四维几何基础知识.doc

因为一个偶然的原因，我在互联网上搜索四维空间的相关资料，却发现大多数相关文章和资料都是介绍多维方程式，少数的四维几何图形介绍都集中在四维图形动画，和从外文翻译而来的多胞体系列，而我们从中学时代就熟知的直角坐标几何少之又少，这就让我产生了一个想法：自己编写一本关于四维几何基础知识的书.
但写成一本书谈何容易，自开篇之后，越写下去越觉得深度之广，决非一年半载能够完成，所以我决定先将其写成系列文章，放之于网上，希望能对有需要之人有所帮助.
在〈四维几何基础知识〉系列文章中，有个非常重要的问题要说明，那就是” 多胞体”这个名称用”夬(jue)"字暂代了，成为四维几何形在本文中的称呼.
原因之一是，”多胞体” “超球体”，这样的称呼不严谨.我们在中学时代就学过，一维为线，二维为面，三维为体，到了第四维，应该用另一个称呼，不适合再称呼为”某某体”，这是概念上的问题
原因之二是使用不便，在互联网上，我只查到”正五胞体”,”正八胞体” 之类几个简单的四维图形名称，再复杂一点的图形就查不到了，而我采用''五体夬”，”正方夬”这一系列的，中国数学几何的传统命名方式，就算不知道新图形的名称，也能按照传统命名规则推算出来.
至于这个”夬(ju6)“字，是我在字典里找的，之所以选择这个字，因为它比较生僻，含义少，不会产生歧义，笔划简单适合使用频率比较高的书写•在本人的系列文章中，”夬(jue)"字只是作为四维几何形的代称，不是重新命名.目前四维几何形的正式名称仍是”多胞体”.
本人放之于互联网上的〈四维几何基础知识〉系列文章，可供读者免费下载，阅读, 应用；转载或与他人共享请注明出处.本人声明保留由本人所著作的〈四维几何基础知识〉系列文章包含但不限于著作权和知识产权在内的一切权益.
＜四维几何基础知识〉系列文章仍在持续的更新中，本人会继续完善现有章节，增加新的章节，编写更多的习题，每次更新之后，会上传互联网上并发布公告，谢谢大家关注.
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2018. 1
更新日志
此版本v四维儿何基础知识〉系列文章为第一次更新,时间为201802, 原第二章拆分为＜位置关系＞与＜投影〉两章.
增加了新概念:叠（四维高）
更正了原第二章例三的错误.
修改了一些名称,使其更规范.
请关注本人的微博T四维儿何基础知识二以便及时的了解更新信息. 亦欢迎各位网友在微博上帘下意见和建议
第一章名词术语和简单的夬 (4)
第二章位置关系 (14)
第三章投影 (19)
第四章面轴 (28)
第五章曲体 (33)
四维儿何基础知识（201802第一次更新）
第一章名词术语和简单的夬名词术语
在本章的开始，我们先熟悉一下本系列文章中将要用到的几何名称和相关的术语•首先介绍一下四维坐标系.
图中有四个坐标轴，两两垂直，其中xyz轴是我们熟知的,在本文中以这三根轴所代表的三维空间作为参照空间，简称”底空间：以W轴作为第四维的方向，代表第四维的空间，坐标轴已画出部分为轴的正方向,从原点O之后，未画出部分为轴的负方向.
木系列文章中设定的"底空间啪代平肓的参照立体空间O・XY乙请大家注意，这个简称会经常用到.
本系列文章中设定的”底体”是指四维夬上与底空间最接近的体，其概念与正方体中的底面，正方形中的底边为类似.
在本系列文章中，我们约定L表示线段长度,S表示面积,V表示体积,J表示夬积.
在三维几何中，方形体通常有三个参数:长，宽，高，分别用字母a,b,h,表示•在四维几何中增加一个新的概念:咽维高”，用唾”字代称,字母为d,寓意为无数个三维物体在第四维方向上叠加，形成四维夬.这个新概念若要精确描述则比较复杂，在这里我们简单的理解成''正方夬的长，宽，高，叠”四个参数之一就可以了.
下面初步介绍儿类简单的四维夬.
—*＞五体夬
正式名称为"五胞体",是四面体的类比•如何得到一个五体夬,有很多种方法，本例用的是"中心牵引法”，为了解释这个方法，我们先看看从三角形得到四面体的过程,下图一是一个四维坐标中的等边三角形.
这个正三角形看上去很''歪",比三维坐标中的正三角形还要''歪''，我们要在二维平面中表现四维图形，只能将图形尽量压缩.
