无穷小的比较

第七节无穷小的比较
一. 基本概念
1.问题的提出
两个无穷小的和、差、积均是无穷小；
思考两个无穷小的商如何呢？
例如无穷小的商的极限反映了不同的无穷小趋于0的速度不一样
0x →当时，2
0lim 2x x
x →0,=都是无穷小
2
2,,sin x x x 0sin lim 2x x x →1,2
=202lim x x
x
→,=∞2
0x →比20x →快
sin 0x →与20x →快慢相仿20x →比20x →慢
称β是比α高阶的无穷小, 称β是比α低阶的无穷小;
2.定义称β与α是同阶无穷小;
称β是关于α的k 阶无穷小.
设是自变量同一变化过程中的无穷小，且,αβ0.
α≠●若lim β
α
=
0,,∞(0),c ≠1,
称β与α是等价无穷小，●若lim 0(0),k c k β
α
=≠>);
(o βα=记作.
~αβ记作
例如
2
lim
sin
x
x
x
→
0,
=0
x→
当时，2(sin).
x o x
=
2
2
4
lim
2
x
x
x
→
-
-
4,
=
n→∞
当时，是比低阶的无穷小.
1
n2
1
n
sin
lim1,
x
x
x
→
=0
x→
当时，sin~.
x x
2
11
lim,
n n n
→∞
=∞
2
x→
当时，与是同阶无穷小.
24
x-2
x-
所以
0arcsin lim 1,x x x
→=0x →时，arcsin ~.
x x 201cos 1
lim ,2
x x x →-=0x →当时，是的二阶无穷小,1cos x -x 0tan lim 1,x x x →=0x →时，
tan ~.x x 0x →时，2
11cos ~.
2
x x -因为当然,0arctan lim 1,x x x
→=0x →时，arctan ~.
x x
二、常用的几个等价无穷小
当时，
0x →sin ,
x x tan ,x
x arcsin ,x x arctan ,
x x ln(1),x x +e 1,
x
x -1ln (0,1),
x
a x a a a ->≠211cos ,2
x
x -1
11
,n
x x n
+-(1)1~(,0)
x x R α
ααα+-∈≠
当时，0x →111
.n
x x n
+-证
10
11lim n
x n x x
→+-所以，当时，0x →1
11
.n
x x n
+-n
n
a b -=1
2
1
()()
n n n a b a
a
b b
----+++1
lim
t n →=1
2
(1)(1)
n n t t
t
---++
+1
t -11
n n =⋅=11
1lim (1)
n t n t t →--令1n t x
=+
推广形式在自变量的某种变化过程中，x ()sin (),
f x f x ()
tan (),f x f x ()ln[1]
(),
f x f x +()
e
1(,
)f x f x -211cos[][],2
()()f x f x -1
11
()(),n
f x n
x f +-例如
时，
2x →则ln(1)x -=20,x -→(2)ln[1].
2x x +--arcsin ()(),f x f x arctan ()
(),
f x f x ()
1
ln (0,1()),
f x a a f a x a ->≠()([1]1~(,0)) .
f x f x R α
ααα+-∈≠()0f x →,
(0)f x ≠且
三、等价无穷小的性质
定理1 证αβ⇔()
o βαα=+设,α
β则lim lim 1βαβαα-⎛⎫=- ⎪⎝⎭
所以(),o βαα-=即().o βαα=+110=-=⇐
设(),
o βαα=+则
()lim lim
o βαααα
+=因此，.
α
β()lim(1)1,
o αα=+=⇒
例1 已知分析
所以
解0sin 6()lim x x xf x x →+0sin 6()lim 0,x x xf x x
→+=求极限0lim ().x f x →0x →时，sin 66,x x 故sin 66().x x o x =+06()()
lim x x o x xf x x
→++=0()
lim[6()]0x o x f x x
→=++=求出0
lim () 6.x f x →=-
定理2 证
lim lim βββααααβ=⋅⋅设,,,αβαβ是无穷小，,,α
αβ
βlim β
α
存在,则
且lim lim ββαα
=lim lim lim ββαααβ=⋅⋅例如
lim βα
=0tan 2lim sin 5x x
x →02lim 5x x x →=2.5
=sin 55x x ，tan 22x
x ，时，0x →所以
等价无穷小替换定理
(1)和差代替规则:
若, α
αββ
当时，
lim 1α
β≠当时，
lim 1α
β
≠-lim lim
αβαβγγ
++=lim lim
αβαβγγ
--=(2)因式代替规则:若且极限存在或有界，则
α
α()f x lim ()lim ()
f x f x αα=
例如
0tan 2sin lim 11
x x x
x →-+-02lim 2
x x x x →-=2=01
lim sin x x x
→=⋅01limarcsin sin x x x →⋅=0111
n
x x n
+-
计算下列各极限
例2(1)3
2
02lim cos 1
x x x
x →--解
时，0x →故
32
02lim cos 1x x x x →-=- 2.=2
1cos 1,2
x x --32
022lim 12x x x x →--2
02
(21)lim 12
x x x x →-=-
(2)32
20131
lim ln(1sin )
x x x →+-+解时，0x →2
20lim 1.x x x
→==3
2
20131lim ln(1sin )x x x →+-+所以
3
2
22
11313,3
x x x +-⋅=22
2
ln(1sin )sin .
x x
x +
(3)3
tan sin lim
e 1
x x x x →--解
时，0x →所以
3
tan sin lim
e 1
x x x x →--30tan (1cos )lim x x x x
→⋅-=3
3e 1,
x x -2
3012lim x x x
x →⋅=1.2
=
计算
例32
01
3sin cos
lim (1cos )ln(1)
x x x x x x →+++解
时，
0x →所以
ln(1),
x x +2
2
00113sin cos 3sin cos
lim lim
(1cos )ln(1)(1cos )x x x x x x x x x x x x
→→++=+++00013sin 13lim lim lim cos .1cos 2x x x x x x x
x →→→⎛⎫=⋅+= ⎪+⎝⎭
例4. 设求的值.0(cos )sin lim 3,x x x b x
e a
→-=-,a b 解：
lim(cos )sin 0,
x x b x →-=0
lim()0,
x
x e a →∴-=0
lim()10
x
x e a a →∴-=-=1
a ⇒=00(cos )sin (cos )sin lim lim 1
x x x x x b x x b x
e a e →→--∴=--0(cos )sin lim x x b x x →-=1
x
e x
-0sin lim(cos )x x
x b x
→=-1b =-3=2
b ⇒=-
例5
设当时，0x →2
(1cos )ln(1)x x -+是比高阶
sin n
x x 的无穷小；而sin n
x x 是比高阶的无穷小,求正整数2
e 1x -.
n 解
2
0(1cos )ln(1)0lim sin n x x x x x →-+=故30,n ->即3
n <20sin 0lim e 1n
x x x x
→=-故10,n ->即 1.n >从而 2.
n =22012lim n x x x x x →⋅=⋅30
1lim 2n x x -→=20lim n
x x x x
→⋅=10
lim n x x
-→=。