高考数学一轮复习 第9章《椭圆》名师首选学案 新人教A

学案49 椭圆
导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．
自主梳理
1．椭圆的概念
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫______．
集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若______，则集合P为椭圆；
(2)若______，则集合P为线段；
(3)若______，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
自我检测
1．已知两定点A(－1,0)，B(1,0)，点M满足MA＋MB＝2，则点M的轨迹是____________．2．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．
3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．
4．椭圆x2
12＋
y2
3
＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那
么PF1＝________，PF2＝________.
5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.
探究点一椭圆的定义及应用
例1 一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求
动圆圆心的轨迹方程．
变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2
－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
探究点二 求椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；
(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3.
变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝6
3，求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．
探究点三 椭圆的几何性质
例3 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．
变式迁移3 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点
M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．
方程思想
例4 (14分)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，3
2
)，
过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在直线l ，满足PA →·PB →＝PM →
2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答题模板】
解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
1
a 2＋9
4b
2＝1，c a ＝1
2，a 2
＝b 2
＋c 2
.
解得a 2＝4，b 2
＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.[4分]
(2)若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，由
⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3＝1，y ＝k x －＋1，
得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2
－16k －8＝0.[6分]
因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4·(3＋4k 2)·(16k 2
－16k －8)>0.
整理得32(6k ＋3)>0，解得k >－1
2.[9分]
又x 1＋x 2＝8k k －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2
－16k －83＋4k
2
，且PA →·PB →＝PM →2
， 即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝5
4
，
所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2
)＝54
，
即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2
)＝54
.[11分]
所以[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4](1＋k 2
)＝4＋4k 23＋4k 2＝54，
解得k ＝±12.所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件，其方程为y ＝1
2
x .[14分]
【突破思维障碍】
直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．
1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定
参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x 2m ＋y 2
n
＝1 (m >0，n >0
且m ≠n )，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax 2＋By 2
＝1 (A >0，B >0且A ≠B )，这种
形式在解题中更简便．
2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．
3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．
课后练习
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为_________________________________________________________．
2．已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2
＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m ＝________.
3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，
若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为________．
4．已知圆(x ＋2)2＋y 2
＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是________．
5．椭圆x 225＋y 2
9＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON ＝________.
6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3
2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．
7．椭圆x 29＋y 2
2
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝________；∠
F 1PF 2的大小为________．
8．如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，
tan ∠PF 1F 2＝1
2
，则此椭圆的离心率是______．
二、解答题(共42分)
9．(14分)(2011·常州模拟)已知方向向量为v ＝(1，3)的直线l 过点(0，－23)和
椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，且椭圆的离心率为6
3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若已知点D (3,0)，点M ，N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM →＝λDN →
，求实数λ的取值范围．
10．(14分)椭圆ax 2＋by 2
＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若
AB ＝22，OC 的斜率为2
2
，求椭圆的方程．
11．(14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程．
(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
学案49 椭 圆
答案
自主梳理
1．椭圆 焦点 焦距 (1)a >c (2)a ＝c (3)a <c 自我检测
1．线段AB 2.充要 3.33 4.732 3
2
5.1
课堂活动区
例1 解 如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r .
则由圆相切的性质知， CO 1＝1＋r ，CO 2＝9－r ， ∴CO 1＋CO 2＝10， 而O 1O 2＝6，
∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 2
16
＝1.
变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为：
(x ＋2)2＋y 2＝62
，圆心B (－2,0)，r ＝6. 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，
动圆与已知圆的切点为C .
则BC －MC ＝BM ， 而BC ＝6， ∴BM ＋CM ＝6. 又CM ＝AM ，
∴BM ＋AM ＝6>AB ＝4.
∴点M 的轨迹是以点B (－2,0)、A (2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.
∴所求轨迹方程为x 29＋y 2
5
＝1.
例 2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a ，b 的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为
x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2
＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )．
解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，
设方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)．
∵椭圆过点A (3,0)，∴9
a
2＝1，
∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 2
9
＋y 2
＝1.
若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1 (a >b >0)．
∵椭圆过点A (3,0)，∴9
b
2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ， ∴a ＝9，∴方程为y
2
81＋x 2
9
＝1.
综上可知椭圆的方程为x 2
9＋y 2
＝1或y 281＋x 2
9＝1.
(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2
＝1，将A ，B 坐标代入方
程得⎩⎪⎨⎪
⎧ 4n ＝11
4
m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1n ＝1
4
，∴所求椭圆方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63
， ∴c ＝6，从而b 2
＝a 2
－c 2
＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2
3
＝1.
当椭圆的焦点在y 轴上时，
∵b ＝3， c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63
，∴a 2
＝27.
∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2
27
＝1.
∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 2
27＝1.