把正三角形的屮心点连接三个顶点,得到三条线段，这就是要形成的四面体的另三条棱.
用一根线”系住”中心点，向上牵引,同时中间三条棱的一端也向上抬升（图二）.
当牵引的距离为棱长的w6）/3吋，就得到了一个正四面体（图三）
用同样的思路，我们将一个正四面体的中心，连接四个顶点,形成正五体夬的另四条棱,然后把中心点向第四维正方向牵引.（图四）
将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的（J 10）/4后，得到一个正五体夬.（图
这个图是五个正四面体围合成一个五体夬，但这样挤在一起是很难看清楚的，可以把它”炸开"看看・（图六）
这五个体全是正四面体，只是看上去有一些变形.蓝色的''底体”在O-XYZ立体空间中，如果把这个空间看成我们牛活的宇宙空间，另四个带绿棱的正四面体就在我们"摸不着'‘的四维空间中.
-＞正方夬
有了以上的经验，介绍正方夬的形成就容易多了.先看一个四维坐标中的正方体.
将正方体原地复制，整体向第四维轴，即W轴止方向牵引，距离为一个棱长.（图八）
幷4
VM
把两个正方体的八个顶点,一一对应的连接起来，形成了六个正方体，这八个体围合成一个正方
夬・（图九）
“炸开”看看.（图十）
（图十）中的八个正方体,黑色的是底体（在xyz轴的体空间中）,和它在W轴正方向上的平行体,另六个彩色的侧体分别处在x,y,z轴方向上，正负方向各一个,它们都处于W轴正方向的四维空间中,紧靠着底空间，并口各有一个面，与底空间中的底体连接.
侧体可以看作是:正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中，六个面所形成的路径.
三〉圆夬
我们先看看四维坐标中的球体，它看上去是个扁的，（图十一），这是因为坐标的关系, 它在平面显示时被压缩了.
现在我们把这个球体想象成无数个"球壳",从大到小，一层层的套在一起，组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心，连带着这无数个球壳向W轴正方向牵引，在此过程中，球壳从大至小，逐层剥落.注意，剥落的过程不是匀速的,这个值和sin的值有关系，而且这些球壳的面积有一定量的拉伸（图十二）.
当牵引的距离达到球的半径R时，所有的球壳剥落完毕,最小的”球壳二就是原来的中心点，现在它移动了R的距离.
这些在W轴方向上，按大小顺序排列的无数个球壳,围合成了半个圆夬. 用同样的方法，向W 轴负方向牵引，得到另半个圆夬.（图十三）
图十三
这个圆夬,看上去还是一个圆球，其实，不论圆周，圆而，圆球，还是圆夬，它们都是圆的，画在纸上不会是其它形状，我们只能将它想象成无数个球体叠加，球半径由底空间的最大圆球开始，向w轴方向以cos值减小.（图十四）
图十四
四〉参数
以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形，下面是它们相关的一些参数・
正五体夬
5体10面10棱5顶点
设棱长为1：侧体高（丁6）/3叠（四维高）（丿10）/4内切圆夬半径（"10）/20外接圆夬半径（"10）/5
夬积j=（i/4）*d*V=（ 75）/96
其中d为叠（四维高）,V是底体的体积.
正方夬
8体24面32棱16顶点
设棱长为1：内切圆夬半径1/2外接圆夬半径为1
夬积1
对角体:1*1*（ V2）对角面:P（ V3）对角线2
圆夬
设半径为r.
表体积2（JT A2）（rA3）夬积1/2（兀A2）（rA4）
夬积公式 夬积有两种计算方法 j 二d*v ； J=S1*S2具体用哪个公式，以所知道的条件来决定. 五〉例题
例一:已知一等腰五体夬，它的底体为棱长为1的正四面体,它的外接圆夬半径为2, 求此五体夬的
夬积.(图十五)
答：设底体的屮心点为P,底体的一个顶点为O,在三维坐标屮，我们可以计算得到 棱长为1的正四面体的体积为("2)/12,计算得到OP 的长度为(J 6)/4.
在等腰五体夬中,它的叠(四维高)d 是经过外接圆夬夬心的，所以圆夬心C 在叠d 上,CO 为圆夬半径,CP 丄OP,可求得CP=( 758)/4，所以此等腰五体夬的夬积：
J=(l/4)d*V=(l/4) *(2+( V 58)/4)*( J 2)/12=( V 2)/24+( J 29)/96
例二：用牵引法的原理，验证圆夬的夬积公式.
