2007年高考重庆卷(理科数学)

2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（重庆卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 2.命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是
A.若21x ≥，则1x ≥或1x ≤-
B.若11<<-x ，则12<x
C.若1>x 或1-<x ，则12>x
D.若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥ 3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
4.若n x x )1
(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为
A.10
B.20
C.30
D.120
5.在ABC ∆中，AB =45A =，75C =，则BC 等于
A.33-
B.2
C.2
D.33+ 6.从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 A.41 B.12079 C.43 D.2423
7.若a 是b 21+与b 21-的等比中项，则
|
|2||2b a ab
+的最大值为
A.
15
5
2 B.42 C.55 D.22
8.设正数a ，b 满足n n n n n b
a a
b a 2lim 11
1++--+∞→等于 A.0 B.
41 C.2
1
D.1 9.已知定义域为R 的函数)(x f 在(8,)+∞上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则
A.)7()6(f f >
B.)9()6(f f >
C.)9()7(f f >
D.)10()7(f f > 10.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++，AB BD BD DC ⋅+⋅
4=，0=⋅=⋅，则()AB DC AC +⋅的值为
A.2
B.22
C.4
D.24 24分.把答案填写在答卷相应
位置上. 11.复数
3
22i
i
+的虚部为 . 12.已知x ，y 满足1241x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则函数y x z 3+=的最大值是 .
13.若函数12)(22
-=-+a
ax x
x f 的定义域为R ，则a 的取值范围为 .
14.设}{n a 为公比1>q 的等比数列，若2004a 和2006a 是方程03842=+-x x 的两根，则=+20072006a a .
15.某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种.（以数字作答）
16.过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为 105的直线，交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分13分） 设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=.
（Ⅰ）求)(x f 的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角α满足323(-=αf ，求α54
tan 的值.
18.（本小题满分13分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每
辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19、1
10
、
1
11
，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望. 19.（本小题满分13分）
如右图，在直三棱柱111C B A ABC -中， 90,1,21=∠==ABC AB AA ；点D 、E 分别在D 、A BB 11上，且D A E B 11⊥，四棱锥1ABDA C -与直三棱柱的体积之比为
5:3.
（Ⅰ）求异面直线DE 与11C B 的距离；
（Ⅱ）若2=BC ，求二面角B DC A --的平面角的正切值.
20.（本小题满分13已知函数44()ln f x ax x bx c =+-（0x >）在1=x 处取得极值a --3，其中a 、b 为常数.
（Ⅰ）试确定a 、b 的值； （Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围. 21.（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足11>S ，且6(1
)(2)n n n S a a =++,
（n N +∈）.
（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列}{n b 满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为}{n b 的前n 项和，求证：
231log (3)n n T a +>+（n N +∈）.
22.（本小题满分12分）
如右图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为：12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点1P ，2P ，3P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明：|
|1
||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.
2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）
数学参考答案（理工科）
一、选择题 ADCBA
CBBDC
二、填空题：
11、54
12、7 13、]0,1[- 14、18
15、25
16、
3
3
8 三、解答题：
17、解：（Ⅰ）x x
x f 2sin 32
2cos 16)(-+⋅
=32sin 32cos 3+-=x x 3)2sin 212cos 23(
32+-=x x 3)6
2cos(32++=π
x 故)(x f 的最大值为332+； 最小正周期ππ
==
2
2T . （Ⅱ）由323)(-=αf 得3233)6
2cos(32-=++π
α，故1)6
2cos(-=+
π
α.
又由2
0πα<
<得
6
6
26
π
ππ
απ
+
<+
<，故ππ
α=+
6
2，解得12
5πα=
. 从而33
tan 54tan ==π
α.
18、解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，3,2,1=k .
由题意知321,,A A A 独立，且11
1
)(,101)(,91)(321===A P A P A P .
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
11
3
1110109981)()()(1)(1321321=⨯⨯-=-=-A P A P A P A A A P .
（Ⅱ）ξ的所有可能值为27000,18000,9000,0.
11
8111010998)()()()()0(321321=⨯⨯=
===A P A P A P A A A P P ξ, )()()()9000(321321321A A A P A A A P A A A P P ++==ξ )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
11110998111010198111010991⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
45
11
990242==，
)()()()18000(321321321A A A P A A A P A A A P P ++==ξ
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 1111019811110991111010191⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
110
3
99027=
=， )()()()()27000(321321A P A P A P A A A P P ===ξ990
1
11110191=⨯⨯=.
综上知，ξ的分布列为
求ξ的期望有两种解法： 解法一：由ξ的分布列得
990127000110318000451190001180⨯+⨯+⨯+⨯
=E ξ18.271811
29900≈=（元） 解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，3,2,1=k ， 则1ξ有分布列
故10009
90001=⨯
=E ξ. 同理得18.818111
9000,900101900032≈⨯=E =⨯=E ξξ.
综上有
18.271818.8189001000321=++≈E +E +E =E ξξξξ（元）.
19、解法一：
（Ⅰ）因1111B A C B ⊥，且111BB C B ⊥，故⊥11C B 面A 1ABB 1，从而B 1C 1⊥B 1E ，又 B 1E ⊥DE ，故B 1E 是异面直线B 1C 1与DE 的公垂线. 设BD 的长度为x ，则四棱椎1ABDA C -的体积1V 为
BC x BC AB A A DB BC S V ABDA ⋅+=⋅⋅+=⋅=)2(6
1
)(6131111.
而直三棱柱111C B A ABC -的体积2V 为BC AA BC AB AA S V ABC =⋅⋅=⋅=∆1122
1
.
由已知条件5:3:21=V V ，故53)2(61=+x ，解得58
=x .
从而B 1D 52
5821=-=-=DB B B .
