闵行区八校高二数学联考

闵行区八校高二数学联考
上海市闵行区2015学年第二学期八校联合期中考试试卷高二年级数学学科
1、计算：(1-i)²=2i
2、已知直线l₁:ax+3y+1=0，l₂:2x+(a+1)y+1=0，若
l₁//l₂，则a=-2
3、圆C:x²+y²-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=3
x²y²-1的渐近线方程是y=x或y=-x
4、双曲线49x²-y²=49的渐近线方程是y=±(7/5)x
5、已知复数z₁=1+3i和z₂=3-i对应的向量分别为OZ₁和OZ₂，则向量OZ₁与OZ₂的夹角为arctan(2/5)
6、已知F₁、F₂为椭圆x²/16+y²/9=1的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，若F₂A+F₂B=12，则AB=10
7、动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为y²-4x+4y-4=0
8、设z∈C，且z=1，则|z-2i|的最大值为2
9、已知复数z满足方程z²-2z+3=0，则z=1±i√2
10、已知k∈N*，若曲线x²+y²=k²与曲线xy=k无交点，则k<√2
11、直线l过点(1,2)且与抛物线y=2x只有一个公共点，这样的直线条数为1
12、若点P(x,y)在曲线x+y=1上，O为坐标原点，则OP 的最小值为1/√2
13、F₁、F₂是椭圆4x²+y²=16的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF₁·|PF₂|的最大值是4
14、设P是双曲线4x²-2y²=8上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d₁、d₂，则d₁·d₂=8
19、
（1）将圆x+y=8的每个点的纵坐标压缩到原来的1/2，对应的横坐标不变，得到的曲线C的方程为(x/2)^2+y^2=16，化简后得到x^2+4y^2=64。

20、
（1）由于方程有一个模为1的虚根，所以另一个根也是虚根，即方程的两个根为x1=1+ki和x2=1-ki。

将x1和x2代入方程，得到2k=3k-3，解得k=3。

因此实数k的值为3。

21、
由于方程t2-2t+a=0的一个根为1+3i，所以另一个根为1-
3i。

由于方程的系数都是实数，所以两个根是共轭复数。

因此
实数a=|1+3i|^2=10。

将实数a代入方程t2-2t+a=0，得到t2-
2t+10=0，解得t=1+3i或t=1-3i。

因此方程的另一个根为1-3i。

z=at2+bt+c是以点A(1,3)和B(1,-1)为焦点的椭圆的方程，其中
a=2，c=5，由于椭圆关于y轴对称，所以b=0。

因此z=2t2+5。

将z=2t2+5代入z=at+b，得到t^2+(5/a)t+1=0，解得t=(-
5±sqrt(5^2-4a))/2a。

因此z在直线AB上的轨迹为以点A和B
为焦点，以椭圆上的点为顶点的双曲线。

3、对于双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，定义
$C_1:\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B。

（1）当$a>b$时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆$C_1$的半焦距为$c_1$，若$c=2c_1$，求双曲线C的渐近线
方程；
（2）若双曲线C的方程为$x^2-y^2=1$，过点M(-3,0)且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于$N_1、N_2$两点，求$\triangle ON_1N_2$的面积（O为坐标原点）；
23、我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点。

解决下列问题：
已知抛物线$x^2=2py(p>0)$上的点$(x,3)$到焦点的距离等于4，直线$l:y=kx+b$与抛物线相交于不同的两点
$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，且$x_2-x_1=h(h$为定值$)$中点为D，与直线$l:y=kx+b$平行的抛物线的切点为C，（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用$k$、$b$表示出C点、D点的坐标，并证明CD 垂直于x轴；。