答:我们先用牵引法计算半个圆夬的夬积.半圆夬的底部最大球的体积是(4/3) n R /\3,在牵引的过程中，球半径逐渐变小,球半径r 与牵引距离H 的关系是:rA2+HA 2=RA2,其中R 是最大球的半径，也是圆夬的半径.(图十六)
将从大到小的圆球体积累加起来，就能得到半个圆夬的夬积，下面是积分公式
:
图十六
3
2
n
4一3
R O
2
H
■
2
R
2
H
■
2
3
4
R
2
n
4
4
R
2
n
12
再将J1*2=(1/2)(H A2) (RA4),得到圆夬的夬积公式.
第二章位置关系一〉低维理论的升级
下面是一些关于四维几何的公设，这些公设若耍证明是非常复杂，但基于我们通常的数学认知，可以认为这些公设是正确的.
1＞在四维空间中，一条不与立体空间平行的直线，与此空间有且只有一个交点.
2＞在四维空间中，不与立体空间平行的平面，与此空间相交于一条直线.
3＞在四维空间中，两个互不平行的立休空间，相交于一个平面.
4＞在四维空间中，若立体A平行于立体B,立体B平行于立体C,则立体A平行于立体C.
5＞在四维空间中，若直线a垂直于立体V,直线b也垂直于立体V,则直线a 平行于直线b.
其实我们之前学习的二维和三维的几何理论，大部分在四维空间中都是适用的•在这里先例举一些，希望能够达到举一・反三的效果.
二〉平行
三维儿何中平行的概念只包含直线和平面，在四维儿何中平行概念得以进一步扩充，木节讨论育•线与立体平行，平面与立体平行，立体与立体平行.
1＞
在四维空间中，一条与参照立体空间平行的直线，与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.
设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点，作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成盲线b,则盲线a平行于肓线b.
在参照立体空间内，任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.
在参照立体空间内，任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直
一(1) 囲一
2＞
在四维空间中，与参照立体空间平行的平面，与此空间没有相交线.平面上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.
设平面S1平行于立体空间O・XY乙则平面S1内任意育线皆平行于立体空间
O-XY 乙
在平面S1上任取三点，作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.
在参照立体空间内，任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.
在参照立体空间内，任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面Sl・.图一(2)
3>
在四维空间中，与参照立体空间平行的立体，与此空间没有相交面.立体上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.
设立体VI平行于立体空间O・XY乙则立体VI内任意直线或平面皆平行于立体空间O・XY 乙空间O・XYZ内任意直线或平面也平行于立体VI.
在之后的章节，以上概念和推论将直接应用，不会再作相应的叙述.
三〉相交
本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交，平面与立体相交，立体与立体相交
1>
肓线与立体相交，有且只有一个交点.
在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O・XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则ZAPB是直线AP与空间O・XYZ 的夹角.
特殊情况，当ZAPB等于90度时，直线AP乖直于立体空间O・XYZ,同时也垂直于此空间内所有的肓线和平面.
在立体空间O-XYZ内，过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二⑴
因二7^7 —(2)
2>
平面与立体相交于一条肓线.
在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O・XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则ZAPB是平面S1与空间O・XYZ的夹角.
当ZAPB等于90度时，平面S1垂直于立体空间O・XY乙
在立体空间O-XYZ内，过肓线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2) 3>
立体与立体相交于一个平面.
在四维空间中有一立体VI与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体VI内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P,过点A作垂线垂肓于空间O-XYZ
且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平而S,ZAPB是立体VI与空间O-XYZ的夹角. 当ZAPB等于90度时，立体VI垂直于立体空间O・XYZ.
例一:求正五体夬表体之间的夹角.
答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1 .它的表体是五个正四面体，选取其中两个四面体:O・ABC和D-ABC.M T见这两个表体有公共面即三角形ABC.三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ZOPD就是两表体Z间的夹角.
不难求得DP=OP=(J6)/3,OD=1,代入余弦定理得：ZOPD=arccos(l/4)
例二：图四是一个四维坐标系，在底空间中有肓线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a,棱AD平行于直线b,棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面
体D-ABC平行于底空间•(图四1)
证明:首先采用反证法，假设"四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间"・延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内，过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义，直线MN必平行于直线a的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交，所以”棱AC 不平行于底空间”不成立，即棱AC平行于底空间・(图四2)
同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.
在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间乙则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD平行于底空间，所以棱AD到底空间的距离也为d.
将三角形ABC作为参照底面，把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交•取其中任意一个三角形面A,B,C\点H
在棱AD 上,所以点A ，到底空间的距离为d,因为三角形而平行于三角形 ABC 也平行于底空间,所以三角形面ABC 到底空间的距离也为d,这样就可以证 得四面体D-ABC 内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.
