含裂纹复合材料板的应力计算

６．０ＧＰａ；泊松比地一０．３。用本文介绍的方法可
以得到裂纹周围应力精确解析解。文中所有的计
算和应力分布图都在软件Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ中生成。 对裂纹周围应力在外荷载作用下沿裂纹边界进行
仿真分析，其结果如图３所示。从图３可以看出，
当外荷载逐渐增加时，沿裂纹周围应力也相应增
大。但是在裂纹尖端处应力为无穷大。
Ｐ（ｚ１）＋妒（ｚ１）＋’ｂ（ｚ２）＋驴（ｚ２）一一Ｉ Ｆ％ｄｓ＋ＣＩ一，ｌ —ｏ
，ｕｌ妒（名１）＋ｐ１Ｐ（ｚ１）＋ｐ２（ｚ２）＋Ｐ２妒（２２）一
｝
一只Ｒ。山＋Ｇ一，ｚ
Ｊ
（８）
式中，Ｃ，、Ｃ２为常数；９（互。）为Ｐ（ｚ。）的共轭复数，其他类 似；Ｓ。、Ｓ为边界上的弧长元素。
对于本文所要采取的方法来说，接下来的问
ｉ／／
Ｌ———＿一
蓁二：：ｉ
礤一Ｏ．５
—２． Ｏ
一１．Ｏ
Ｏ
１．０
极角０／（。）
图４
２．０ 布
（ａ）
（ｂ）
图２ 椭圆孔转化为裂纹的示意图
考虑带有图２ｂ所示裂纹的对中面对称的正
交各向异性板，板因承受两端均匀分布在边缘上
的拉力而变形，其作用点远离裂纹，纤维量 Ｅ。＝１３５ＧＰａ，Ｅ。＝９．５ＧＰａ；剪切模量Ｇ１２—
Ｈａｎｓｅｒ Ｖｅｒｌａｇ，１９７１．
［３］杨丽敏，柳春图，曾晓辉．计算Ｒｅｉｓｓｎｅｒ理论各向异 性板应力强度因子的半权函数法Ｉ－Ｊ］．机械强度，
２００６，２８（１）：１１３一１１７．
·１６０３·
中国机械工程第１８卷第１３期２００７年７月上半月
混凝土锯切加工过程的基本特征
袁 慧１ 王成勇１ 胡珊珊１’２ 胡映宁２ 王智伟２ 丁海宁２
应力场的精确解析解。
关键词：复合材料；仿真计算；裂纹；边值问题；裂纹周围应力场
中图分类号：０３４
文章编号：Ｉ００４－－１３２Ｘ（２００７）１３—１６０１一０４
Ｓｔｒｅｓｓ Ｃａｉｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｍａｔｅｒｉａｌ ｗｉｔｈ Ｃｒａｃｋ Ｌｉ Ｃｈｅｎｇ Ｚｈｅｎｇ Ｙａｎｐｉｎｇ Ｗｕ Ｘｉａｏｌｉｎｇ Ｍｅｎｇ Ｌｉｎｇｑｉ
４ 结束语
本文提出了含裂纹的正交各向异性板裂纹周 围的应力分布的解析解法，所用到的应力分析的 解析法建立在多复变量应力函数以及积分方程应 用的基础之上。对于各向异性体的问题，为了能 同时并且采用同方法处理这两个应力函数在边界 上的问题，还需要通过映射变换，借助于映射函数 来处理。本文对含穿透直裂纹的复合材料板，在 拉应力作用的情况下进行了计算，给出了裂纹周 围应力分布情况，并对在不同裂纹长度下，裂纹周 围应力分布情况进行了比较。
题就是要找到将所要研究的裂纹长度口作为长轴
的椭圆映射成单位圆的映射函数。只有找到这个
函数，才有可能解决裂纹的边界问题，进而最终求
得含裂纹长度为ｎ的各向异性板的裂纹周围应力
分布问题。
根据黎曼定理，这样的映射函数是存在的，而
且对应于每一种孔形，它是唯一存在的。但是寻找
这个函数的过程比较复杂，而且计算量很大，这里
万方数据
图１ 含椭圆形孔的正交各向异性板
运用保角映射，通过施瓦兹一克里斯托夫
（Ｓｃｈｗａｒｚ—Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ）积分可以得到将在ｚ平
面（即ｘｏｙ平面）上的椭圆孔边界映射到另一个平
面ｆ的单位圆的映射函数。这里直接给出所求得
的映射函数：
２一∞（ｒ）一掣ｒ＋下ａ－＋－ｂ ７１
ｏ
ｏ
Ｓ
式中，ｎ为裂纹长度，也即椭圆的长轴；６为椭圆的短轴。
收稿日期：２００６～１０一１６ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０１７５０３１）
万方数据
用有限元法对裂纹进行分析所得到的结果往往误 差较大。因此，对一般裂纹周围的应力分布进行 分析时，建立一套有效的解析分析方法就显得非 常必要。Ｒａｄａｊ凹］对这一领域进行了非常有益的 探索，取得了一定的成果，但结果仅限于均质材 料，而且所采用的计算手段限制了该方法在工程 上的进一步应用，因为它并不能将大量工程中常 见的一般裂纹映射为单位圆的映射函数求出来， 也就不能很好地解决一般裂纹的边界条件问题。
１．广东工业大学，广州，５１００９０ ２．广西大学，南宁，５３０００４
摘要：通过金刚石单颗粒划伤、金刚石单个节块锯切和金刚石锯片锯切系列试验，对混凝土锯切加
工过程中的切屑形态和切削区表面形貌，以及切削力等基本特征进行了详细讨论。结果表明：金刚石锯
片锯切混凝土的过程表现为高速锯切过程中金刚石锯片的冲击引起混凝土表层断裂破碎，水泥石子等
然后，通过转换关系式ｚ。一ｚ，＋ｉｙ。和ｚ。一ｚ。＋
ｉｙ。，可以得到ｚ平面上的点和２。平面、ｚ。平面上
的点的一一对应关系。在得到了ｚ。和ｚ。后，由边
