数理方程定解问题

数理⽅程定解问题
数理⽅程定解问题：
1、数理⽅程的分类
反应热传导的⽅程类型为：
u t=D?u+f
其中?=e2
ex2+e2
ey2
+e2
ez2
，u t=eu
et
，未知数u表⽰温度特征，D表⽰热传导系数，f是与
源有关的已知函数，当f=0的时候，相应的⽅程被称为齐次⽅程。

2、⽤数理⽅程研究物理问题的步骤
⽤数理⽅程研究物理问题⼀般需经历以下三个步骤
（1）导出或写出定解问题，它包括数理⽅程和定解条件两部分
（2）求解已导出或写出的定解问题
（3）对求得的答案讨论其适定性（即解是否存在、唯⼀且稳定）并作适当的物理解释
3、求解数理⽅程的⽅法
求解数理⽅程的⽅法⼤致可归纳为如下⼏种
（1）⾏波法（d’Alembert解法）
（2）分离变量法
（3）积分变换法
（4）Green函数法
（5）保⾓变换法
（6）复变函数法
（7）变分法
定解条件
定解条件是确定数理⽅程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯⼀性的充分必要条件。

它分为初始条件和边界条件两种。

若所研究的系统是由⼏种不同介质组成的，则在两种介质的交⾯上定解条件还应当有衔接条件。

1、初始条件
（1）定义初始条件是物理过程初始状况的数学表达式
（2）初始条件的个数关于时间t的n阶偏微分⽅程，要给出n个初始条件才能确定⼀个特解。

热传导⽅程仅需给出⼀个初始条件
u x，y，z；t|t=0=φ(x，y，z)
2、边界条件
（1）定义物理过程边界状况的数学表达式称为边界条件。

（2）边界条件的种类和个数边界条件分为三类。

设f(M，t)为任⼀已知函数，M为边界上的点，则三类边界条件分别为：
1 第⼀类边界条件u|
边
=f(M,t)
2 第⼆类边界条件eu
en |
边
=f(M,t)
3 第三类边界条件[u+heu
en ]
边
=f(M,t)
其中u|
边表⽰未知函数u在边界⾯上的值，eu
en
|
边
表⽰未知函数沿边界外法向的导数在边
界上的值，h为任意常数。

若f=0，泽以上三类边界条件分别称为第⼀、第⼆、第三类齐次边界条件，否则称作相应的⾮齐次边界条件。

除以上三类边界条件以外，由于物理上的合理性的需要，有时还需对⽅程中的未知函数附加以单值、有限等限制，如
uφ+2π=u(φ)
u|
边
→有限
等。

这类附加条件称为⾃然边界条件。

不管是何类边界条件，类似于初始条件的情况，变量x的⼆阶偏微分⽅程要求两个边界条件（⼀端点⼀个），⽽x的四阶偏微分⽅程要求四个边界条件（⼀端点两个）。

3、衔接条件
由不同介质组成的系统，在两种不同介质的交界处需要给定两个衔接条件。

更⼀般来说，若在所研究的区域内出现使泛定⽅程失去意义的跃变点（线或⾯），则在定解条件中必须含有跃变点处的衔接条件。

4、三类定解问题
泛定⽅程与不同类型的定解条件分别构成了如下三种类型的定解问题
（1）初值问题是由泛定⽅程和初始条件构成的定解问题，⼜叫Cauchy问题。

（2）边值问题是由泛定⽅程和边界问题构成的定解问题。

（3）混合问题是由泛定⽅程、初始条件和边界问题三者构成的定解问题
泛定⽅程与叠加原理
泛定⽅程反应⼴泛性的运动规律，不涉及具体的系统和具体的问题。

数理⽅法中的泛定⽅程是各种各样的，线性常微分⽅程、⾮线性常微分⽅程。

线性与⾮线性⽅程的区别在于线性⽅程服从叠加原理。

我们引⼊算符的概念。

算符就是运算符号。

⽐如
d
，?
+
e
，
e2
2
a2
e2
2
是微分算符，⽽
dx，dx dy，dθ
是积分算符。

如果算符L满⾜
L（au1+bu2）=a L(u1)+b L(u2)
其中a、b为常数，u1、u2是函数，则称L为线性算符。

叠加原理：如果u i（x，y）（i=1，2，3，······）是⽅程（1）的解
L u i（x，y）=0 （1）
其中L=Ae2
x +2Be2
xy
+Ce2
y
+De
ex
+Ee
ey
+F，⽽且级数
u=C i u i（x，y）
∞
i=1（2）
收敛，并且能够逐项微分两次，则式（2）也是⽅程（1）的解。

叠加原理为求解线性泛定⽅程的定解问题提供了有⼒的⼯具。

定解问题作为⼀个数学物理模型，是否能准确⽆误地描述实际过程，需要对结果进⼀步检验。

从数学⾓度来看，即考查解的适定性，它包括三个⽅⾯：
（1）存在性即考查定解问题的解是否存在
（2）唯⼀性实际问题的解往往是唯⼀的，但数学解可能不是唯⼀的，要舍去没有意义的数学解
（3）稳定性考查定解条件或驱动项的微⼩变化是否导致解的性质的改变如果⼀个解经不起微扰，或者说在⼩⼩的微扰下，解的性质就发⽣了改变，尽管这个解是存在且唯⼀的，但没有实际意义。

如果⼀个定解问题的解是存在的、唯⼀的、稳定的，则称这个定解问题是适定的。

适定性的讨论，对于⼀个定解问题是⼗分必要的。