八年级数学第五章：数据的收集与处理 第3、4节北师大版知识精讲

初二数学第五章：数据的收集与处理第3、4节北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第五章：数据的收集与处理
第三节：频数与频率
第四节：数据的波动
二. 教学要求：
1、理解频数与频率等概念，并能绘制相应的频数分布直方图和频数分布折线图。

能根据数据处理的结果，做出合理的判断和预测，从而解决实际问题，并在这一过程中体会统计对决策的作用。

2、了解极差、方差、标准差的概念，知道极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的统计量。

熟练掌握方差的计算公式，并会用计算器计算一组数据的标准差与方差。

理解一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。

三. 重点、难点：
重点：
1、运用频数与频率概念以及相应的频数分布直方图进行数据处理，做出合理判断和预测。

2、运用极差、方差、标准差解决实际问题。

难点：
1、根据数据处理的结果，做出合理的判断和预测。

2、对极差、方差、标准差概念的理解。

四. 课堂教学：
［知识要点］
知识点1、有关概念
（1）频数：在数据的收集中由于某些对象出现的频繁程度不同，称每个对象出现的次数为频数。

频数（2）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=
数据总数（3）频数分布直方图：对收集的数据可用适当的统计图表示出来，当收集的数据需连续取值时，可先将数据适当分组，然后再绘制出频数分布直方图。

（4）频数分布折线图：为了更好地刻画数据的总体规律，在频数分布直方图上取点，连线即得到频数分布折线图。

知识点3、如何绘制频数分布直方图
频数分布直方图反映了样本数据落在各个小X 围内的多少，绘制一组数据的频数分布直方图的步骤有：
（1）计算最大值与最小值的差； （2）决定组距与组数，（数据越多，分的组数也应越多，当数据在100个以内时，通常按照数据的多少分成5——12个组，组距是指每个小组的两个端点之间的距离，一般要求各组的组距相等）
（3）决定分点 （4）列频数分布表
（5）画频数分布直方图。

对于一组已给出的数据，可以通过求平均数、中位数和众数来反映数据的平均水平，也可以通过求极差、方差和标准差来了解数据的离散程度，极差极易计算，但只对极端值比较敏感，方差计算比较复杂，但能比较全面地刻画一组数据的离散程度。

知识点4、定义
（1）极差：一组数据中最大数据与最小数据的差
（2）方差：各个数据与平均数据之差的平方的平均数，即
的平均数，
是其中，n n x x x x x x x x x x n x ,,,],)()()[(1
21222212 -++-+-=
22
222122)(1x x x x n
s s n -+++= 是方差，也可以简化成
（3）标准差：方差的算术平方根，即2s
（4）数据的离散程度：把相对平均水平的偏离情况称为数据的离散程度。

说明：（1）极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的统计量，它们都是衡量数据波动的大小，极差、方差、标准差越大，波动性越大，也越不稳定。

（2）利用计算器可以很方便地计算出一组数据的标准差与方差，其大致步骤是：进入统计状态，输入数据，按键得出标准差。

知识点5、制定一个调查方案应具有的内容： 1、调查的目的 2、调查的问题 3、调查的对象 4、确定调查方式 5、调查如何选取样本 6、对调查数据如何处理 7、注意的问题
8、写出调查结果和调查报告。

【典型例题】
例1、如图，八年级1班在小制作评比活动中，评委会把5月1日到5月30日同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频数分布直方图，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？
（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
分析：（1）频数分布直方图中的各长方形的高的比就是各组所占频数的比，第三组的频数占总数的
5
1
，又因第三组的频数为12，可求得参赛作品的总件数。

（2）由频数的比值大小可判别各组上交作品的多少。

（3）获奖率=该足获奖作品件数÷该组参赛作品件数，即可比较大小。

解：（1）由
511464324=+++++，知605
1
12=÷
则本次活动共有60件作品参加评比。

（2）由,1820
6
60=⨯
知第四组上交作品数量最多，共18件。

（3）第四组获奖率为9
5
1810=
第六组上交的作品数量为320
1
60=⨯
由第六组获奖率为3
2
故第六组获奖率较高。

例2、已知一个样本
25 21 23 25 27 29 25 28 30 29 26 24 25 27 26 22 24 25 26 28 （1）列频数分布表，
（2）绘制频数分布直方图， （3）绘制频数分布折线图。

