例01指出下列方程哪些是整式方程,哪些是分式方程,并说

例01．指出下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程，并说出它们的区别. ①21=+x x ②2
75-=y y ③2132-=x x ④a b x b a x -+=+2（x 是未知数）⑤x
x x -=-2212
解答 整式方程为：③④
分式方程为：①②⑤
它们的主要区别在于：分式方程的分母中含有未知数.
说明 根据定义，把握分母中是否含有未知数这一特征来判断.
例02．满足方程2
211-=-x x 的x 的值是 A ．1 B ．2 C ．0 D ．没有
分析 用验证法比用直接法简便. 当1=x 或2=x 时，方程中均有1个分式无意义，所以1=x 与2=x 不是所求的值. 当0=x 时，方程的左右两边相等.
解答 C
说明 考查分式方程的解法.
例03．解方程 11
4112=---+x x x 解答 原方程变形为1)
1)(1(411-+---+x x x x 方程两边都乘)1)(1(+-x x ，约去分母，得
)1)(1(4)1(2
+-=-+x x x ，
解这个整式方程，得1=x
检验：当1=x 时，0)1)(1(=+-x x
∴ 1=x 是增根，∴原方程无解．
说明 分式方程一定要注意验根． 例04．解方程 41313
2
=-+--++x x x x x 分析 去分母时，把12
++x x 看做整体处理．
解答 方程两边都乘)1(-x ，约去分母，得
)1(4)3()1)(1(32-=+----+x x x x x x ，
（分数线起着扩号的作用） 解这个整式方程，得
0=x
检验：当0=x 时，.01≠-x
∴ 0=x 是原方程的解．
说明 解分式方程的思路一般为：抓形式特点→整体处理→转化为整式方程→解整式方程→检验得解
例05．当a 为何值时，关于x 的方程5
3221+-=-+a a x x 的解等于零？ 解答 方程的两边都乘以)2)(5(-+x a ，得)2)(32()5)(1(--=++x a a x ，整理，得.51)8(a x a -=-
当8≠a 时，方程有惟一解a
a x --=
851. 设0851=--a a ，则051=-a ，故5
1=a . 综上，当51=a 时，原方程的解等于零. 说明 考查分式方程的解法.
例06．为何值时，关于x 的分式方程5
3221+-=-+a a x x 的解为零？ 分析一 由方程解的定义，将0=x 代入方程便可求出a 值.
解答一 ∵0=x ，故原方程化为
5
3221+-=-a a 解此分式方程，得 51=
a . 经检验知51=
a 是原方程的解. ∴ 5
1=a 时，方程的解为零. 分析二 解关于x 的分式方程，求出用a 表示x 的关系后，令0=x ，求出0=x ，此法较复杂.
解答二 方程两边都乘以最简公分母)5)(2(+-a x ，约去分母，得
)2)(32()5)(1(--=++x a a x
解关于x 的整式方程得 815--=
a a x ∵ 0=x ，
∴ 08
15=--a a ， ∴ 015=-a ，.51=
a 检验：当51=
a 时，0)5)(2(≠+-a x ∴ 当51=
a 时，方程的解为零.
例07．把以下公式进行变形：
（1）已知Ir n
IR E +=（0≠+rn R ），求I ；
（2）已知202
1gt t v s -=（0≠t ），求0v . 分析 公式变形从实质上看就是解含有字母已知数的分式方程. 它的解法和含数字已知数的分式方程是一样的. 一般情况，公式变形不必检验.
（1）题中，I 是未知数，r n R E ,,,是字母已知数；
（2）题中0v 是未知数，g t s ,,是字母已知数.
解答（1）两边都乘以n ，得
n Ir IR n E ⋅+=⋅，
即E n I n r R ⋅=⋅+)(，
∵0≠+rn R
∴两边都除以rn R +，得
rn
R nE I += （2）移项，2021gt s t v +
=， ∴ 2022gt s v t +=⋅，
∵0≠t ，
∴两边都除以t 2，得
t
gt s v 222
0+=
例08．m 为何值时，关于x 的方程2
34222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 分析 增根是分式方程去掉分母后的整式方程的根，但又使原方程的分母为0.