例三：求正方夬中,对角体，对角面,对角线与底体的夹角.(图五)
答：
1＞从图五(左)中看到，对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体，所以 DO 丄面
OABC,在底体中,EO 丄面OABC,所以ZDOE 等于对角体与底体的夹 角，它的值是兀/4・
2＞图五(屮)屮对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形，所以FO 丄OA,因为 FP 垂直于底
体交点为P,所以FP 丄OP, PO 丄OA, ZFOP 等于对角面与底体的 夹角，它的值是arccos(( V 6)/3).
3＞图五(右)中对角线GO 与底体相交于点O, GH 垂直于底体交点为H,所以Z GOH 等于对角
线与底体的夹角，它的值是arccos(( V 3)/2)= n /6・
四〉与圆夬的位置关系
1＞和切
这个概念与圆的切线类似，在四维空间中有立体和圆夬相交于一点，定义为此立体 与圆夬相切•图六(1)
连接圆夬心和相交点的线段，垂直于此立体(也可称Z 为切体).
2＞相交
立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的，则相交部分视 实际条件来判定.图六(2)
图八⑵
3＞外接圆夬
外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球•因为不在同一平面的四点可以确定一个 圆球表面，在圆球外任取一点，和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点, 可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬.
图七⑴
图六⑴
在一个点，到此四维夬所有顶点的距离都相等.
4＞内切圆夬
内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球•已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬•判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件，是在此四维夬的内部必须存在一点，到此四维夬所有的表体的距离都相等.图七(2)
第三章投影
我们所存在的宇宙是三维的，至冃前为止，人类从未进入过高维度的空间，所以不可能对四维空间有感官上的认知•要在有限的条件下了解四维的空间,方法之一就是借助三维儿何体的形状，在逻辑上对四维的儿何形状进行推测.本章主要介绍四维夬在三维空间的投影原理,将投影形成的过程逆向推理，就可以想象其在四维空间的形态.
一〉常用的投影计算公式以下是有关三维儿何投影的部分公式：1＞假设有一长度为L的直线与投影面的夹角为0，则投影的长度为L*Cos 0 2＞假设有一面枳为S的平面与投影面的夹角为0，则投影的面积为S*Cos 0
把以上公式中的”投影面”改为"”投影立体空间”，便是适用于四维空间的投影公式.以下是类比得到的第三条公式：
3＞假设有一体积为V的立体与投影立体空间的夹角为J则投影的体积为V^Cos 0
当特殊的情况下e为90度时，以上公式屮的直线，平面，立体皆垂直于投影立体空间,它们的投影分别是点，直线，平面.
例一：有一架探测器，它的体积是0.02立方米，把它送到四维空间去做实验,这架探测器进入四维空间后与我们的宇宙空间的夹角是60度，请问这架探测器在宇宙空间的投影体积是多少?(图一)
答：V'=Cos 0 *V=Cos( JI /3)*0.02二0.01 立方米
-＞平面角的投影
平面角在四维空间中的位置状况是多样的，这里我们选取最简单的一种做例子：设某平面角Za 的角平分线垂直于Za所在的平面与投影空间的交线，Za与投影空间的夹角为0 ,Za在投影空间的投影角为ZA,则tan(A/2)=tan(a/2)/cos 0
Z A=2arctan(tan(a/2)/cos。

)
这个公式,与平而角的而投影公式是一样的.
例二:底空间内有一圆锥体，它的圆锥角是JI/3,现以此圆锥体的中心线为定位线, 以顶点为旋转中心，向第四维方向旋转兀/4的角度，之后它在底空间内形成一个新的圆锥角投影•求新投影
的圆锥角是多少度.
磴二
答:图二中圆锥角为ZAOB,定位线即为角平分线，所求的新投影圆锥角ZaOb的中心线0P堤原圆锥角中心线OP的投影•因此可以使用平面角在三维空间的投影公式.
ZaOb=2arctan(tan( Z AOB /2)/cos( n /4)) = 2 arctan(( V 6”3)
三〉立体角的投影
立体角投影的计算略复杂一些，首先要分别计算立体角各个组成部分的投影值,再以所得结
果去计算投影立体角的大小.
图三(1)是一个立体角QO・ABC,OA=OB=OC,它与底空间的夹角为9，在底空间的投影立体角为QO-abc, QO・abc的值是无法育•接计算的.先将QO・ABC旋转回底空间，使其中心线0P与Q O-abc的中心线0P，重合，再将它们的位置变成图三(2) 所示.