(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2
＝1 (m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②
①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
9
，n ＝1
3.
∴所求椭圆方程为x 29＋y 2
3
＝1. 例 3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF 1＋PF 2＝2a ，得到a 、c 的关系．
(2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪
⎧
定义式的平方余弦定理
面积公式
⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
PF 1＋PF 2
2
＝a
2
，
4c 2
＝PF 2
1
＋PF 22
－2PF 1
·PF 2
·cos θ，S △
＝12PF 1
·PF 2
·sin θ.
(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)，
PF 1＝m ，PF 2＝n .
在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2
－2mn cos 60°.
∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2
－2mn .
∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2
.
又mn ≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，
∴4a 2
－4c 2
≤3a 2
.∴c 2a 2≥14，即e ≥12
.
∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1. (2)证明 由(1)知mn ＝43
b 2
，
∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33
b 2
，
即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．
变式迁移3 解 (1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2
a
，
∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－b
a ，OM ∥AB ，
∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.
(2)设F 1Q ＝r 1，F 2Q ＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，
cos θ＝r 21＋r 22－4c
2
2r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2
＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 22
2
－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π
2
]．
课后练习区
1.
x 225＋y 2
9＝1 (y ≠0) 2.8 3.2－1 4.椭圆 5．4 解析
连结MF 2， 已知MF 1＝2， 又MF 1＋MF 2＝10，
故MF 2＝10－MF 1＝8，如图，
ON ＝1
2MF 2＝4.
6.
x 236＋y 2
9
＝1 解析 由已知得c a ＝
32
，2a ＝12，∴a ＝6，c ＝33，b 2＝a 2－c 2
＝9. 故椭圆方程为x 236＋y 2
9
＝1.
7．2 120°
解析 由PF 1＋PF 2＝6，且PF 1＝4，知PF 2＝2， 在△PF 1F 2中，
cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝－1
2
.
∴∠F 1PF 2＝120°.
8.53
解析 由题得△PF 1F 2为直角三角形，设PF 1＝m ，
∵tan ∠PF 1F 2＝12，∴PF 2＝m 2，F 1F 2＝5
2
m ，
∴e ＝c a ＝
F 1F 2PF 1＋PF 2＝53
.
9．解 (1)∵直线l 的方向向量为v ＝(1，3)，
∴直线l 的斜率为k ＝ 3. 又∵直线l 过点(0，－23)， ∴直线l 的方程为y ＋23＝3x .
∵a >b ，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点．
∴c ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴a ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2
＝2.
∴椭圆方程为x 26＋y 2
2
＝1.(6分)
(2)若直线MN ⊥y 轴，则M 、N 是椭圆的左、右顶点，
λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，
即λ＝5＋26或5－2 6.
若MN 与y 轴不垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 26＋y 2
2＝1，x ＝my ＋3
得(m 2＋3)y 2
＋6my ＋3＝0.
设M 、N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝－6m
m 2＋3，①
y 1y 2＝3
m 2＋3，②
Δ＝36m 2－12(m 2＋3)＝24m 2－36>0，∴m 2>3
2
.
∵DM →＝(x 1－3，y 1)，DN →＝(x 2－3，y 2)，DM →＝λDN →
，显然λ>0，且λ≠1， ∴(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)．∴y 1＝λy 2.
代入①②，得λ＋1λ＝12m 2
m 2＋3－2＝10－36
m 2＋3
.
∵m 2>3
2，得2<λ＋1λ<10，即⎩
⎪⎨⎪⎧
λ2
－2λ＋1>0，λ2
－10λ＋1<0，
解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.
综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26， 且λ≠1.(14分)
10．解 方法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得
a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋
b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a .(4分)
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
ax 2＋by 2＝1x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2
－2bx ＋b －1＝0，
∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1
a ＋b
，
再由AB ＝1＋k 2
|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，
得⎝ ⎛⎭
⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，(10分)
将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23
. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23
＝1.(14分) 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1
得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.(2分)
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则AB ＝k 2＋x 1－x 22＝2·4b 2－a ＋b
b －a ＋b 2.
∵AB ＝22，∴
a ＋
b －ab a ＋b
＝1.①(6分) 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b ， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.(10分) 代入①，得a ＝13，b ＝23
. ∴椭圆方程为x 23＋2y 2
3＝1.(14分) 11．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．
从而有⎩
⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2
＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212
＝1.(5分) (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32
x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2
－12＝0.(7分) 因为直线l 与椭圆C 有公共点，
所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，
解得－43≤t ≤4 3.(9分)
另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，
得|t |94
＋1＝4，解得t ＝±213.(12分) 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．(14分)
方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.
解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16.(3分)
所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212
＝1.(5分) (2)同方法一．。