解答 方程两边都乘以)2)(2(-+x x ，得6342-=++x mx x ，整理，得10)1(-=-x m .
当1≠m 时，1
10--=m x . 如果方程产生增根，那么042=-x ，即2=x 或2-=x
（1）若2=x ，则21
10=--
m ，故4-=m . （2）若2-=x ，则2110-=--m ，故.6=m
例09．分式方程
01
11=+--+-x x x k x x 有增根1=x ，求k 的值. 分析 这是含有参数字母k 的分式方程，x 是未知数，我们把k 看做“暂时常数”，并考虑增根1=x 的条件解出k 来. 解答 原方程可化为
01
)1()1()1(2=---+++x x x x k x x ， 即 01
222=-+-+++x x x k kx x x ， ∴ k x k -=+)2(
若02≠+k ，则k k x +-=
2， 当1=x 时，k
k +-=21， ∴ .1-=k
说明 这是一道含有参数字母k 的分式方程. 如果把求出分式方程的增根作为正向思维的话，本题则是已知1=x 是增根，要求求出分式方程中的参数k ，显然具有考察逆向思维的功能. 因而，其求解步骤为：求x →令x 取增根值→解k .
例10．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-.352,413y
x y x 解答 把y x 1,1分别看做一个整体，运用换元法设a x =1，b y
=1， 则原方程可化为：
⎩
⎨⎧-=+=-)2( 352)1( 43b a b a )2(5)1(+⨯,得1717=a ，
∴ 1=a ，代入（1）中，得1-=b .
∴⎩⎨⎧-==11b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.11,11y
x ∴⎩
⎨⎧-==.1,1y x 经验证⎩⎨
⎧-==11y x 是原方程组的解.
说明 换元法是一种重要的数学方法，通过换元不但可使方程组、方程及解答变得简单，还可使解题思路清晰明了. 本题运用了整体思想和换元法，有化难为易之妙.
例11．甲、乙二人同时从A 地前往距A 地30千米的B 地，甲比乙每小时快2千米，结果比乙先到半小时，
若设乙的速度为x 千米/小时，则可列出的方程为
A ．
2123030=--x x B ．2
123030=+-x x C ．2130230=-+x x D ．2130230=--x x 分析1 比较分母的大小判断分式的值的大小，知A 、C 左边均为负数，不可能与右边相等，故应排除A 、
C. 又，根据题设，甲的速度为)2(+x 千米/小时，在D 式中没出现2+x ，故排除
D.
分析2 按列方程解应用题的常规办法列方程得B 式（详细分析过程从略）
解答 B
例12．某校学生进行急行军，预计行60千米的路程可在下午5点钟到达，后来由于每小时加快速度的51，结果于4点钟到达，这时的速度是多少？
分析 此为行程问题. 基本关系式为：路程＝速度×时间. 本题欲求速度，则设原计划速度为x 千米/时，而实际速度为x )51
1(+千米/时，所以，计划时间x 60时，实际时间x )5
11(60+时，以时间关系为相等关系来列方程. 解答 设原计划速度为x 千米/时， （务必写明意义和单位） 则实际速度为x )5
1
1(+千米/时，依题意，得 1)5
11(6060=+-x x 化为整式方程，得 125
6=x ∴ 10=x
经检验：10=x 是原方程的根. 则.12)5
11(=+x 答：这时的速度为12千米/时.
说明 对于行程问题，已知距离求速度，以时间为相等关系.
例13．甲、乙两人合做某项工作，如果先由两人合作3天，剩下的由乙单独来做，那么再有1天便可完成. 已知乙单独做全部工作所需天数是单独做所需天数的2倍. 求甲、乙单独做这项工作各需多少天？
分析 此题为总工作量为1的工程问题. 设甲单独做需x 天，则乙单独做需x 2天，甲每天的工作量为x 1，乙每天的工作量为x
21，依题意可列出仅含一个未知数x 的分式方程，于是问题得解. 解答 设甲单独做需x 天，则乙单独做需x 2天，依题意，得
121)211(3=++x
x x 解这个方程，得 5=x
经检验知5=x 是原方程的解.