又直角三角形D B A 11中，
5
29)52(12212
111=+=+=
D B B A D A ,
又因D B B A E B D A S D B A 111112
1
2111⋅=⋅=
∆. 故29
29211111=⋅=D
A D
B B A E B .
（Ⅱ）如右图，过B 1作B 1F ⊥C 1D ，垂足为F ，连接A 1F.因A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1D ， 故A 1B 1⊥面B 1DC 1，由三垂线定理知C 1D ⊥A 1F ，故∠A 1FB 1为所求二面角的平面角. 在直角D B C 11∆中，5
6
3)5
2
(22212111=+=+=D B C B D C ， 又因D B C B F B D C S D B C 111112
1
2111⋅=⋅=
∆，故 93211111=
⋅=
D C D B C B F B ，所以2
3
3tan 11111==F B B A FB A . 20、解：（Ⅰ）由题意知c f --=3)1(，因此c c b --=-3，从而3-=b . 又对)(x f 求导得)4ln 4(41
ln 4)(3343/b a x a x bx x
ax x ax x f ++=+⋅
+=. 由题意0)1(/=f ，因此04=+b a ，解得12=a .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知)0(ln 48)(3/>=x x x x f .令0)(/=x f ，解得1=x . 当10<<x 时，0)(/<x f ，此时)(x f 为减函数； 当1>x 时，0)(>x f ，此时)(x f 为增函数.
因此)(x f 的单调递减区间为)1,0(，而)(x f 的单调递增区间为),1(+∞.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值.要使)0(2)(2>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--. 即0322≥--c c ，从而0)1)(32(≥+-c c .
解得2
3≥c 或1-≤c .
所以c 的取值范围为),2
3[]1,(+∞--∞
21、（Ⅰ）解：由)2)(1(6
1
1111++==a a S a ，
解得11=a 或21=a .由假设111>=S a ，因此21=a .
又由)2)(1(6
1
)2)(1(611111++-++=-=++++n n n n n n n a a a a S S a ，得
0)3)((11=--+++n n n n a a a a ，即031=--+n n a a 或n n a a -=+1.
因0>n a ，故n n a a -=+1不成立，舍去.
因此31=-+n n a a ，从而}{n a 是公差为3，首项为2的等差数列，故}{n a 的通项为
13-=n a n .
（Ⅱ）证法一：由1)12(=-n b n a 可解得1
33log )11(log 2
2-=+
=n n
a b n n 从而)1335623(log 2215-⋅⋅⋅=+++=n n
b b b T n n .
因此]2
32
)1335623[(log )3(log 13322+⋅-⋅⋅⋅=+-+n n n a T n n .
令2
32
)1335623()(3+⋅
-⋅⋅⋅=n n n n f ，则 2
3
3)
23)(53()33()2333(5323)()1(+++=++⋅++=+n n n n n n n n f n f . 因079)23)(53()33(23>+=++-+n n n n ，故)()1(n f n f >+. 特别地120
27
)1()(>=
≥f n f ，从而0)(log )3(log 1322>=+-+n f a T n n ， 即)3(log 132+>+n n a T . 证法二：同证法一求得n b 及n T .
由二项式定理知，当0>c 时，不等式c c 31)1(3+>+成立. 由此不等式有3
332)1
311()5
11()21
1(2log 13-+
++=+n T n )
3(log )23(log )1
32
358252(log )1311()531)(231(2log 2222+=+=-+⋅⋅⋅⋅=-+++>n a n n n n
.
证法三：同证法一求得n b 及n T .
令132
37845,3136734,1335623++⋅
⋅⋅=+⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=
n n C n n B n n A n n n . 因1323313133++>+>-n n n n n n ，因此2
233
+=>n C B A A n n n n . 从而
)3(log )23(log 2log 2log )1
335623(2log 132223232+=+=>=-⋅⋅⋅=+n n n n n n a n C B A A n n T
证法四：同证法一求得n b 及n T .
下面用数学归纳法证明：)3(log 132+>+n n a T .
当1=n 时，5log )3(log ,4
27log 1321221=+=+a T ，因此)3(log 132+>+n n a T ，结论成
立.
假设结论当k n =时成立，即)3(log 132+>+k k a T ，则当1+=k n 时，
)3(log 313)3(log 13121121+-++=+-+++++k k k k k a b T a T
2
3
2
1
122)
23)(53()33(log 3)3(log )3(log +++=++-+>++k k k b a a k k k . 因079)23)(53()33(2
3
>+=++-+k k k k ，故0)23)(53()33(log 2
3
2>+++k k k .
从而)3(log 13121+>+++k n a T .这就是说当1+=k n 时结论也成立. 综上)3(log 132+>+n n a T 对任何+∈N n 成立.
22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为122
22=+b
y a x .
因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右 准线l 的方程为c
a
x 2
=
，从而由已知 36,1222
==a c
a ， 因此3327,622==-==c a
b a .
故所求椭圆方程为
127
362
2=+y x . （Ⅱ）记椭圆的右顶点为A ，并设)3,2,1(==∠i AFP i i α，不失一般性，假设
3201πα<
≤，且3
4,321312πααπαα+=+=. 又设i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率2
1
==
a c e ， 从而有)3,2,1()cos ||9(2
1
)cos ||(||||2=-=--=⋅=i FP e FP c c a e Q P FP i i i i i i i αα.
解得
)3,2,1()cos 2
1
1(92||1=+=i FP i i α. 因此 ))]3
4cos()32cos((cos 213[92||1||1||1111321παπαα+++++=++FP FP FP ， 而
0cos 2
3
cos 21cos 23cos 21cos )34cos()32cos(cos 11111111=+---=+++
+αααααπαπαα， 故3
2||1||1||1321=++FP FP FP 为定值.。