高考数学复习点拨 利用导数的定义解题

利用导数的定义解题
学习导数的定义，要结合瞬时速度、光滑曲线的切线、斜率等实际背景，从物理和几何两方面入手，熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，求导的本质是求极限，在求极限的过程中，要准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键。

例1、求函数y =在x ＝1处的导数。

解析1：（导数定义法）1y ∆=，
1
y x x ∆==∆∆
1lim 2x ∆→=，∴'11|2x y ==。

解析2：（导函数的函数值法）y ∆=
y
x
∆==∆
0lim lim x x y x ∆→∆→∆==∆， ∴'
y =，∴'11|2
x y ==。

点评：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法。

确定y =f (x )在点x = x 0处的导数有两种方法：一是导数定义法，二是导函数的函数值法。

例2、对于函数f （x ），已知f （3）=2，'(3)f =-2，则323()lim
3x x f x x →--= 。

解析：∵'(3)f =-2，∴3()(3)lim 3
x f x f x →--=-2 ∴
3333323()2(3)63()3[(3)()]()(3)lim
lim lim2lim 23lim 83333
x x x x x x f x x f x f f x f x f x x x x →→→→→--+---==+=-=----
点评：解答本题的关键是通过对323()lim
3
x x f x x →--进行恒等变形，将其化为可以利用已知导数'(3)f 的定义形式3()(3)lim 3x f x f x →--。

例3、设函数y =f (x )在点x = x 0处可导，试求下列各极限的值。

（1）000()()lim
3x f x f x x x
∆→--∆∆； （2）000(4)(5)lim t f x t f x t t →+-+ （3）2000()()lim h f x h f x h
∆→+- (4)若'0()2f x =-，则0001()()2lim k f x k f x k
→--等于（ ） A.-1 B.-2 C.1 D .12
解析：（1）'0000000()()()()11lim lim ()333
x x f x f x x f x x f x f x x x ∆→∆→--∆-∆-==∆-∆ （2）00000000(4)(5)(4)()()(5)lim lim t t f x t f x t f x t f x f x f x t t t
→→+-++-+-+= ＝000000(4)()(5)()lim lim t t f x t f x f x t f x t t
→→+-+-- ＝000000(4)()(5)()4lim 5lim 45t t f x t f x f x t f x t t
→→+-+-- ＝'''0004()5()()f x f x f x -=-
（3）220000200()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h h →→⎡⎤+-+-=⎢⎥⎣⎦ 2000200()()lim lim '()00h h f x h f x h f x h
→→+-=⋅=⋅= （4）∵'0()2f x =- ∴00000011()()()()122lim lim 122
k k f x k f x f x k f x k k →→----=-- ＝000()()11lim ()22
x f x x f x x k x ∆→+∆--∆=-∆ ＝'01()2f x -＝1()(2)12
-⨯-=，故选C. 点评：在导数的定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y
也必须选择相对应的形式。

解决此类问题不能盲目地套用导数的定义，要准确地分析和把握给定的极限式与导数的关系，利用函数f (x )在x =x 0处可导的条件，将所求极限的形式恒等变形转化为已知极限的结构形式，即导数的定义，这是解决这类问题的关键，因此，必须深刻理解导数的概念。

例4、设21sin ,0()0,0
x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，试问f （x ）在x =0处是否可导？ 解析：函数f （x ）在x =0的两侧（不包括x =0在内）虽然其对应法则是用同一个式子表示的，但在x =0处其对应值为零，对应法则和两侧的不同，故按导数定义：
由已知f （0）=0，即f （x ）在x =0处有定义。

20001()sin 0(0)(0)1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x
→→→-+-==⋅= 所以f
（x ）在x =0处可导，即f ‘
（0）=0。

点评：对分段表示的非初等函数，在判断函数在区间的交接点处是否可导时，都应该从定义出发求其导数，当交接点的两侧函数的对应法则用不同式子表示时，应分别求函数在该点处的左右导数，看其是否存在且相等，从而决定在该点处函数是否可导。

请读者判断函数0()0,0x f x x >=≤⎩
，在x =0处是否连续、可导？ 例5、设f （x ）＝x (2－|x |)，则'
(0)f 的值等于（ ）
A.0
B.1
C.2
D.不存在
解析：由导数的定义知 '0000(0)(0)()(2||)(0)lim
lim lim lim (2||)2x x x x f x f f x x x f x x x x ∆→∆→∆→∆→+∆-∆∆-∆====-∆=∆∆∆ ∴f ‘（0）＝2，故应选C.
点评：此题也是求分段函数在分段点处的导数，一般要用定义求解，应防止出现以下
错误：∵222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩
，∴'22,0()0,022,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩ 从而f ‘（0）＝0。

例6、设函数在x 处可导，证明：0()()lim
2x f x x f x x x
→+--= f ‘（x ） 证明：0()()lim 2x f x x f x x x →+--=0()()()()lim 2x f x x f x f x f x x x
→+-+-- =01()()()(){lim[]}2x f x x f x f x x f x x x →+---+-=12
[ f ‘（x ）+ f ‘（x ）]= f ‘（x ） 点评：值得注意的是，若极限0()()lim 2x f x x f x x x →+--存在，f (x )在x 处的导数不一定存在，读者可以从函数y =│x │在x =0处的可导性来说明这一点。

但若极限0()()lim x f x f x x x
→--存在，则f (x )在x 处可导，读者可自行证明。

例7、(2006年湖南卷)曲线x
y 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是___________.
解析：由方程组21y x y x
⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得曲线的交点是A(1,1). 对曲线x y 1=求导数， '220001111lim lim lim x x x y x x x y x x x x x x
∆→∆→∆→-∆-+∆====-∆∆+∆ 曲线x
y 1=在点A 处的切线斜率K 1='1|1x y ==-，切线方程是l 1：y =－x +2。

对曲线2x y =求导数，
222
'
0000()2()lim lim lim lim(2)2x x x x y x x x x x x y x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆+∆-∆+∆====+∆=∆∆∆。

曲线2x y =在点A 处的切线斜率K 1='1|2x y ==，切线方程是l 2：y =2x －1。

又l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(2,0)，（12
,0） ∴它们与x 轴所围成的三角形的面积为：113(2)1224S =
⨯-⨯= 点评：本题先求曲线的交点，再由导数求过该交点曲线的切线方程，最后求得所围成的图形面积。

例8、求过点（2，0）与曲线1y x
=相切的直线方程。

错解：设所求切线的斜率为K ，则'2211(2)()│4x K f x ===-
=-，故所求直线方程为：1024y x -=--（），即1142y x =-
+。

若作出曲线1y x =及直线1142
y x =-+的图象，就可以看出所求的直线和曲线不相切。

错因在于一开始就没有判定所给的点（2，0）是否在曲线1y x
=上，而想当然的把该点当作切点来考虑了。

事实上点（2，0）根本不在曲线上。

正解：设平面上通过点（2，0）的所有直线方程（y 轴除外）为：y =K （x -2），切点为（x 0，y 0），则在切点处，直线和曲线的纵坐标相等且具有相同的斜率，因此有：002011K x x K x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
（-2），解得：K=-1，x 0=1，故所求直线方程为：y =-（x -2）即y =-x +2。

点评：解答此类问题常见的错误是：不能确定所给点的位置，或忽略切点既在曲线上，也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大。

数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系。

本节中常见的思维误区有：（1）盲目套用导数的定义；（2）对导数的几何意义不清楚；
（3）在求某点的切线时，对该点的位置不明确。

解题中一定要注意总结，不断反思，逐步提高解题能力。