∴ 102=x .
答：甲单独做需5天，乙单独做需10天.
说明 工作总量看做1的工程问题，通常以工作总量为相等关系.
例14．某工人现在平均每天比计划多做20个零件，已知现在做4000个 零件和原计划做3000个零件所用的时间相同，问现在平均每天做多少个？
分析 此为工作总量不为1的工程问题，要求效率，设现在平均每天做x 个，计划每天做)20(-x 个，现在做4000个所用的时间为x 4000天，计划生产3000个所用时间为20
3000-x 天，以时间为相等关系可求解. 解答 设现在每天生产x 个零件，计划每天生产)20(-x 个零件，依题意，得
20
30004000-=x x 去分母，整理得
800001000=x
∴ 80=x
经检验 80=x 是原方程的解.
答：现在平均每天做80个零件.
说明 总工作量不是1的工程问题已知总工作量，求工作效率，通常以时间为等量关系. 工作时间工作效率
工作总量=. 例15． A 、B 两地相距7千米，甲由A 地走向B 地，刚走完了1千米到达C ，在A 地的乙发现甲有物遗忘，为送物追甲，乙在D 处追上甲后又立即返回，当乙回到A 地时，甲正好到了B 地，求C 、D 间的距离.
分析一 甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自C 到B 所行的时间与乙自A 到D 再回到A 所用的时间相同. 如图示：
解答一 设甲的速度是每小时x 千米，乙的速度是每小时y 千米，又设CD 的距离是s 千米，依题意，得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y s x
y x x s )1(26,1 两式相除，消去x 、y ，得3=s .
分析二 甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自D 到B 所行的时间与乙自D 到A 所行的时间相同.
解答二 设甲的速度是每小时x 千米，乙的速度是每小时y 千米，又设CD 的距离是s 千米，于是得方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=.16,1y s x
s y s x s 两式相除，消去x 、y ，得3=s .
分析三 由于甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自D 到B 所行的时间与乙自D 到A 所行的时间相同. 而DA AD = 则DB CD =即D 为CB 中点.
解答三 设CD 的距离s ，于是得.712=+s 解得3=s .
说明 为列方程起见，第一、二种解法增设了甲乙二人的速度，它们在求解过程中自行消失. 而在列方程过程中降低了思维难度，为列方程起到很好的辅助作用. 第三种解法在对问题深刻分析的基础上，得到D 是CB 中点的结论，从而列出了一个很简单的方程. 说明审题时，深入分析题意很重要，可得到最佳的解题方略. 同时，图示法、列表法等在分析总是过程中的直观作用，是分析问题的有效工具.
例16．编一道可化为一元一次方程的分式方程应用题，并解答，编写要求.
（1）要联系实际生活，其解符合实际.
（2）根据题意列出的分式方程只含有两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程.
（3）题目完整，题意清楚.
分析 本题着重从三步考虑：
①依题意，确定一个有意义的数字：
如5，当作所列应用题方程的一个根，建立一个题设要求的等式：如
256510-=. ②把上述等式中的5用未知数x 代替变等式方程为分式方程2
610-=x x ③根据方程编出应用题
甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用的时间与乙做6个所用时间相等. 求，甲、乙每小时各做多少个？
解：设甲每小时做x 个，则乙每小时做)2(-x 个
根据题意，得
2
610-=x x 整理，得 x x 62010=- ∴ 5=x
经检验5=x 是方程的根. 答：甲每小时做5件，乙每小时做3件.