界条件（式（８））并借助柯西积分，可以确定所要
得到９洳的 （ｚ两 ｚ１卜个）解＿南析 南函ｍ灿数ｚ：，卜１，－，２２］］鬻鬻字宁¨¨－ｚ
含裂纹复合材料板的应力计算——李 成 郑艳萍 吴晓铃等
Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ，４５０００１ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｅｌａｓｔｉｃ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ，ａｃ— ｃｕｒａｔｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｒａｃｋ ｉｎ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｍａｔｅｒｉａｌ ｐｌａｔｅ ｗｅｒｅ ｆｏｕｎｄｅｄ ｔｏ ｓｅｔｔｌｅ ｉｔｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｂｙ ｃｏｎｆｏｒｍａｌ ｍａｐｐｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ．Ｂｏｕｎｄａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｕｐｏｎ ａｃｃｕｒａｔｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｒｅｓｓ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｃｒａｃｋ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｏｕｔｅｒ ｌｏａｄｓ ａｎｄ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｗａｓ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｔｒｅｓｓ ｆｉｅｌｄ ａ－ ｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｃｒａｃｋ ｉｎ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｐｌａｔｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｍａｔｅｒｉａｌ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ；ｃｒａｃｋ；ｂｏｕｎｄａｒｙ－－ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｓｔｒｅｓｓ ｆｉｅｌｄ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｃｒａｃｋ
· １ ６０】 ·
２ 各向异性平面问题
…鋈１蚓目㈤
ｓ一－等一２Ｓ，ｓ舄＋（２ｓ，ｚ＋ｓ６ｅ）筹一
２Ｓｚｓ罴＋Ｓ２ｚ等一ｏ
（３）
中国机械工程第１８卷第１３期２００７年７月上半月
相应的边界条件的这两个解析函数的问题。要确 定这两个应力函数，必须借助边界条件。
在给定外力Ｒ、Ｆ。的情况下，由应力函数的 表达式（５），边界条件可以写成
０ 引言 复合材料结构及构件由于一些原因而含有多
种裂纹。对于含裂纹结构来说，特别突出的一个 问题就是裂纹周围的应力集中问题［１］。准确地求 解裂纹周围的应力是很困难的，特别是对于一些 复杂裂纹，其应力的求解更加困难。众所周知，裂 纹附近往往是构件最薄弱的区域。
理论上，结构的裂纹问题的求解、分析，在数 学上可归结为边值问题的建立和求解［２］。对复合 材料结构而言，对裂纹边界条件的建立和处理比 金属材料要复杂得多。已有的文献主要对带裂纹 的均质材料板的应力分布问题进行了解析分析。 对于含裂纹的复合材料结构，目前较为常见的是 对一些含典型裂纹的结构进行解析分析口］，而对 于一般裂纹主要是用半解析解法、有限元法以及 边界元法进行求解［４。６］，并且大部分研究都集中在 应力强度因子的求解方法之上，对裂纹周围应力 分布的研究工作较少，这是由于边界条件的描述 非常困难的缘故。半解析解法仅局限于一些特定 裂纹的研究，其具体方法是采用小参数法来对某 些特定裂纹进行逐步逼近的［７］，这种方法的局限 性是显而易见的。由于裂纹尖端存在奇异单元，
图３ 含裂纹的正交备向异性板裂纹周围应力ｍ分布 和外荷载咖及边界上不同位置ｗ之间的关系 当外荷载一定时，可得沿裂纹周围的应力分
