＝kx，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式 W＝bF(x)dx 计算．
a
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
值，若 v(t)>0，则运动物体的路程为 s
＝bv(t)dt；若 v(t)<0，则运动物体的路程为 s＝b|v(t)|dt
a
a
＝－bv(t)dt. a
1．一点在直线上从时刻 t＝0(单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程． 解析：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为 04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40 ＝43(m)． 即在 t＝4 s 时该点距出发点43 m.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在 t＝4 s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝13t3－2t2＋3t10 －13t3－2t2＋3t31 ＋13t3－2t2＋3t43 ＝4 (m)．
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
最新中小学教学课件
26
谢谢欣赏！
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利用定积分解决物理问题 [典例] (本题满分 12 分)如图，在某一温度下，直径为 0.2 m，高为 0.8 m 上端为活 塞的圆柱体内某气体的压强 P(N/m2)与体积 V(m3)的函数关系式为 P＝8V0，而正压力 F(N)与压强 P(N/m2)的函数关系为 F＝PS，其中 S(m2)为受力面积．设温度保持不变， 要使气体的体积缩小为原来的一半，求活塞克服气体压力做的功．
[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
当 t＝6 时，
点 P 的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t360 ＝0.
(2)依题意t
(8t－2t2)dt＝0，即
4t2－23t3＝0，
0
解得 t＝0 或 t＝6.
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
t＝6 是所求的值．
怎样求变速直线运动的路程、位移？
W＝50
(14x＋5)cos
30°dx＋90(14x＋5)cos
45°dx＋12020dx
0
50
90
＝
350
8
(x＋20)dx＋
8290(x＋20)dx＋12020dx
0
50
90
＝ 83(21x2＋20x)500 ＋ 82(21x2＋20x)9500 ＋20x19200
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二 求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
1.7 定积分的简单应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
考纲定位
重难突破
重点：利用定积分求变速直线 1.通过具体实例了解定积分
运动的路程、位移和变力所做 在物理中的应用．
的功． 2．会求变速直线运动的路程、
难点：正确区分实际问题的路 位移和变力做功问题.
程和位移.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
＝(x3－x2＋5x)150 ＝(103－102＋5×10)－(53－52＋5×5)＝825(J)．
答案：C
4．已知质点的速度 v＝10t，则从 t＝t1 到 t＝t2 质点的平均速度为________．
解析：∵质点运动的位移
s＝tt1210tdt＝5t2
t2 t1
＝5t22－5t21，
2．一物体在力 F(x)＝92，x＋0≤5，x≤x>22， (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向， 从 x＝0 处运动到 x＝6(单位：m)处，求力 F(x)做的功．
解析：W＝6F(x)dx＝29dx＋6(2x＋5)dx
0
0
2
＝9x20 ＋(x2＋5x)62 ＝18＋52＝70(J)．
课时作业
定积分在物理中的应用
[自主梳理]
变速直 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝
线运动
v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即
S＝bv(t)dt a
变力 做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力
F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)所做的
∴平均速度 v ＝5tt222－ －5t1t12＝5(t1＋t2)．
答案：5(t1＋t2)
课时作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
[解析] 设活塞活动的距离为 x m，则活塞受到的压强为： P＝8V0＝0.01π800.8－x…………………………………………………………………3 分 从而活塞受到的压力为： F＝PS＝0.01π800.8－x×0.01π＝0.88－0 x，……………………………………………6 分 ∵温度保持不变，气体的体积缩小一半． ∴活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W＝0.40.88－0 xdx＝[－80ln(0.8－x)]00.4 ＝80ln 2.
0
答案：45 J
探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
A．0.05 J
B．0.5 J
C．1 J
D．5 J
解析：设 F(x)＝kx，由已知 x＝0.01 时，F(0.01)＝1，
∴0.01k＝1，∴k＝100，∴F(x)＝100x.
伸长 10 cm 时，力所做的功
W＝0.1100xdx＝50x200.1 ＝50×0.01＝0.5(J)． 0
W＝bF(x)dx
功为
a
[双基自测] 1．已知自由下落的物体运动的速度 v＝gt(g 为常数)，则当 t∈[1,2]时，物体下落的
距离为( )
A.12g
B．g
3 C.2g 解析：物体下落的距离 s＝2gtdt，
1
则有 s＝12gt221 ＝12g(22－12)＝32g.
D．2g
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
∴活塞克服气体压力做 80ln 2 J 功. …………………………………………………12 分
[反思提升] 解决实际应用问题时，要注意函数表达式，求出后，一定要根 据实际意义，确定值域，否则，结论会不正确．
[随堂训练]
1．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后至停车时
(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，
位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点
运动时所经过的实际路径的长度，路程只有
大小，没有方向，是个标量(或数量)．
(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
[解析] 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1＝Fcos 30°. 在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2＝Fcos 45°. 由变力做功公式得
的位移为( )
A．405
B．540
C．810
D．945
解析：由 v(t)＝0，得 t＝30，
∴位移 s＝30 (27－0.9t)dt 0
＝(27t－0.45t2)030 ＝405.