填空题
1．填空题
（1）方程x
x 523=-的根是_____________ （2）若7:12:)3(=+x x ，则x =___________
（3）若关于x 的方程
4
532=-+x a ax 的根为1，则a =__________ （4）方程415--=-x x x x 则x =__________ 2．填空题
（1）已知a
b bn m an m =++)(b a ≠，则m =_________ （2）当x =________时，分式1
522222-+---+-x x x x x x 的值为3.
（3）关于x 的方程
x
b a 111=+)0(≠+b a 的解为_________ （4）若方程221132-+=+--x x m x x 有增根，则m =________ 3．填空题
（1）公路全长S 千米，某人步行t 小时可到达，为了提前半小时到达，步行每小时应多走_________千米.
（2）一辆载货汽车，先以一定的速度行160千米，后来把速度加快5千米，又行了180千米，结果行驶这两段路程所用的时间相同.设汽车加速前速度为x 千米/时，则可列方程为__________
参考答案：
1．（1）5（2）
521（3）3
17-（4）25 2．（1）)(b a n +-（2）3-（3）b
a a
b +（4）3或9 3．（1）122-t S （2）5180160+=x x 选择题
1．选择题
（1）下列式子中，是分式方程的是（ ）
（A ）134131++-x x x （B ）3
5212=+x （C ）
1123122=+--x x x （D ）3
4243+=+-x x （2）满足等式2211-=-x x 的x 的值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）不存在
（3）关于x 的方程
4
332=-+x a ax 的根为1=x ，则a 应取（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）1- （D ）3-
（4）解分式方程21315=--+-x
x x ，得（ ） （A ）4=x （B ）3=x （C ）0=x （D ）无解 2．选择题
（1）将分式方程015
353=+---+x x x 去分母后得（ ） （A ）01)3)(5()5(3=+-+--x x x
（B ）)5()5()5)(5()3)(5()5(3-⋅+=-++-+--x x x x x x x
（C ）0)5)(5()3)(5(53=-++-++-x x x x x x
（D ）0)5)(5()3)(5()5(3=-++-++-x x x x x
（2）已知4
321--=+-y y x x ，用x 的代数式表示y 应是（ ） （A ）3
10x y -=
（B ）2+-=x y （C ）2
10x y -= （D ）27--=x y （3）不解方程，判断方程01312112=-++--x x x 的解是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
（4）分式方程)
1(25)1(4)1(122+=+++x x x x x 的解是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）1-
（D ）不存在 3．选择题
（1）轮船顺水航行速度a 千米/时，逆水航行速度为b 千米/时)0(>>b a ，则水流速度是（ ）
（A ）)(b a -千米/时
（B ）)2(
b a -千米/时 （C ）)2(b a +千米/时 （D ）)2(b a -千米/时 （2）一水池装有两个进水管，单独开甲管需a 小时注满水池，单独开乙管需b 小时注满水池。

若同时打开两管，那么注满水池时间是（ ）
（A ）b a 11- （B ）ab 1 （C ）b a +1 （D ）b
a a
b + （3）某食堂有煤m 吨，原计划每天烧煤a 吨，现在每天节约煤b 吨，则可比原计划多烧（ ）天
（A ）
b
a m - （B ）
b a m a m -- （C ）b m （D ）a m b a m -- （4）将含盐%m 的盐水100克，欲制成含盐%2m 的盐水时，需加盐（ ）克 （A ）m m +100 （B ）m m 21002- （C ）m m -5050 （D ）m
m 21002+ （5）甲跑的速度是一个常数，乙跑的速度是甲速度的x 倍（1>x ），甲在乙前的y 米处，两人沿同一方向同时起跑，则乙追及甲所需跑（ ）米
（A ）xy （B ）y
x y + （C ）1-x xy （D ）1++x y x
参考答案：
1．（1）C （2）C （3）D （4）A
2．（1）D （2）A （3）A （4）B
3．（1）D （2）D （3）D （4）C （5）C
解答题
1．解下列方程
（1）
125552=-+-x x x （2）x
x x 1312=-+ （3）22123=-++++x x x x （4）1
31182-+=+-x x x （5）1613122-=-++x x x （6）2
911213133131x x x x x -=-+++- （7）22416222-+=--+-x x x x x 2．解方程
（1）1
2126131861--=--+
x x x x （2）4
1614121---=+-+x x x x （3）4
1215111+++=+++x x x x （4）15251583256222--+++=-x x x x x 3．解关于x 的方程
（1）
111-=ax
x )0(≠a （2）x a bx b b ax a 2=++-)0,(22≠≠ab b a 4．解方程组
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++31
32
21152413y x y x
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=--+422633y x y x y x y x 5．解方程
（1）984340341316--+--x x x x 5
42420783032--+--=x x x x （2）
)2002)(2001(1)3)(2(1)2)(1(1+++++++++x x x x x x 600632001+=x
参考答案：
1．（1）0（2）3-（3）1-（4）无解（1=x 是增根）（5）无解（1=x 是增根）
（6）1-（7）无解（2-=x 是增根）
2．（1）
5
7（2）1（3）3-（4）4 3．（1）a a -1（2）222b a ab -
4．（1）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=5125
8y x
（2）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==4141y x
5．（1）1（2）2
解答题
1．列方程解应用题
（1）某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？
（2）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？
（3）某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.