布，如图４所示。如果外荷载等其他条件不变，仅 仅将裂纹长度扩大一倍，重复上例的计算过程，可 以得到这时的裂纹周围的应力分布，如图５所示。
图４、图５是极坐标下的应力分布图，描述随 着极角的变化应力在裂纹周围的变化情况。
不再赘述，在后边的具体算例中直接给出所求得
的映射函数。
３ 含裂纹正交各向异性板的应力计算
首先讨论带有椭圆形孑Ｌ的对中面对称的正交 各向异性板，如图１所示。
Ｄｆ一景一肛羞净１，２’３“
将式（６）代入式（３），并通过一系列的运算、简化，
其中，９（ｚ－）、妒（２ｚ）是为便于计算而引入的两个解 析函数，复变数ｚ１一ｚｌ＋ｉｙｌ，ｚ２＝Ｘ２＋ｉｙ２。这样， 各向异性材料的平面应力问题就转化为寻找满足
在切削区内层受到金刚石磨粒的微切削作用形成粉屑，以及钢纤维和钢丝发生金属塑性变形断裂或被
拔拉而断裂的过程。在粘性水泥粉屑以及金刚石磨粒的挤压作用下，多种形态的切屑易粘结成团，并粘
附到混凝土锯切表面和锯片节块上而导致锯片堵塞。
关键词：混凝土；金刚石工具；锯切；表面形貌
含裂纹复合材料板的应力计算
李 成 郑艳萍 吴晓铃 孟令启
郑州大学，郑州，４５０００１
摘要：针对含裂纹的复合材料板，根据非均质各向异性弹性理论和复变函数理论，通过保角映射方
法建立精确的边界条件，解决了裂纹的边界条件问题。建立了基于准确边界条件的边界积分方程，对裂
纹周围应力在不同的外载荷及不同位置的情况下进行了仿真计算，得到了含裂纹复合材料板裂纹周围
从图４、图５可以看出，在裂纹尖端应力趋近 于无穷大，这也完全符合经典方法对裂纹尖端附 近应力场的描述，即应力和以裂纹尖端为原点的
万方数据
参考文献： ［１］Ｔｏｒｕ Ｉｋｅｄａ，Ｍａｓａｋｉ Ｎａｇａｉ，Ｋｏｈ Ｙａｍａｎａｇａ，ｅｔ ａ１．
Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｆａｃｔｏｒ Ａｎａｌｙｓｅｓ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｃｒａｃｋｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｄｉｓｓｉｍｉｌａｒ Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ
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图５ 含裂纹的正交各向异性板裂纹周围的应力分布
小区域半径ｒ之间的关系：ｄ。。Ｃ １／痧，当ｒ一０时， 仃一。。。在离开尖端点处，应力围绕裂纹分布的较 为均匀，而且均为正应力。
比较图４和图５可知，当裂纹长度增加一倍 时，裂纹周围应力明显减小，但裂纹尖端应力仍趋 近于无穷大。
对于含裂纹的复合材料结构目前较为常见的是对一些含典型裂纹的结构进行解析分析口而对于一般裂纹主要是用半解析解法有限元法以及边界元法进行求解46并且大部分研究都集中在应力强度因子的求解方法之上对裂纹周围应力分布的研究工作较少这是由于边界条件的描述非常困难的缘故
含裂纹复合材料板的应力计算——李 成 郑艳萍 吴晓铃等
式中，∞为边界上的点；Ａ１、Ａｚ为常数。
然后，令这两个解析函数中所含的椭圆短轴ｂ趋 近于零，如图２所示。这样，对椭圆孔边的应力计 算就转化为对裂纹周围的计算。最后由式（７）即 可求出含裂纹的正交各向异性板裂纹周围的应力 分布。
０．５
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、 Ｏ．２
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本文所采用的方法是，先将一个椭圆（长轴和 所研究的裂纹长度一致）直接映射为单位圆凹］，然 后令其短轴趋近于零，这样就得到了将裂纹映射 成单位圆的映射函数。另外，本文对含裂纹的复 合材料板进行了应力分析，得到了裂纹周围应力 精确解析解。
１ 各向异性材料的断裂问题
对复合材料而言，由于存在两种或多种组分， 断裂就具有与各向同性材料不同的尺度。断裂可 能是单个组分的断裂，也可能是组分之间界面的 分离。复合材料有许多不同于各向同性材料的明 显特点，从而给线弹性断裂力学的应用带来了困 难。从纤维对基体不同铺设方向来看，各项异性 和不均匀性是主要问题。均匀各向异性材料的断
Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ Ｅ Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００６，７３：２０６７—２０７９． ［２３ Ｍｕｐｃｈｅｌｉｓｃｈｗｉｌｉ Ｎ １．Ｅｉｎｉｇｅ Ｇｒｕｎｄａｕｆｇａｂｅｎ Ｚｕｒ Ｍａｔｈ— ｅｍａｔｉｓｃｈｅｎ Ｅｌａｓｔｉｚｉｔａｔｓｔｈｅｏｒｉｅ ｒ Ｍ］．Ｍｆｉｎｃｈｅｎ：Ｃａｒｌ