解：22以下 23－24 25－26 26－28 29－30 2
3
8
4
3
（2）—（3）频数分布直方图与折线图。

说明：注意图中各个小长方形的高对应着落在每个小组中的频数。

例3、要从甲、乙、丙三位射击运动员中选取一名参加比赛，在预选赛中，他们每人各打了10发子弹，命中的环数如下：
甲：10 10 9 10 9 9 9 9 9 9 乙：10 10 10 9 10 8 8 10 10 8 丙：10 9 8 10 8 9 10 9 9 9 根据这次成绩，应该选择谁去参加比赛？
分析：首先计算平均成绩，谁优越选谁，若平均数相同，则需计算方差，方差小的相对成绩稳定，应是选择对象。

解：经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93，93，91，所以丙应该先遭淘汰。

设甲、乙的命中平均环数为22
2
121,s s x x 和方差分别是和
则3.9x x 21==
21.0])3.99()3.910()3.910[(101
2222
1=-++-+-= s 81.0])3.98()3.910()3.910[(10
1
2222
2
=-++-+-= s
且甲的极差为：10－9=1,乙的极差为:10－8=2
所以在总的成绩相同的条件下,应选择发挥稳定的运动员甲参加比赛。

说明：方差反映了一组数据在平均数左右波动的大小,在实际生活中应用极广,经常利用它来衡量一组数据的稳定性。

例4、若是常数方差是的平均数是b a s x x x x x n ,,,,,,,2
321 ，求
（1）2121,n x b x b x b +++
++的方差s
（2）2
221,,,s ax ax ax n 的方差
（3）2
321,s b ax b ax b ax n 的方差+++++
分析：此题的实质是方差的三条基本性质，证明后可直接应用。

解：（1）设121,x b x b x b x n 的平均数是+++++ 则b x x +=1 所以])()()[(1
212122112
1x b x x b x x b x n
s n -+++-++-+=
2
2222122221])()()[(1
])()()[(1
s x x x x x x n b x b x b x b x b x b x n n n =-++-+-=--+++--++--+= （2）设221,,,x ax ax ax n 的平均数 则x a x =2 所以])()()[(1
222222212
2x ax x ax x ax n
s n -++-+-=
2
2222212
22221]
)()()[(])()()[(1
s a x x x x x x n a x a ax x a ax x a ax n n n =-++-+-=-++-+-= （3）设321)()(),(x b ax b ax b ax n 的平均数为+++++ 则b x a x +=3 所以：])()()[(1
232322312
3x b ax x b ax x b ax n
s n -+++-++-+=
2
2222212]
)()()[(s a x x x x x x n
a n =-++-+-= 说明：可总结出运算性质：222
3s a s =，进一步可以得到标准差的运算性质：
s a s s a s s s ===321,,，了解这些性质，为今后的方差计算提供了简单运算思路。

例5、甲、乙两台机床同时加工直径为100毫米的零件，为了检验产品的质量从产品中抽出6件进行测量，测得数据如下：（单位毫米）
甲机床：99 100 98 100 100 103 乙机床：99 100 99 100 102 100
试说明哪一台机床加工的零件更符合要求。

解：1003002-01-61
100=+++++=）（甲x
100)001201(61
100=++-++-+=乙x
.
,1
372
2
2
2
更符合要求所以乙机床加工的零件因为乙甲乙甲s s s s >==
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 列一组数据的频数分布表时，落在各个小组内的数据的个数叫做（ ） A. 组距 B. 频数 C. 频率 D. 样本容量
2. 要了解全市八年级学生身高在某一X 围内的学生所占比例的大小，需知道相应样本的（ ）
A. 平均数
B. 中位数
C. 众数
D. 频率分布
3. 已知样本7，8，10，14，9，7，12，11，10，8，13，10，8，11，10，9，12，9，13，11，那么这组样本数据落在8.5~11.5内的频率是（ ）
4. 在频数分布表中，各小组的频数之和（ ）
A. 小于数据总数
B. 等于数据总数
C. 大于数据总数
D. 不能确定
5. 已知一组数据－1，x ，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ）
A.
2 B. 2 C. 4 D. 10
6. 若甲组数据的方差比乙组数据的方差大，那么下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大 B. 甲组数据比乙组数据稳定 C. 乙组数据比甲组数据稳定 D. 甲、乙组的稳定性不能确定
7. 已知一组数据的方差是4，则这组数据的标准差是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
8. 从A 、B 两班分别任抽10名学生进行英语口语测试，其测试成绩的方差是S A 2=13.2，S B 2=26.36，则（ ）
A. A 班10名学生的成绩比B 班10名学生的成绩整齐
B. B 班10名学生的成绩比A 班10名学生的成绩整齐
C. A 、B 两班10名学生的成绩一样整齐
D. 不能比较A 、B 两班学生成绩的整齐程度
二、填空题
1. 已知一组数据共100个，在频数分布表中，某一小组的频数为4，则这一小组的频率为________。