（4）甲乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独工作1天后，再由两队合作2天完成全部工作.已知甲队完成工程所需天数是乙队单独完成工程天数的
3
2
，求甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？ （5）某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的2
1
2倍，所以加工完比原计划少用9
小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？
（6）轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度.
2. 列方程解应用题
（1）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数. （2）大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇2小时后，由小抽水机继续工作1小时完成.已知小抽水机独浇这块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的2
1
1
倍，求单独浇这块地各需多少时间？ （3）打字员甲的工作效率比乙高%25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？
（4）一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.
（5）假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度.
（6）有三堆数量相同的煤，用小卡车独运一堆的天数是大卡车独运一堆天数的一半的3倍.第三堆大小卡车同时运6天，运了这堆煤的一半，求大小卡车单独运一堆煤各要多少天？
（7）有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？
（8）甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的8
1；如果甲走
3
2
小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？
（9）总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵5.0元，求甲、乙两种糖果每千克各多少元？
（10）一个蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙两管齐放1小时可注满水池的2
1
；乙、丙两管齐放1小时可注满水池的
3
2
；丙、甲两管齐放1小时12分可注满全池.如果单独开放三个水管各需几小时注满水池？ （11）某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格产品48件，乙厂合格产品45件，甲厂的合格率比乙厂的合格率高%5，求甲厂的合格率是？
（12）为了方便广大游客到昆明参观游览，铁道部门临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁、昆明两站的路程为828千米，一列普通快车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度是5.1倍，直达快车比普通快车后出发2小时，而先于普通快车4小时到达昆明，分别求出两车的速度.
（13）汽车比步行每小时快24千米，自行车比步行每小时快12千米，某人从A 地先步行4千米，然后乘汽车16千米到达B 地，又骑自行车返回A 地，往返所用时间相同，求此人步行速度.