图三(2)中过点O作平面垂直于P0,三角形是三角形ABC在此平面的投影, 也是三角形abc的投影.其中OP泊勺长度为cos 0 *0P.
根据以上的条件，先分别计算IB <3O-abc三个侧平面角的值,再代入相应的公式计算Q O-abc 的立体角值.
四〉夬投影原理
在讨论四维夬在三维空间的投影之前，我们先回顾一下三维体在平面上的投影•简单的说，平面投影就是有一束光源垂直照射在平面上,物体处于光源与平面之间,
在平而上显示出一个几何形状的阴影.
但是这个概念对于四维夬在三维空间的投影，是有想象难度的，所以我们可以变通 一下,将物体以垂直的方向穿过所耍投影的平面，在此过程中，平面上出现一个连 续变化的儿何图形，当物体完全穿过平面时，它会在平面上留下一个最大面积的” 穿透区域",这个区域是图形在穿透投影面的过程中，连续变化的几何图形叠加起 来的，这就是该物体在平面上的投影・（图四）
以同样的过程，可以类比出四维夬在三维空间的投影：当一个四维夬以垂直方向 穿过三维空间吋，它会在此三维空间的某一固定区域内形成一个连续变化的物 体，将这个连续变化的物体所占据的空间全部叠加起來，就是四维夬在三维空间 的投影。

夬是由体围合而成的，计算夬的投影主要方法,是把相关的夬表体的投影体分别计 算，再按照相对应的位置叠加起来.
五〉正方央投影
正方夬在四维几何形中是比较有代表性的，本节分析各种不同角度的正方夬在 三维空间的投影.为了便于分析,先将正方夬的8个表体分别编号
图五是一个正方夬,按四个轴八个方向把8个表体分开.
将正方夬上最接近底空间的那个正方体编号为W ■体，那么它在W 轴正方向 上的那个平行体的编号为W+体.用同样的命名规则，另6个正方体的编号分别 为:X+体,X ■体,Y+体,Y ■体,Z+体,Z ■体.（图六）
.
向下
穿透
\/
例三：有一个正方夬的棱长为L处于四维空间W轴的正方向上，它的底体在底空间中，求此正方夬在底空间内的投影.
答：此正方夬的底体W・体在底空间中，那么它的平行体W+体平行于底空间,W+ 体在底空间的投影是一个正方体•而正方夬的六个侧体均垂直于底空间，在底空间的投影是六个平面，综合可得此正方夬在底空间内的投影是一个正方体.
现在我们看看此正方夬穿过底空间是什么情况.
将正方夬沿W轴负方向垂肓穿过底空间，这时W■体离开底空间进入W轴负方向, 而正方夬的六个侧体在底空间投影产生的六个正方形围合成了一个新的，与W■体完全相同的正方体，而且所处的位置也相同.（图七）
W 4 N xhb
这样我们便得到一个结论,当正方夬的底体平行于底空间时，正方夬垂直穿过底空间所经历的立体空间大小，就是一个与正方夬底体相同的正方体,这也是此正方夬在底空间的投影.
例四：有一个正方夬的棱长为L处于四维空间W轴的正方向上，它的一个对角体为OABC-DEFG（图八），将此止方夬适当的旋转，使其对角体垂直于底空间，且与底空间相交于平面OABC,求此正方夬在底空间内的投影
为了便于观察,W轴和Z轴向左偏移了一些・(图九)
答:从正方夬对角体的定义得知，X■体和W・体与对角体的夹角为叮4,可计算的它们与底空间的夹角也为兀/4,它们的平行体X+体和W+体没有与底空间相交，但与底空间的夹角同样也是兀/4.
这样很容易计算出：X■体和W■体在底空间的投影体积为V-Cos( n/4)V=(( J 2)/2)V
X・体和W■体是共面的，所以他们的投影连在一起，是一个L*L*( V 2)L的长方体. 根据正方夬的对称性，X+体和W+体的连合投影也是同样的长方体，这个长方体和X■体W・体的投影长方体是重合的.
而另外的四个体：Y+体,Y■体,Z+体,Z■体，它们仍是垂直于底空间，所以它们的投影是四个平面.
当此正方夬由W轴正方向垂直穿过底空间吋•是一个连续变化的长方体，它的长由0慢慢的增加到("2)L的最大值，此时X■体和W■体穿过了底空间,X+体和W+ 体开始进入,然后它的长由(V2)L慢慢的减少到0.它在底空间穿过的立体空间是一个L*L*(J2)L的长方体，这就是此正方夬在底空间的投影.(图十)。