答案：A
2．若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，现在要使弹簧伸长 10 cm，则力所做的功为( )
答案：B
3．一物体在力 F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移的单位：m)作用下沿与力 F(x)
相同的方向由 x＝5 m 直线运动到 x＝10 m 处，作用力 F(x)所做的功 W 为( )
A．925 J
B．850 J
C．825 J
D．800 J
解析：W＝10F(x)dx＝∫150(3x2－2x＋5)dx 5
答案：C
2．一质点运动的速度与时间的关系为 v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则它在[1,2]
时间内的位移为( )
A.167
B.134
C.163
D.161
解析：质点在[1,2]时间内的位移为2(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)21 ＝167. 1
答案：A
3．一物体在力 F(x)＝2x＋4(单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝5 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为________． 解析：由变力做功的计算可得力 F(x)所做的功 W＝5(2x＋4)dx＝(x2＋4x)50 ＝45(J)．
＝ 83(1 250＋1 000)＋ 82(2 800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
怎样求变力所做的功？ (1)首先要明确变力的函数式 F(x)＝kx，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式 W＝bF(x)dx 计算．
a
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
值，若 v(t)>0，则运动物体的路程为 s
＝bv(t)dt；若 v(t)<0，则运动物体的路程为 s＝b|v(t)|dt
a
a
＝－bv(t)dt. a
1．一点在直线上从时刻 t＝0(单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程． 解析：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为 04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40 ＝43(m)． 即在 t＝4 s 时该点距出发点43 m.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在 t＝4 s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝13t3－2t2＋3t10 －13t3－2t2＋3t31 ＋13t3－2t2＋3t43 ＝4 (m)．
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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利用定积分解决物理问题 [典例] (本题满分 12 分)如图，在某一温度下，直径为 0.2 m，高为 0.8 m 上端为活 塞的圆柱体内某气体的压强 P(N/m2)与体积 V(m3)的函数关系式为 P＝8V0，而正压力 F(N)与压强 P(N/m2)的函数关系为 F＝PS，其中 S(m2)为受力面积．设温度保持不变， 要使气体的体积缩小为原来的一半，求活塞克服气体压力做的功．
[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
当 t＝6 时，
点 P 的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t360 ＝0.
(2)依题意t
(8t－2t2)dt＝0，即
4t2－23t3＝0，
0
解得 t＝0 或 t＝6.
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
t＝6 是所求的值．
怎样求变速直线运动的路程、位移？
W＝50
(14x＋5)cos
30°dx＋90(14x＋5)cos
45°dx＋12020dx
0
50
90
＝
350
8
(x＋20)dx＋
8290(x＋20)dx＋12020dx
0
50
90
＝ 83(21x2＋20x)500 ＋ 82(21x2＋20x)9500 ＋20x19200
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二 求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90， 在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
1.7 定积分的简单应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
考纲定位
重难突破
重点：利用定积分求变速直线 1.通过具体实例了解定积分
运动的路程、位移和变力所做 在物理中的应用．
的功． 2．会求变速直线运动的路程、
难点：正确区分实际问题的路 位移和变力做功问题.
程和位移.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
＝(x3－x2＋5x)150 ＝(103－102＋5×10)－(53－52＋5×5)＝825(J)．
答案：C
4．已知质点的速度 v＝10t，则从 t＝t1 到 t＝t2 质点的平均速度为________．
解析：∵质点运动的位移
s＝tt1210tdt＝5t2
t2 t1
＝5t22－5t21，
2．一物体在力 F(x)＝92，x＋0≤5，x≤x>22， (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向， 从 x＝0 处运动到 x＝6(单位：m)处，求力 F(x)做的功．
解析：W＝6F(x)dx＝29dx＋6(2x＋5)dx
0
0
2
＝9x20 ＋(x2＋5x)62 ＝18＋52＝70(J)．
课时作业
定积分在物理中的应用
[自主梳理]
变速直 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝
线运动
v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即
S＝bv(t)dt a
变力 做功
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力
F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)所做的
∴平均速度 v ＝5tt222－ －5t1t12＝5(t1＋t2)．
答案：5(t1＋t2)
课时作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
[解析] 设活塞活动的距离为 x m，则活塞受到的压强为： P＝8V0＝0.01π800.8－x…………………………………………………………………3 分 从而活塞受到的压力为： F＝PS＝0.01π800.8－x×0.01π＝0.88－0 x，……………………………………………6 分 ∵温度保持不变，气体的体积缩小一半． ∴活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W＝0.40.88－0 xdx＝[－80ln(0.8－x)]00.4 ＝80ln 2.
0
答案：45 J
探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
A．0.05 J
B．0.5 J
C．1 J
D．5 J
解析：设 F(x)＝kx，由已知 x＝0.01 时，F(0.01)＝1，
∴0.01k＝1，∴k＝100，∴F(x)＝100x.
伸长 10 cm 时，力所做的功
W＝0.1100xdx＝50x200.1 ＝50×0.01＝0.5(J)． 0
W＝bF(x)dx
功为
a
[双基自测] 1．已知自由下落的物体运动的速度 v＝gt(g 为常数)，则当 t∈[1,2]时，物体下落的
距离为( )
A.12g
B．g
3 C.2g 解析：物体下落的距离 s＝2gtdt，
1
则有 s＝12gt221 ＝12g(22－12)＝32g.
D．2g
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”