（14）甲、乙两人合打一份稿件，4小时后甲因另有任务，由乙再打6小时完成，已知甲打4小时的稿件乙需打8小时，求甲、乙单独打完这份稿件各需多少小时？
参考答案：
1．（1）80台[提示：设原计划日产x 台，则
10%)251(4000
4000=+-x
x ] （2）4千米/时[提示：设步行速度x 千米/时，则
8
36
12+=x x ] （3）先遣队速度6千米/时，大队速度5千米/时，[提示：设大队速度x 千米/时，则2
12.11515=-x x ]
（4）甲4天完，乙6天完[提示：设乙单独完成工程需x 天，则
13
223=+x x ]
（5）原计划每小时加工100个，改进后每小时加工250个[提示：设原计划每小时加工x 个，则
95.21500
1500=-x
x ] （6）19千米/时，[提示：设船静水速度x 千米/时，则348
366-=+x x ] 2．（1）15[提示：设十位数为x ，个位数为4+x ，则
34
)
4(10=+++x x x ]
（2）大抽水机需4小时，小抽水机需6小时[提示：设大抽水机x 小时浇完，则
12
2
3
3=+x x ]
（3）甲50字/分，乙40字/分[提示：设乙每分钟打x 字，则
x
x 1800
5%)251(2000=++]
（4）18千米/时[提示：设静水速度x 千米/时，则
32
2
)2(5.2=--+x x ]
（5）自行车速5.12千米/时，汽车速5.37千米/时，[提示：设自行车速x 千米/时，则3
1132525=-x x ]
（6）大车14天，小车84天[提示：设大车独运一堆x 天，则
2
1
666=+x x ]
（7）6天[提示：设规定日期x 天，则
13
2=++x x x ]
（8）甲322小时，乙2小时，[提示：设甲需x 小时，乙需y 小时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=
+=+2
121328
711y x y x ]
（9）甲每千克3元，乙每千克5.1元[提示：设混合糖x 元一斤，)185
.0919(
=-++x x x ]
（10）甲需3小时，乙需6小时，丙需2小时[提示：设甲乙丙分别需x 、y 、z 小时，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=+=+=+.1)1
1(56,32
11,2111x
z z y y x ]
（11）%80[提示；设甲厂合格率x 千米/时，则
%
54548-=x x ] （12）慢车46千米/时，快车69千米/时，[提示：设慢车速x 千米/时，则
65.1828
828=-x
x ] （13）8千米/时[提示：设步行速度x 千米/时，则
12
2024164+=++x x x ]
（14）甲9小时，乙18小时[提示：设甲需x 小时，则1210
4=+x
x ] 1．下列说法：（1）解分式方程一定会产生增根；（2）解分式方程时，能使最简公分母为零的根是增根；（3）分式方程一定有解；（4）分式运算一定要先去分母，其中说法正确的序号为_________________．
2．若分式
1
24-x x 与分式21
2-+x x 的值相等，则_____=x ．
3．分式方程x x x x -=-+27
163的解_________=x ．
4．若方程x
x x --=+-21321有增根，则增根为___________． 5．当_________=k 时，方程x
k
x --=-2223会产生增根，其增根为___________． 6．把kg a 盐溶于kg b 水中，那么kg m 这种盐水中含盐量为___________kg ．
7．沿河两地相距km S ，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，船在两地往返一次所需要的
时间为____________．
8．公路全长为km S ，骑自行车t 小时可到达，为了提前半小时到达，骑自行车每小时应多走__________km ． 9．阅读下列解题过程，并填空：
题目：解方程
()()2
222421-=-+++x x x x x ． 解：方程两边同时乘以()()22-+x x （A ），
()()()()()()222
2
2242122-+⋅-=⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡-+++-+x x x x x x x x x ， 方程两边化简得()()2242+=+-x x x （B ）， 去括号，移项得04242=--+-x x x （C ）， 解这个方程得 2=x （D ）． ∴2=x 是原方程的解． (E) 问题：
（1）上述过程是否正确？答__________； （2）若有错误，错在第_____________步； （3）该步错误原因是_______________； （4）该步改正为_______________．
10．在方程（1）215837-+=-x x ；（2）x x =-621
6；（3）18182-+=-x x x ；（4）02
11=--
x x 中，是分式方程的有（ ）
A ．（1）和（2）
B ．（2）和（3）
C ．（3）和（4）
D ．（1）和（4）
11．若2
1
-
=x 是下列某方程的解，则此方程为（ ） A ．2123=+x B ．04
11
22=-+x x C ．
4112=-x x D ．41142=-x x 12．下列四组解哪组是方程
024
2=--x
x 的根是（ ） A ．2=
x B ．21-=x 22=x C ．2=x D ．2-=x 13．一水池有甲乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需a 小时、b 小时可注满空池；现两管同时打开，那么