2. 已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分别为2，8，15，20，5，则第四组的频数和频率分别是________。

3. 有一块实验田，抽取1000个麦穗，考察它们的长度（单位：厘米），从频数分布表中可以得到样本数据落在 5.75~6.05之间的频率是0.36，于是可以估计在这块实验田里，长度在5.75~6.05厘米之间的麦穗约占________。

4. 已知一组数据：25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28，填写下面的频数分布表：
分组频数累计频数频率
合计
5. 一组数据7，8，9，10，11，12，13的方差是________。

6. 已知一组数据1，2，3，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差是________。

7. 已知数据7，9，19，a，17，15的中位数为13，则这组数的平均数为________，方差为________。

8. 在一次知识竞赛中，学生甲和乙的各科总平均分相等，但甲的标准差比乙的标准差小，这说明__________________________________。

三、解答题
1. 某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表：（分数均为整数，满分为100分）
分数段（分）61~70 71~80 81~90 91~100
人数（人） 2 8 6 4 请根据表中提供的信息，解答下列各题：
图1
（1）参加这次演讲比赛的同学共有________人；
（2）已知成绩在91~100分的同学为优胜者，那么，优胜率为________；
（3）所有参赛同学的平均得分M（分）在什么X围内？答：________；
（4）将成绩频数分布直方图补充完整.
2. 某单位对全体职工的年龄进行了调查统计，结果如下（单位：岁）：
21 32 44 50 46 55 60 59 38 49
19 52 34 35 48 52 39 41 44 46
38 43 45 46 24 21 32 30 28 27
将数据适当分组，列出频数分布表，绘制相应的频数分布直方图.
3. 调查统计你所在居民小区各户的一个月用水量，将数据适当分组，并绘制相应的频数分布直方图.
4. 计算下列各组数据的方差和标准差（结果保留到小数点后第二位）
（1）8 9 10 10 11 12
（2）78 80 80 81 82 83 83 85
5. 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
（1）分别计算甲、乙两组数据的方差.
（2）你认为应选拔哪位同学参加射击比赛？为什么？
6. 甲、乙两台机床同时加工直径为100毫米的零件，为了检验产品质量，质量检查员从两台机床的产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下（单位：毫米）：机床甲：99 100 98 100 100 103
机床乙：99 100 102 99 100 100
（1）分别计算上述两组数据的平均数及方差；
（2）如果你是质量检查员，在收集到上述数据后，你将说明哪一台机床加工的零件更符合要求.
7. 甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）：
甲501500508506510509500493494494
乙503504502496499501505497502499
哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？
【试题答案】
一、1. B 2. D 3. C 4. B 5. B 6. C 7. A 8. A
二、
2. 20，0.4
3. 36%
4. 频数累计从上到下依次为，，正，，
5. 4
6. 2
7. 13 18.67
8. 学生甲的各科成绩差异较小
三、1. （1）20 （2）20% （3）77≤M≤86 （4）略
2. 略
3. 略
4. （1）S 2≈1.67 S ≈1.29 （2）S 2≈4.25 S ≈
（2）因为甲、乙二学生的平均数相同，甲的方差比乙的方差大，所以乙学生的成绩比较稳定，应选乙学生参加射击比赛。

6. （1）机床甲、乙两组数据的平均数分别为100和100，方差分别为
3
7
和1 （2）通过数据分析：甲、乙的平均数相同，甲机床的方差大于乙机床的方差，所以乙机床加工的零件更符合要求。

7. 甲、乙两组数据的方差分别为38.05和7.96，所以乙包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定。