九年级数学 第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第4课时 黄金分割教学
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故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
12/10/2021
12/10/2021
黄金分割的魅力
雕塑－－维纳斯
人的俊美,体现在头部及 躯干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的 各个部位都暗藏比例0.618， 虽然雕像残缺，却能仍让 人叹服她不可言喻的美．
黄金分割的魅力
古希腊巴台农神庙
巴黎圣母院
12/10/2021
∵∠DBC=36°，∠C=72°， ∴∠BDC=72°， ∴BD=BC， ∴AD=BC， ∴AC：AD=AD：DC； 即点D是AC的黄金分割点．
12/10/2021
4.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.
12/10/2021
B E B C BCAE B E = A E
BC AB
AE AB
AE BE AB AE
点E是AB的黄金分割点
A
A E （即 B C ）是黄金比
AB
AB
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 D
E
B
F
C
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
12/10/2021
例1：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割
AB AC
分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与
AB的比称为黄金比.
做一做
1.计算黄金比.
解：由 AC BC ，得AC2 = AB·BC.
AB AC
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以 AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面 积为S2，则S1与S2的关系是 （ C ） A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1=S2 D．S1≥S2
A
P
B
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2.点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段 AC的长度．
点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚 脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿 多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
x 0.60 ，解得x = 0.96. 1.60 设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
y 0.96 0.618. 1.60 y 解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
联合国总部大厦
黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在古典及 现代建筑中都有广泛的应用．
12/10/2021
黄金分割的魅力
B C A
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
12/10/2021
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6， 而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里 面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
12/10/2021
事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系.
12/10/2021
讲授新课
一 黄金分割的概念
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离, AC 与 BC 相等吗？
AB AC
A
12/10/2021
CB
A
CB
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
如果 AC BC , 那么称线段AB被点C黄金
12/10/2021
G H
B
C
课堂小结
定义
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如
果
AC BC AB AC
, 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫
做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
黄金分割
黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1 2
12/10/2021
解: 设AB=1,那么在 Rt△BAE 中,
BE AB2AE2 121 2225.
F
于是EF BE 5 ,
A
2
AH AF BE AE 5 1 5 1 . 22 2
E
BH AB AH 1 5 1 3 5 .
2
2
D
因 此 A H B H ,点 H 就 是 H B 的 黄 金 分 割 点 . A BA H
证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=36°， 在△ACB和△BCD中，∠BDC=72° ∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°， ∴△ACB∽△BCD， ∴AC：BC=BC：DC； ∵∠A=∠ABD， ∴AD=BD.
D E
CB
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BD1;AD 1212 5,ACAE 51
2
2 2
22
51,BC1AC1 513 5;
2
2
2
51
3 5
AC 2 51, BC 2 3 5 2
AB 1
2 AC 51 2 51
2
3 5 3 5 51 2 52 51,
51 51 51 4
2
ACBC ,点 C是线 A段 B 的黄金.分割点 AB AC
12/10/2021
A
E
B
D
巴台农神庙 （Parthenom Temple）
F
C
如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，
以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以 惊奇地发现 B E B C ， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比B C是黄A 金B 比吗？为什么?
AC=4×0.618=2.472 或者 AC=4×（1-0.618）=1.518
3.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到 书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高 能给人赏心悦目的感觉？
离地面的高度 h=3×0.618=1.854m
12/10/2021
4. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点.
5,
x2= -1 5(不和题意，舍去).
2
黄金比 AC 510.61.8
AB 2
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做一做
2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图: 1.经过点B作BD⊥AB,使BD= 1 AB
2
2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.
A
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
第四章 图形的相似 4.4 探究三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
导入新课
12/10/2021
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比； 2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点）
12/10/2021
导入新课
12/10/2021
通过观察，你觉得下面那副图最有美感？
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黄金分割的魅力
雕塑－－维纳斯
人的俊美,体现在头部及 躯干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的 各个部位都暗藏比例0.618， 虽然雕像残缺，却能仍让 人叹服她不可言喻的美．
黄金分割的魅力
古希腊巴台农神庙
巴黎圣母院
12/10/2021
∵∠DBC=36°，∠C=72°， ∴∠BDC=72°， ∴BD=BC， ∴AD=BC， ∴AC：AD=AD：DC； 即点D是AC的黄金分割点．
12/10/2021
4.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.
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B E B C BCAE B E = A E
BC AB
AE AB
AE BE AB AE
点E是AB的黄金分割点
A
A E （即 B C ）是黄金比
AB
AB
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 D
E
B
F
C
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
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例1：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割
AB AC
分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与
AB的比称为黄金比.
做一做
1.计算黄金比.
解：由 AC BC ，得AC2 = AB·BC.
AB AC
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以 AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面 积为S2，则S1与S2的关系是 （ C ） A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1=S2 D．S1≥S2
A
P
B
12/10/2021
2.点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段 AC的长度．
点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚 脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿 多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
x 0.60 ，解得x = 0.96. 1.60 设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
y 0.96 0.618. 1.60 y 解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
联合国总部大厦
黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在古典及 现代建筑中都有广泛的应用．
12/10/2021
黄金分割的魅力
B C A
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
12/10/2021
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6， 而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里 面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
12/10/2021
事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系.
12/10/2021
讲授新课
一 黄金分割的概念
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离, AC 与 BC 相等吗？
AB AC
A
12/10/2021
CB
A
CB
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
如果 AC BC , 那么称线段AB被点C黄金
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G H
B
C
课堂小结
定义
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如
果
AC BC AB AC
, 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫
做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
黄金分割
黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1 2
12/10/2021
解: 设AB=1,那么在 Rt△BAE 中,
BE AB2AE2 121 2225.
F
于是EF BE 5 ,
A
2
AH AF BE AE 5 1 5 1 . 22 2
E
BH AB AH 1 5 1 3 5 .
2
2
D
因 此 A H B H ,点 H 就 是 H B 的 黄 金 分 割 点 . A BA H
证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=36°， 在△ACB和△BCD中，∠BDC=72° ∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°， ∴△ACB∽△BCD， ∴AC：BC=BC：DC； ∵∠A=∠ABD， ∴AD=BD.
D E
CB
12/10/2021
BD1;AD 1212 5,ACAE 51
2
2 2
22
51,BC1AC1 513 5;
2
2
2
51
3 5
AC 2 51, BC 2 3 5 2
AB 1
2 AC 51 2 51
2
3 5 3 5 51 2 52 51,
51 51 51 4
2
ACBC ,点 C是线 A段 B 的黄金.分割点 AB AC
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A
E
B
D
巴台农神庙 （Parthenom Temple）
F
C
如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，
以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以 惊奇地发现 B E B C ， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比B C是黄A 金B 比吗？为什么?
AC=4×0.618=2.472 或者 AC=4×（1-0.618）=1.518
3.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到 书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高 能给人赏心悦目的感觉？
离地面的高度 h=3×0.618=1.854m
12/10/2021
4. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点.
5,
x2= -1 5(不和题意，舍去).
2
黄金比 AC 510.61.8
AB 2
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做一做
2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图: 1.经过点B作BD⊥AB,使BD= 1 AB
2
2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.
A
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
第四章 图形的相似 4.4 探究三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
导入新课
12/10/2021
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比； 2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点）
12/10/2021
导入新课
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通过观察，你觉得下面那副图最有美感？