注满空池的时间是（ ）
A ．
b a 11+ B ．ab 1 C ．b a +1 D ．b
a a
b + 14．甲乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为km 30，甲每小时比乙多走km 3，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走km x ，则可列方程为（ ）
A ．
3233030=--x x B ．3233030=+-x x C ．
3230330=-+x x D ．3
2
30330=--x x 15．解下列方程：
（1）
111+=+x x x ； （2）x x x x x -+=-+25
163． （3）123542379=--+--x x x x （4）627
2332+=++x x
（5）03132=--+x x x （6）1
6
73222-=++-x x x x x
（7）
141112-=--+x x x （8）9443212312-=++-x x
x x （9）1
617222-=-++x x x x x （10）2
36198162613x x
x x -+++=- 16、解含字母系数的方程：
（1）)0(≠+=--d c d c x b a x （2）)(1b a b a
x b a ≠=+- （3）)(11b a x b b x a a ≠+=+ （4）
)(2b a a
x b
x b x a x ≠=-++-+ 17、公式变形 （1）a n a m e --=
，求a ； （2）2
+=Z D
m ；求Z. 18．甲乙在电脑上合打一份稿件，4小时后，甲另有任务，余下部分由乙单独完成又6小时，已知甲打6小
时的稿件乙要打7.5小时，问：甲、乙单独完成此任务各需多少小时？
19．甲乙两会相距160km ，一辆长途汽车从甲地开出3小时后，一辆小轿车也从甲地开出，结果小轿车比长途汽车晚20分钟到达乙地，又已知小轿车的速度是长途汽车的3倍，求两车的速度．
20、某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成。

现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？
21、A 、B 两地相距7.5km ，甲自A 地向B 地出发0.5km 后，乙从A 地出发追赶甲，追上甲后乙立即返回A 地，，当乙抵A 时，甲也恰好到达B 地，若乙每小时比甲多走0.5km ，求两人的速度.
22、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需支付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的
3
2
，厂家需支付甲、丙两队共5500元. （1）求甲、乙、丙个队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由. 答案： 1、（2）；2、
81；3、910；4、2；5、k=3,x=2；6、b a am +；7、222b a aS -；8、t
t S
-22； 9、（1）不正确；（2）E ；（3）没有验根；（4）检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，所以x=2是方程的增根，原方程
无解. 10、C ；11、C ；12、D ；13、D ；14、B ；
15、（1）21=
x ；（2）x=1时原方程的增根，原方程无解；（3）x=1；（4）x=-2；（5）5
2=x ；（6）x=1是原方程的增根，原方程无解；（7）x=1时原方程的增根，原方程无解；（8）2
3
-=x 是原方程的增根，原方程无解；（9）
x=3；（10）31
=x ；
16、（1）d c bc ad ++；（2）-b ；（3）ab ；（4）)(21
b a +；
17、（1）1--e m ne ；（2）m
m
D 2-
18、解：设甲单独完成此任务需x 小时，由题意可得：1540
4=+x
x ，解得：x=12，检验：当x=12时，5x=5×12=60
≠0. 乙所需时间为
15124
5
45=⨯=x . 19、解：设长途汽车速度为x 千米/小时，则轿车速度为3x 千米/小时，由题意得
60
20
33160160-=-x x ，解得x=40，则长途汽车和小轿车的速度分别为40千米/小时和120千米/小时.
20、解：方法1：工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x 天，那么乙单独
完
21、解：设甲的速度为x 千米/小时，则乙的速度为(x+0.5)千米/小时. 由题意得
x
x x 5
.05.75.025.0-=-+⨯ 解得
x=3.5，检验：x=3.5≠0, 所以甲的速度为3.5千米/小时，乙的速度为4千米/小时.
22、（1）甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需要10天、15天、30天.
（2）应选甲队，设甲、乙、丙队每天需要各支付工资a 元、b 元、c 元，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+5500)(59500)(108700)(6c a c b b a ，解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===300650800
c b a ，
甲队单独完成支付工资8000元，乙队需9570元，丙队因超过15天，故应选甲队费用最少.。