高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题训练(含解析)

高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题训练（含解
析）
一、选择题
1．(2014·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.4
5 B.3
5 C ．－35
D ．－45
解析 cos α＝－4
－42＋32
＝－45. 答案 D
2．(2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )
A ．向左平行移动1
2个单位长度
B ．向右平行移动1
2个单位长度
C ．向左平行移动1个单位长度
D ．向右平行移动1个单位长度
解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴只需把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．
答案 A
3．(2014·北京东城一模)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π
8个单位后，得到一
个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.3π4
B.π2
C.π4
D ．－π4
解析 y ＝sin(2x ＋φ)错误!sin 错误!＝sin 错误!是偶函数，即错误!＋φ＝k π＋错误!(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π
4
，故选C.
答案 C
4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )
A ．1 B.12 C.
2
2
D.32
解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．
将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|<π2，得φ＝π3，
则f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
函数图象的对称轴为x ＝－π6＋
π
32＝π
12
.
又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，
且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22
＝π
12
，
∴x 1＋x 2＝π
6
，
∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.
答案 D
5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π
6个单位
后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )
A ．关于点⎝
⎛⎭
⎪⎫π12，0对称
B ．关于直线x ＝π
12对称
C ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π
6
对称
解析 ∵T ＝2π
ω
＝π，∴ω＝2.
∴f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π
6个单位，
得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， ∴－π
3＋φ＝k π(k ∈Z )，
∴φ＝π
3
＋k π(k ∈Z )，
∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π12＋π3＝1，
∴直线x ＝π
12为函数图象的对称轴．故选B.
答案 B
6．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π
3；③函数f (x )图象的一个对称
中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .则正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 由已知得，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝1，故②正确；当x
＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝－sinπ＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2
3
π，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.
答案 C 二、填空题
7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋2α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3＋α－1＝－79.
答案 －7
9
8．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
解析 利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标，列方程求解． 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，
因为0≤φ<π，所以φ＝π
6.
答案
π6
9．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在
区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析 由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0，
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π，记T 为最小正周期，则12T ≥π2－π6⇒T ≥
23π，从而712π－π3＝T
4
，故T ＝π.
答案 π 三、解答题
10．(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π
2)的图象关于直线x
＝π
3
对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又因f (x )的图象关于直线x ＝π
3
对称，
所以2·π3＋φ＝k π＋π
2，k ＝0，±1，±2，….
因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π
6.
(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.
由π6<α<2π3得0<α－π6<π
2， 所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
＝154.
因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6
＝14×32＋154×12＝3＋15
8
. 11．(2014·山东菏泽一模)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2
ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f (x )的单调增区间；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，
若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．
解 (1)由题意得f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2
ωx －3＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调增区间是
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象，
所以g (x )＝2sin2x ＋1.
令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π
12
(k ∈Z )，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π
12
.
B 级——能力提高组
1．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则
( )
A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数
B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为
π2，且在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 解析 f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3＋φ，
∵其图象关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数． ∴π3＋φ＝π
2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6
.
∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos2x .
易知f (x )的最小正周期为π，在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．
答案 B
2．(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2是减函数，则实数a 的取
值范围是________．
解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2sin 2
x ＋a sin x ＋1，sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令t ＝sin x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，
则y ＝－2t 2
＋at ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1是减函数，∴对称轴t ＝a 4≤12，∴a ≤2.
答案 (－∞，2]
3．(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：
f (t )＝10－3cos π
12t －sin π12
t ，t ∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2⎝
⎛⎭⎪⎫32
cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12t ＋π3，
又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π
3
，
－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12
t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π12t ＋π3＝1；
当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12
t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12t ＋π3，
故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12
t ＋π3>11，
即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π12
t ＋π3<－12.
又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π
6
，即10<t <18.
在10时至18时实验室需要降温．。